A vektor geometria , egy ortonormáiis bázis vagy ortonormális alapon ( BON ) egy euklideszi vagy hermitikus tér egy alapja e vektor helyet alkotják vektorok a norma 1 és ortogonális kettesével. Ilyen alapon a tér bármely vektorának koordinátái megegyeznek az adott vektor megfelelő ponttermékeivel az egyes alapvektorok által, és bármely két vektor ponttermékének kanonikus kifejezése van koordinátáik függvényében.
Egy prehilbertian térben E (azaz egy valós vagy komplex vektortér látva egy skalár termék ), egy család ( v i ) i ∈ I vektorok azt mondják, hogy ortogonális , ha ezek a vektorok ortogonális párban:
Egy ilyen család ortonormális, ha ráadásul ezek a vektorok egységesek :
Összefoglalva, egy család ( v i ) i ∈ I jelentése ortonormális, ha ∀ i , j ∈ I ⟨ v i , v j ⟩ = δ i , j .
Bármely, nem nulla vektorból képzett ortogonális család szabad .
Az ortonormális család tehát szabad. Úgy hívják ortonormális alapján az E ha több generátor az E , vagyis ha ez egy alap E .
Ha prehilbert tér E jelentése euklideszi vagy hermitikus , vagyis ha a véges dimenzióban , ortonormált család egy bázis akkor és csak akkor, ha tartalmaz n vektorok, ahol n a dimenzió az E .
A cikk további részében E n az n dimenzió euklideszi terét jelöli .
Legyen A n lehet egy affin euklideszi térben társított vektor teret E n és Õ bármely pontján Egy n , akkor egy affin koordináták
ortonormálisnak mondható, ha a hozzá tartozó bázis maga orthonormális.
A geometria a térben , a bázist általában jegyezni helyett .
Ha a alapja a közvetlen , akkor a kereszt termék a és (azaz ).
Az euklideszi tér bármely alapjáról a Gram-Schmidt-módszer konstruktív módszert biztosít e tér ortonormális alapjának megszerzésére. Különösen azt mondhatjuk:
Bármely nem nulla dimenziójú euklideszi térben vannak ortonormális alapok.
Ezt az eredményt alkalmazva az E n p vektorok ortonormális családja által generált tér derékszögére , létrehozzuk a hiányos ortonormális alaptételt:
Az euklideszi tér bármely ortonormális vektorcsaládja kitölthető ennek a térnek az ortonormális alapon.
Az ortonormális bázisok megléte lehetővé teszi annak megállapítását, hogy az euklideszi struktúrák azon végtelensége, amelyekkel vektortér biztosítható - az ortogonalitás különböző elképzeléseivel -, mind izomorfak egymással szemben.
Legyen E n ortonormális alapja .
Az E n vektor bontását ezen az alapon a következő adja:
.
Ezután az E n két vektorának skaláris szorzatát az alábbiak adják meg:
.
Az E n vektorának normája négyzetének kifejezése tehát:
.
Ez a három tulajdonság valójában egyenértékű egymással, és egyenértékű azzal a ténnyel, hogy a család E n ortonormális alapja .
Az ortogonális projektor 1- lipchiczi jellege lehetővé teszi belőle a Bessel-egyenlőtlenség levezetését , amely magában foglalja a végtelen ortonormális család általánosítását.
Ha ortonormális alap és bármely E n család , akkor
akkor és csak akkor ortonormális alap, ha az alapban lévő család mátrixa ortogonális.Azok az endomorfizmusok, amelyek egy ortonormális bázist ortonormális bázissá alakítanak, tehát ortogonális automorfizmusok .