Béta funkció
A matematika, a béta funkció egyike annak a két Euler integrál meghatározott valamennyi komplex számok x és y a szigorúan pozitív valós része szerint:
B(x,y)=∫01tx-1(1-t)y-1dt,{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} \ mathrm {d} t,}
és esetleg analitikusan kiterjeszthető a teljes komplex síkra, a negatív egészek kivételével.
A béta funkciót Euler és Legendre tanulmányozta, és nevét Jacques Binet-nek köszönheti . A gamma funkcióval függ össze .
Van még egy hiányos verziója a béta függvénynek, a hiányos béta függvénynek , valamint annak szabályosított változata, a hiányos szabályosított béta funkciónak .
Tulajdonságok
Az u = 1 - t változó változása integrált formában azt bizonyítja, hogy ez a függvény szimmetrikus, azaz:
B(x,y)=B(y,x){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (y, x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e9760089019b4291675030690d4fac135d81b0)
.
Az integrális formákat is felveheti
B(x,y)=2∫0π/2bűn2x-1θ kötözősaláta2y-1θ dθ{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta ~ \ cos ^ {2y-1} \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = 2 \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ {2x-1} \ theta ~ \ cos ^ {2y-1} \ theta ~ \ mathrm {d} \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74506ec535ce80eabc8b7694551f698ecaa93c95)
(a változó megváltoztatásával ),
t=bűn2θ{\ displaystyle t = \ sin ^ {2} \ theta}
B(x,y)=∫0∞sy-1(1+s)x+y ds{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {s ^ {y-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} } ~ \ mathrm {d} s}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {s ^ {y-1}} {(1 + s) ^ {x + y}} } ~ \ mathrm {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0516cdffcbc0f03f2439b8334feeb18c50603c1)
(a változó megváltoztatásával ).
t=11+s{\ displaystyle t = {\ dfrac {1} {1 + s}}}
Kielégíti a funkcionális egyenleteket , például:
B(x,y+1)=yx+yB(x,y){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y + 1) = {y \ x x y felett} \ mathrm {B} (x, y)}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y + 1) = {y \ x x y felett} \ mathrm {B} (x, y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d427b0dbbb3bed645d97bd862738a2d887bd3c3)
,
B(x,y) B(x+y,1-y)=πxbűn(πy){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) ~ \ mathrm {B} (x + y, 1-y) = {\ dfrac {\ pi} {x \ sin (\ pi y)}}}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) ~ \ mathrm {B} (x + y, 1-y) = {\ dfrac {\ pi} {x \ sin (\ pi y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb025bf16588d5ed2f8b97eb1a5a907f68a9de6)
,
B(x,x)=21-2xB(12,x){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, x) = 2 ^ {1-2x} \ mathrm {B} \ balra ({\ tfrac {1} {2}}, x \ jobbra)}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, x) = 2 ^ {1-2x} \ mathrm {B} \ balra ({\ tfrac {1} {2}}, x \ jobbra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613bf3d08a7902251c411e19f694207b39ddc413)
.
A gamma függvényhez a következő egyenlet kapcsolódik:
B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y){\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}![{\ displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = {\ frac {\ Gamma (x) \, \ Gamma (y)} {\ Gamma (x + y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1159a9864d1aa0f86171c7c427d3ff3c04253a90)
.
Ha x és y is szigorúan pozitív egész számok , ez az egyenlet átírt, tekintve faktoriális vagy binomiális együttható :
x+yxyB(x,y)=(x+y)!x! y!=(x+yx){\ displaystyle {\ frac {x + y} {xy \ mathrm {B} (x, y)}} = {\ frac {(x + y)!} {x! ~ y!}} = {x + y \ válassza x}}
.
Ha x és y két racionális , és ha sem X , sem Y , sem x + y jelentése egész szám, akkor Β ( x , y ) egy transzcendens szám .
Származtatás
A béta függvény parciális deriváltjai a korábban látott funkcionális egyenleteket használják:
∂∂xB(x,y)=B(x,y)(Γ′(x)Γ(x)-Γ′(x+y)Γ(x+y))=B(x,y)(ψ(x)-ψ(x+y)),{\ displaystyle {\ részleges \ át \ részleges x} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ balra ({\ Gamma '(x) \ felett \ Gamma (x) } - {\ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y)) ,}![{\ részleges \ felett \ részleges x} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ balra ({\ Gamma '(x) \ felett \ Gamma (x)} - { \ Gamma '(x + y) \ over \ Gamma (x + y)} \ right) = \ mathrm {B} (x, y) (\ psi (x) - \ psi (x + y)),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde901af8cf39d727d388bf1ae56d662a341b9d4)
ahol ψ ( x ) a digamma függvény .
∂2∂x2B(x,y)=B(x,y)[(ψ(x)-ψ(x+y))2+(ψ1(x)-ψ1(x+y))],{\ displaystyle {\ részleges ^ {2} \ át \ részleges x ^ {2}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ balra [(\ psi (x) - \ psi (x + y)) ^ {2} + (\ psi _ {1} (x) - \ psi _ {1} (x + y)) \ jobbra],}
∂2∂x∂yB(x,y)=B(x,y)[(ψ(x)-ψ(x+y))(ψ(y)-ψ(x+y))-ψ1(x+y)],{\ displaystyle {\ részleges ^ {2} \ felett {\ részleges x \ részleges y}} \ mathrm {B} (x, y) = \ mathrm {B} (x, y) \ balra [(\ psi (x ) - \ psi (x + y)) (\ psi (y) - \ psi (x + y)) - \ psi _ {1} (x + y) \ jobbra],}
ahol ψ n ( x ) a poligamma függvény .
Hiányos béta funkció
A hiányos béta funkciót a következők határozzák meg:
B(x;nál nél,b)=∫0xtnál nél-1(1-t)b-1dt{\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a, b) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} \, (1-t) ^ {b-1} \ mathrm {d} t}
és triviálisan ellenőrzi :
B(x;nál nél+1,b)+B(x;nál nél,b+1)=B(x;nál nél,b)etxnál nél(1-x)b=nál nélB(x;nál nél,b+1)-bB(x;nál nél+1,b).{\ displaystyle \ mathrm {B} (x; \, a + 1, b) + \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) = \ mathrm {B} (x; \, a, b ) \ quad {\ rm {és}} \ quad x ^ {a} (1-x) ^ {b} = a \ mathrm {B} (x; \, a, b + 1) -b \ mathrm {B } (x; \, a + 1, b).}
Az X = 1 , akkor felel meg a béta funkció paraméterek egy és b .
A rendszeresített hiányos béta funkció a hiányos béta funkció elosztása a teljes béta funkcióval
énx(nál nél,b)=B(x;nál nél,b)B(nál nél,b).{\ displaystyle I_ {x} (a, b) = {\ dfrac {\ mathrm {B} (x; \, a, b)} {\ mathrm {B} (a, b)}}.}
A korábbi kapcsolatok így válnak
nál nélénx(nál nél+1,b)+bénx(nál nél,b+1)=(nál nél+b)énx(nál nél,b){\ displaystyle aI_ {x} (a + 1, b) + bI_ {x} (a, b + 1) = (a + b) I_ {x} (a, b)}
,énx(nál nél,b+1)-énx(nál nél+1,b)=xnál nél(1-x)bnál nél+bnál nélbB(nál nél,b).{\ displaystyle, \ quad I_ {x} (a, b + 1) -I_ {x} (a + 1, b) = x ^ {a} (1-x) ^ {b} {\ frac {a + b} {ab \ mathrm {B} (a, b)}}.}
A másodikból ( azonnali megismétlődéssel ) a binomiális fejlődéssel és a binomiális törvénnyel a következő kapcsolatot vezetjük le :
éno(nál nél,nem-nál nél+1)=∑j=nál nélnem(nemj)oj(1-o)nem-j.{\ displaystyle I_ {p} (a, n-a + 1) = \ sum _ {j = a} ^ {n} {n \ select j} p ^ {j} (1-p) ^ {nj}.}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Bemutatót lásd például a Wikiverzió javított gyakorlatában .
-
(de) Theodor Schneider , " Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale " , J. queen Angew. Math. , vol. 183,1941, P. 110–128 ( online olvasás ).
-
(in) Aslam Chaudhryt és Syed M. Zubair , volt osztály Hiányos Gamma Funkciók Applications , CRC Press ,2001( ISBN 978-1-58488-143-8 , online olvasás ) , p. 218.
-
(en) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal [ kiadás részletei ] ( online ), 6.6.
Külső hivatkozás
(en) Eric W. Weisstein , „ Béta funkció ” , a MathWorld- on
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">