Borel tétele
A matematika , a tétel a Borel vagy lemma Borel , annak az eredménye, elemzés , fennállásának funkciók Taylor-sor önkényes.
1884-ben Giuseppe Peano , 1895-ben pedig Émile Borel mutatta be . Korábban, 1876-ban, Paul du Bois-Reymond megadta az első példát a Taylor-sorozat eltérésére, amely nem nulla. Borel tétele általánosítja ezt az eredményt.
Egyszerű megállapítás
Mert eredményeként a komplex számok , van egy funkciója a osztály , egy valós változó és komplex értékek meghatározása közel 0, a
(nál nélnem){\ displaystyle (a_ {n})}
f{\ displaystyle f}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![C ^ {{\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
∀nem∈NEMf(nem)(0)=nál nélnem.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}
Eredmény
Ennek a tételnek az a következménye, hogy a Taylor-sorozatuktól eltérõ függvények léteznek a 0 bármely szomszédságában, elegendõ a szekvenciához tartozó függvény felvétele .
f{\ displaystyle f}
((nem!)2){\ displaystyle \ bal ((n!) ^ {2} \ jobb)}![{\ displaystyle \ bal ((n!) ^ {2} \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed72c56f8de11bcd7d3e660e95853d495d1424f8)
Általános állítás
Hagy egy nyitott a és a szekvencia komplex értékű osztályú funkciókat . Ekkor létezik egy komplex értékű osztályfüggvény , a parciális differenciálegyenlet megoldása :
U{\ displaystyle U}
Rnem{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
(fnem){\ displaystyle (f_ {n})}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
U{\ displaystyle U}
F=F(t,x){\ displaystyle F = F (t, x)}
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}
R×U{\ displaystyle \ mathbb {R} \ szor U}![{\ displaystyle \ mathbb {R} \ szor U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c67015b40fb2bd64ea7e0aef965cf77819fc10)
∀k∈NEM∀x∈U∂kF∂tk(0,x)=fk(x).{\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in U \ qquad {\ frac {\ részleges ^ {k} F} {\ részleges t ^ {k}}} (0, x) = f_ {k} (x).}
Van konstruktivista bizonyíték erre az eredményre.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Claude Sabbah , Terjesztések Laurent Schwartz nyomán , szerk. École Polytechnique, 2003, p. 3 .
-
Jean-Michel Bony , Elemző tanfolyam: eloszláselmélet és Fourier-elemzés , szerk. École Polytechnique, 2001, p. 76 .
-
Jacques Lafontaine, Bevezetés a differenciálfajtákba [ a kiadások részletei ], 2010, p. 88 .
-
Alain Chenciner , Sík algebrai görbék , Springer, 2007, p. 74 .
-
Dany-Jack Mercier és Jean-Étienne Rombaldi, Annals of external CAPES 1999–2005: 15 kijavított probléma , Publibook, 2005, p. 127 .
-
Serge Alinhac és Patrick Gérard, ál -differenciál operátorok és Nash-Moser-tétel , EDP Sciences , 1991, p. 31 .
-
(It) A. Genocchi, G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale , Fratelli Bocca, Roma, 1884., 67. bekezdés .
-
(in) Besenyei Ádám , " Peano Borel tételének észrevétlen bizonyítéka " , Amer. Math. Havi , vol. 121, n o 1,2014 január, P. 69–72 ( online olvasás ).
-
É. Borel, A függvényelmélet egyes pontjain Ann. Sci. Ec. Norma. Nagy. 12 (1895) 9-55.
-
(től) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb . k. Bayer. Akad. Wiss., Matematika-fiz. Klasse (1876) 225-237, vagy Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
-
(in) Martin Golubitsky (de) és Victor Guillemin , Stable mappings and their singularities , New York, Springer , al. " GTM " ( n o 14)1974, 3 e . , 209 p. ( ISBN 978-0-387-90073-5 , LCCN 73018276 ).
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">