Sinus bíboros
A matematikában a kardinális szinuszfüggvény egy speciális függvény, amelyet a hullámfizikai problémákban gyakran előforduló trigonometrikus szinuszfüggvény határoz meg .
Definíciók
A kardinális szinusz funkciót a következők határozzák meg:
sinc(x)=bűn(x)x{\ displaystyle \ kezelőnév {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}} (1. meghatározás)
ahol a bűn a szinusz funkciót jelöli .
Van egy másik gyakran használt meghatározás:
sinc(x)=bűn(πx)πx{\ displaystyle \ kezelőnév {sinc} (x) = {\ frac {\ sin (\ pi x)} {\ pi x}}} (2. meghatározás).
Amikor lehetséges az összetévesztés, ezt követően sinc 1-vel
(ill. Sinc π-vel ) jelöljük a függvény első (illetve második) változatát. A másodikat néha normalizált kardinális sinusnak nevezik .
Tulajdonságok
Elemi tulajdonságok
A nulla értéke első pillantásra meghatározatlannak tűnik, de a határszámítás lehetséges: az ember felismeri
bűnxx=bűnx-bűn0x-0{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = {\ frac {\ sin x- \ sin 0} {x-0}}}
a szinuszfüggvény növekedési sebessége, amelynek 0-ban megadott határa a 0- ból származó szinuszból származtatott szám , egyenlő cos (0) = 1-vel , amely lehetővé teszi a függvény definiálását sinc (0) = 1 beállításával , így működtetve egy kiterjesztés a folytonosság által .
A függvény nulláit az (első definíció) vagy a (második definíció)
értékben éri el.x=kπ, k∈Z∗{\ displaystyle x = k \ pi, \ k \ in \ mathbb {Z} ^ {*}}x=k, k∈Z∗{\ displaystyle x = k, \ k \ in \ mathbb {Z} ^ {*}}
Abscissák és az extrém értékei
x
|
x / π
|
sinc ( x )
|
sinc 2 ( x )
|
20 log | sinc ( x ) |
|
---|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
---|
4,493409
|
1,430297
|
−0.217234
|
0,047190
|
−13.26
|
---|
7.725252
|
2.459024
|
0,128375
|
0,0116480
|
−17,83
|
---|
10.904122
|
3,470890
|
−0.091325
|
0,008340
|
−20,79
|
---|
14.066194
|
4.477409
|
0,070913
|
0,005029
|
−22.99
|
---|
17,220755
|
5.481537
|
−0.057972
|
0,003361
|
−24,74
|
---|
20.371303
|
6.484387
|
0,049030
|
0,002404
|
−26.19
|
---|
23,519452
|
7.486474
|
−0.042480
|
0,001805
|
−27.44
|
---|
26.666054
|
8.488069
|
0,037475
|
0,001404
|
−28.53
|
---|
29.811599
|
9.489327
|
−0.033525
|
0,001124
|
−29.49
|
---|
32.956389
|
10.490344
|
0,030329
|
0,000920
|
−30,36
|
---|
36,100622
|
11.491185
|
−0.027690
|
0,000767
|
−31.15
|
---|
39.244432
|
12.491891
|
0,025473
|
0,000649
|
−31.88
|
---|
42.387914
|
13.492492
|
−0.023585
|
0,000556
|
−32.55
|
---|
Az érték, ahol a sinc 1 ( x ) négyzete egyenlő 0,5- vel, kb. X = ± 1,39156 esetén érhető el (ami lehetővé teszi a függvény −3 dB teljesítményű átengedési sávjának szélességét ).
A függvény egész sorban fejleszthető a valós vonalon:
bűnxx=∑nem=0+∞(-1)nemx2nem(2nem+1)!{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {( 2n + 1)!}}}
és paraméteres integrálként is meg van írva :
bűnxx=∫01kötözősaláta(tx)dt{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cos (tx) \, \ mathrm {d} t}.
E két képlet egyikéből vagy a másikból arra következtetünk, hogy a kardinális szinusz végtelenül megkülönböztethető, és akár holomorf funkcióban is kiterjeszthető az egész komplex síkon.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
A kardinális szinuszfunkció primitívjei nem számíthatók elemi függvényekkel. Szokásos meghatározni egy speciális függvényt , az integrált szinuszfüggvényt, mint a kardinális szinusz nulla primitívjét 0-nál:
Igen(x)=∫0xbűnttdt.{\ displaystyle \ kezelőnév {Si} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t.}
Bizonyítjuk, hogy az integrál konvergál. A Dirichlet integráljáról van szó , π / 2 értékű . A kardinális szinuszfunkció azonban nem integrálható Lebesgue értelmében (másrészt a szelvényintegrál értelmében ), mert a konvergencia nem abszolút; más szóval van∫0+∞bűnxxdx{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, \ mathrm {d} x}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}∫0+∞|bűnt|tdt=+∞.{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {| \ sin t |} {t}} \, \ mathrm {d} t = + \ infty.}
Fourier transzformáció
A Plancherel transzformáltja a bíboros szinusz sinc π a kapu funkciót Π , egy indikátor funkciója a valós intervallum [-1/2, 1/2] .
Valójában a Π Fourier-transzformációja :
F(Π)(f)=∫-1/21/2e-2πénftdt=sincπ(f).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ Pi) (f) = \ int _ {- 1/2} ^ {1/2} {\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i } ft} \, \ mathrm {d} t = \ kezelőnév {sinc} _ {\ pi} (f).}
Kapcsolatok speciális funkciókkal
A sarkalatos szinusz az első típusú gömb alakú Bessel-funkciók kifejeződésében jelenik meg , különösen
sinc1(x)=j0(x){\ displaystyle \ kezelőnév {sinc} _ {1} (x) = j_ {0} (x)}.
A normalizált kardinális szinust végtelen szorzatként fejezzük ki :
sincπ(x)=∏nem=1∞(1-x2nem2){\ displaystyle \ kezelőnév {sinc} _ {\ pi} (x) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ bal (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2 }}} \ jobb)}és megjelenik a kiegészítési képletben , amely átírható:
Γ(1+x)Γ(1-x)=1sincπ(x){\ displaystyle \ Gamma (1 + x) \ Gamma (1-x) = {\ frac {1} {\ operátornév {sinc} _ {\ pi} (x)}}}.
bűnzz=∏nem=1∞kötözősalátaz2nem{\ displaystyle {\ frac {\ sin z} {z}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos {\ frac {z} {2 ^ {n}}}}.
Használat és alkalmazások
-
ET Whittaker kimutatta, hogy a kardinális szinuszfunkció központi szerepet játszik az egyenlő távolságú pontok hálózatán történő interpoláció elméletében .
- Tekintettel arra, hogy a Fourier-transzformáció a kapu funkció nagyon gyakran használják, a bíboros sine szükségszerűen nagyon jelen van, különösen a hullám fizika (mert a Fraunhofer diffrakciós jelenségek által feldolgozott Fourier-transzformáció), valamint a digitális feldolgozását a jelet . Pontosabban, az információs elmélet , a bíboros szinusz függvény lehetővé teszi, hogy a pontos szintézisét jelek véges támogatásával spektrum ( képlete Shannon , 1949). Különösen a bíboros sine gyakran előforduló antenna elmélet , akusztika , radar , a diffrakciós egy rés , stb
- Ugyanez a gondolat az alapja a Lánczos Kornél " szigma közelítés .
- Gyakran használjuk a kardinális szinusz négyzetét is, mert ez adja meg annak a jelnek az intenzitását vagy erejét, amelynek amplitúdója kardinális szinuszban van. Gyakran megpróbálják csökkenteni a modul másodlagos maximumainak hatását (ami nemkívánatos másodlagos lebenyeket eredményez ).
- Mivel az értékek gyorsan csökkennek, a kardinális szinuszfüggvény négyzetét gyakran logaritmikus skálán ábrázoljuk .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Bemutatót lásd például a Wikiverzió javított gyakorlatában .
-
Vö. (En) Edmund Taylor Whittaker , „ Az interpolációs elmélet kiterjesztése által képviselt funkciókról ” , Proc. Roy. Soc. Edinburgh , n o 35,1915, P. 181-194és (en) John Macnaghten Whittaker , Interpolatory Function Theory , London, Cambridge University Press , coll. "Cambridge-i matematika és matematikai fizika",1935.
Lásd is
(en) Eric W. Weisstein , „ Sinc Function ” , a MathWorld- on
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">