Relatív egész szám

A matematika , a relatív egész egy számot , amely megjelenik, mint egy természetes szám, hogy mely van hozzá egy pozitív vagy negatív jel jelzi pozícióját képest 0 egy orientált tengelyen. Pozitív egész szám (nagyobb, mint nulla) azonosítják természetes egész szám  : 0, 1, 2, 3 ... míg a negatív egész számok vannak azok ellentétei  : 0, -1, -2, -3, ... értéke 0 önmagában tehát az egyetlen szám, ami pozitív és negatív egyaránt.

A valós szám akkor egész szám, ha nincs törtrésze , vagyis ha a tizedesírás nem tartalmaz számot (a nulla kivételével ) "a tizedespont után".

Relatív egész számokat használunk bármely két természetes szám közötti különbség kifejezésére . A különbség egyéb jelentései mellett megadhatjuk a referenciaponthoz ( diszkrét helyzetű , vagyis megszakító) tengelyhez viszonyított helyzetét ; mozgás eredeti helyzetből, mindkét irányba; vagy egy egész érték változása, ezért egységekben számolva (pozitív változás variáció esetén, negatív veszteség esetén).

A készlet egészek jelöljük „  Z  ”, nagybetű zsír a szöveg gépelt fokozatosan kiszorította a kézzel írt script egy perjel perforált  „ℤ”. A jelenléte egy csillaggal a felső indexben ( „  Z *”) általában jelöli a sor nem nulla relatív egész számok, akkor is, ha ezt a jelölést néha használják a készlet invertálható elemei Z , vagyis az egész számpár {−1, 1}. A „  Z -  ” jelölés a negatív egészek halmazát jelöli. Ritkábban találjuk a "  Z +  " jelölést,  amelyet azonosítással helyettesítünk a természetes számok " N " jelölésével  .

Ez a készlet ( teljesen ) a természetes számokból örökölt szokásos összehasonlítási relációhoz van rendelve . Úgy is fel van szerelve a műveletek összeadás és a szorzás, amelyek alapját képezik a fogalom gyűrű az algebra .

A relatív egész számokat néha racionális egészeknek is nevezik , ez a név nem keverhető össze racionális számokkal vagy törtekkel. Ez a név származik az angol racionális egész szám , és kijelöli az adott esetben az algebrai egészek , épül a szám mezőben a racionális számok . Ezt a nevet megtaláljuk Nicolas Bourbakiban és bizonyos matematikusokban, akik a modern matematika mozgásának részei , beleértve Georges Papy-t is .

Motiváció

A negatív számok bevezetésének fő oka az, hogy képes megoldani a forma összes egyenletét:

a + x = b , ahol x az ismeretlen, a és b pedig paraméterek.

A természetes számok halmazában ezeknek az egyenleteknek csak némelyikének van megoldása.

5 + x = 8 akkor és csak akkor, ha x = 3 A 9 + x = 4-nek nincs megoldása a természetes számok halmazában. Van egy megoldása a relatív egészek halmazában, amely −5.

A történelem töredékei

Az első utalás a negatív számokra olyan indiai szövegekben jelenik meg, mint az indiai matematikus Âryabhata (476-550) Arybhatiya, ahol meghatározzák az összeadás és kivonás szabályait. A negatív számok ekkor jelennek meg az adósságok, a pozitív számok pedig bevételek. Néhány évszázaddal később Abu l-Wafa (940–998) perzsa matematikus írásaiban pozitív számokkal negatív számok szorzatai jelennek meg. A szám azonban továbbra is a fizikai mennyiségekhez kapcsolódik, és a negatív szám kevés jogi státusszal rendelkezik . Al Khuwarizmi (783-850) például az Átültetés és csökkentés című munkájában a kivonások figyelembevétele helyett inkább 6 típusú másodfokú egyenlettel foglalkozik.

Európában a relatív számok későn jelennek meg, általában Simon Stevinnek (1548-1620) tulajdonítjuk a két relatív egész szám szorzatának híres szabályát . D'Alembert (1717-1783) maga az Enciklopédiában a relatív számot veszélyes ötletnek tekinti.

„El kell ismernünk, hogy nem könnyű rögzíteni a negatív mennyiségek gondolatát, és néhány okos ember még az általa adott pontatlan fogalmakkal is hozzájárult, hogy megzavarja azt. Ha azt mondjuk, hogy a negatív mennyiség nem éri el a semmit, az előremozdít valamit, ami elképzelhetetlen. Azok, akik azt állítják, hogy 1 nem hasonlítható össze −1-vel, és hogy az 1 & −1 arány eltér a −1 és 1 arányától, kettős hibában vannak […] Ezért valóban nincs & abszolút izolált negatív mennyiség : −3 elvont módon ötletet nem mutat az elmének. "

- D'Alembert, A tudomány, a művészet és a kézművesség indokolt szótára, vol. 11.

Várni kell még két évszázadot és a formalizmus megjelenését, hogy a természetes egészpárok ekvivalenciaosztályaiból származó relatív egészek halmazának formális felépítése megjelenjen .

Meg Richard Dedekind (1831-1916) köszönhetjük ez a konstrukció. Maga a K betűt használta a relatív egészek halmazának kijelölésére. Számos más egyezményt alkalmaztak, mígnem Nicolas Bourbaki népszerűsítette a német Zahlen (számok) kezdőbetű használatát . Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

Működési szabályok

Relatív számban megkülönböztetjük a jelet (+ vagy -) és az abszolút értéket  : −3 abszolút értéke 3.

Kiegészítés

Két azonos előjelű egész szám összegét a két abszolút érték összeadásával és a közös előjel megtartásával kapjuk meg:

(−3) + (−5) = −8, rövidítésként −3 - 5 = −8 írás, eltávolítva a + operatív jelet.

Két ellentétes előjellel rendelkező relatív egész összegét úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk a két abszolút érték közötti különbséget és hozzárendeljük a legnagyobb abszolút értékű egész számát:

(+3) + (−5) = −2, megírva, hogy rövidítsük 3 - 5 = −2-re.

Szorzás

A szorzás eredményét szorzatnak nevezzük. Két, azonos előjelű relatív szám szorzata mindig pozitív (+), és az abszolút érték szorzatának kiszámításával nyerhető:

(+3) × (+4) = +12, amelyet rövidítünk 3 × 4 = 12-re (−3) × (−7) = + 21 = 21

(a + nem kötelező, ha a termék nem negatív)

Két különböző előjelű relatív szám szorzata mindig negatív (-), és az abszolút érték szorzatának a megszerzésével kapjuk

(+7) × (−4) = −28

A jelek szabálya

több szorozva több , ad a termék több . kevesebb szorozva kevesebbel , többet ad a terméknek kevesebb szorozva több vagy több szorozva kevésbé ad a termék kevesebb

Egész számok halmaza

Építkezés

A relatív egész számok Z halmaza a természetes egész számok N félgyűrűjének szimmetrizálásaként tekinthető .

Szerkezet

Az összeadás és szorzás törvényeivel ellátott relatív egész számok halmaza a gyűrű fogalmának prototípusa . Még euklideszi gyűrű is , utalva az euklideszi felosztásra . Ezért ez is fő és tényszerű .

El lehet látni a diszkrét topológiával , amely a különbség abszolút értéke által indukált szokásos távolsághoz kapcsolódik, ami teljes metrikus térré teszi . Az egyetlen másik távolságok összeegyeztethető a gyűrűs szerkezetű p -adic távolságok , ahol p egy prímszám .

Az additív csoport szerkezete ( Z , +) torzió nélküli monogén csoport , azaz 1. rangú szabad abeli csoport .

A beállított Z jelentése Teljesen rendezett a szokásos rend vonatkozásában.

A relatív egész számok végtelen megszámlálható halmazt alkotnak .

Hosszabbítások

A beállított Z egészek elmerül minden decimális szám , jelöljük D , amely maga is egy része a beállított racionális számokat jegyezni Q .

Az egész szám fogalmát kibővíti az algebrai egész számok meghatározása , amelyek a különböző számmezőkre vonatkoznak, milyen relatív egészek a racionális számok mezőire. A racionális egész számok, vagyis a racionális számok mezőjének algebrai egész számai tehát pontosan a relatív egész számok.

A befejezett Z mindegyik p- adic távolságára egy p- adic egész számot tartalmazó gyűrű, a Z p értéke a test része a p -adic számok teste, amelyet Q p jelöl, és amely Q-t tartalmaz .

Általános felhasználások

A relatív számok azok a számok, amelyek viszonylag ismertté váltak. Megtalálhatók:

• a felvonók ahol például -2 kijelöli a második pincében;
• a hőmérők , jelezve alatti hőmérsékleten 0  ° C-on  ;
• bankszámlakivonaton, ahol például -120 120 euró folyószámlahitelet jelent.

Megjegyzések és hivatkozások

1. Ebből a nullához viszonyított helyzetből származik az ezekre az egész számokra alkalmazott „relatív” jelző.
2. Bizonyos különféle, különösen az angolszász országokban hatályos egyezmények szerint az egész nulla nem pozitív és nem negatív ( vö (en) Nulla ).
3. A német Zahlentől "számok".
4. összetévesztés elkerülhető a „ Z ×  ” kitevő  szorzó keresztjének használatával .
5. GH Hardy és EM Wright ( fordította  angolról François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Bevezetés a számelméleti [ „  Bevezetés a Theory of Numbers  ”] [ részlet a kiadás ], 12. fejezet.
6. De a matematika és a hozzá tartozó tantárgyak összesítésének hivatalos programja a Franciaországban elterjedtebb elnevezést használja: „relatív egész számok”.
7. Vö. Például N. Bourbaki, Matematika elemei , Algebra , fejezet. I, 2. § n o  5 ( p.  28 A régi verzió elérhető online ), vagy Roger Godement , Cours d'Algèbre , 5. § n o  8.
8. Klasszikus paradoxon: ha -1 <1, akkor ennek a két számnak az inverzei fordított sorrendben rendeződnének: a -1 inverze -1, az 1 inverze pedig 1, ezért -1> 1. a hiányos mondat " ennek a két számnak az inverzei fordított sorrendbe kerülnének ", meg kell határozni, hogy" ugyanazon előjel két számának inverzei fordított sorrendben vannak-e elrendezve ". További információkért lásd az inverz függvény cikket .
9. (en) A számelmélet szimbólumainak legkorábbi felhasználása .

Lásd is

Egész (IT)