Kiegészítő képlet
A kiegészítő képlet a gamma függvény tulajdonságát jelöli :
Bármely z komplex szám esetén, amelynek valós része szigorúan 0 és 1 között van ,
Γ(1-z)Γ(z)=πbűnπz.{\ displaystyle \ Gamma (1-z) \; \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin \ pi z}.}
Ezt a tulajdonságot Leonhard Euler fedezte fel .
Demonstráció
Figyelembe vesszük a béta funkciót
B(o,q)=∫01to-1(1-t)q-1dt.{\ displaystyle \ mathrm {B} (p, q) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {p-1} (1-t) ^ {q-1} \, \ mathrm {d} t .}Ha a valós rész z komplexét 0 és 1 közé állítjuk , majd az u = t ⁄ 1- t változók változásával egyenlőséget kapunk:
B(z,1-z)=∫01tz-1(1-t)-zdt=∫0+∞uz-11+udu=∫0+∞f(u)du.{\ displaystyle \ mathrm {B} (z, 1-z) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {z-1} (1-t) ^ {- z} \, \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {z-1}} {1 + u}} \, \ mathrm {d} u = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} f (u) \, \ mathrm {d} u.}Ezt az integrált a maradék tétel alapján számoljuk ki . Ehhez a következő utat definiáljuk 0 <ε <1 < R esetén :
-
C ε az ε sugarú félkör a Re ( w ) <0 félsíkon
- a két szegmens Sε,R±={±énε,±énε+R2-ε2}{\ displaystyle S _ {\ varepsilon, R} ^ {\ pm} = \ {\ pm \ mathrm {i} \ varepsilon, \ pm \ mathrm {i} \ varepsilon + {\ sqrt {R ^ {2} - \ varepsilon ^ {2}}} \}}
- egy kör íve Γε,R={Reénθ,θ∈[arctanεR2-ε2,2π-arctanεR2-ε2]}{\ displaystyle \ Gamma _ {\ varepsilon, R} = \ left \ lbrace R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}, \ theta \ in \ left [\ arctan {\ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {R ^ {2} - \ varepsilon ^ {2}}}}, 2 \ pi - \ arctan {\ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {R ^ {2} - \ varepsilon ^ {2}} }} \ right] \ right \ rbrace}
Ha az ε és R értékeket úgy választjuk meg , hogy a w = -1 pont az irányban legyen, akkor a maradék tétel megadja
∫VSεf(w)dw+∫Sε,R+f(w)dw+∫Γε,Rf(w)dw+∫Sε,R-f(w)dw=2énπRes(-1,f).{\ displaystyle \ int _ {C _ {\ varepsilon}} f (w) dw + \ int _ {S _ {\ varepsilon, R} ^ {+}} f (w) dw + \ int _ {\ Gamma _ {\ varepsilon, R}} f (w) dw + \ int _ {S _ {\ varepsilon, R} ^ {-}} f (w) dw = 2 \ mathrm {i} \ pi \ mathrm {Res} ( -1, f).}Azáltal, hogy ε-t 0-ra és R-t a végtelen felé hajlítjuk, Jordán lemma alapján az következik , hogy a C ε-n és Γ ε-n, R-n lévő integrálok 0 felé hajlanak. Másrészt, összetett logaritmusok figyelembevételével :
∀t>0,(t+énε)1-z⟶ε→0t1-z , (t-énε)1-z⟶ε→0t1-ze-2énπz.{\ displaystyle \ forall t> 0, \ quad (t + \ mathrm {i} \ varepsilon) ^ {1-z} {\ underset {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ longrightarrow}} t ^ {1-z} \, \ (t- \ mathrm {i} \ varepsilon) ^ {1-z} {\ underset {\ varepsilon \ rightarrow 0} {\ longrightarrow}} t ^ {1-z} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ mathrm {i} \ pi z}.}Így az egyszerűsítések után:
2énπRes(-1,f)=(1-e2énπz)∫0+∞uz-11+udu.{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} \ pi \ mathrm {Res} (-1, f) = (1- \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi z}) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {z-1}} {1 + u}} \, \ mathrm {d} u.}Továbbá:
Res(-1,f)=limw→-11w1-z=-eénπz.{\ displaystyle \ mathrm {Res} (-1, f) = \ lim _ {w \ to -1} {\ frac {1} {w ^ {1-z}}} = - \ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} \ pi z}.}Tehát, leegyszerűsítve
B(z,1-z)=∫0+∞uz-11+udu=πbűn(πz).{\ displaystyle \ mathrm {B} (z, 1-z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u ^ {z-1}} {1 + u}} \, \ mathrm {d} u = {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi z)}}.}A következtetéshez elegendő ekkor felidézni a béta funkció definícióját az Euler Gamma függvényéből.
Kapcsolódó cikk
A zéta függvény funkcionális egyenlete
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">