Szimmetrizáció

A matematika , a szimmetrizálási egy monoid egy olyan művelet, az építőipar egy csoportot , amelyben a kezdeti monoid az előrejelzések, a természetes módon . Néha a monoidnak tekintett Grothendieck- csoportról beszélünk . Ezt a folyamatot elsősorban a relatív egészek halmazának a természetes egészekből való összeállításához alkalmazzák .

Ha a kiindulási monoidnak van egy második összetételi törvénye, amely kommutatív félgyűrűvé teszi, akkor szimmetrizált kommutatív gyűrű .

Meghatározás

Meghatározás összeadással

Bármelyik abeli csoport különösen kommutatív monoid, így létezik egy felejtő funktor az abeli csoportok kategóriájából a kommutatív monoidok kategóriájában. Ez a functor elismeri a bal oldali szomszédos G-t , amely aztán kielégíti a következő univerzális tulajdonságot : bármely abeli K csoport esetében, amelynek mögöttes monoidja F (K) , a monoidok bármely morfizmusa megfelel a csoportok morfizmusának . Ez különösen az egyediséget garantálja az izomorfizmusig. F:NÁL NÉLGro→VSMonem{\ displaystyle F: \ mathrm {AGrp} \ to \ mathrm {CMon}} NÁL NÉL→F(K){\ displaystyle A \ to F (K)}G(NÁL NÉL)→K{\ displaystyle G (A) \ - K}

Ha A jelentése egy kommutatív monoid, a csoport G (A) hívjuk azután symmetrized az A .

Kifejezett konstrukció

A fenti definíció egyértelművé tételének egyik módja az, ha figyelembe vesszük a terméket monoidnak , vagyis a derékszögű szorzatot, amely koordinátákkal a műveletek koordinátájával rendelkezik, modulálja az ekvivalencia relációt NÁL NÉL×NÁL NÉL{\ displaystyle A \ times A}

(nál nél,b)∼(nál nél′,b′)⇔∃k,nál nél+b′+k=nál nél′+b+k{\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b') \ Baloldali nyíl \ létezik k, a + b '+ k = a' + b + k}.

Ezután megérthetjük az előállított monoid egy elemét (a, b) , amely megfelel  a csoport „ a - b ” elemének  . Így az (a, a) ekvivalenciaosztálya az identitás, az (a, b) inverze pedig (b, a) .

Ha az monoid abél, és rendelkezik egy második törvénnyel, amely kommutatív félgyűrűvé teszi, a szimmetrizált szorzását a következő képlet határozza meg:

(nál nél,b)⋅(vs.,d)=(nál nélvs.+bd,nál néld+bvs.){\ displaystyle (a, b) \ cdot (c, d) = (ac + bd, ad + bc)}

Tulajdonságok

• A kommutatív monoid injektív homomorfizmusa akkor és csak akkor szimmetrizálódik, ha a monoid egyszerűsíthető .
• Ha létezik egy kommutatív és leegyszerűsíthető monoid injekciós homomorfizmusa egy csoportban , akkor az által generált alcsoport izomorf a monoid szimmetrizáltjával ( ). Néha azt mondják, hogy ez a legkisebb csoport . Meg kell jegyezni, hogy ez a fajta kifejezés nagyon nem kívánatos egy nem leegyszerűsíthető monoid esetében, mivel akkor lehetetlen, hogy ennek az injekciós morfizmusa létezzen egy csoportban.ϕ{\ displaystyle \ phi}M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}}G{\ displaystyle {\ mathcal {G}}} ϕ(M){\ displaystyle \ phi \ left ({\ mathcal {M}} \ right)}G(M){\ displaystyle G \ bal ({\ mathcal {M}} \ jobb)}G(M){\ displaystyle G \ bal ({\ mathcal {M}} \ jobb)}M{\ displaystyle {\ mathcal {M}}}
• Grothendieck szimmetrizálása kiterjeszthető kommutatív félcsoportokra sem semleges elem hozzáadásával , vagy közvetlenül. Ez utóbbi esetben a semleges elemet természetesen az "átlós elemeket" tartalmazó párok osztályaként azonosítják. Ne feledje, hogy az előző két állítás igaz marad egy kommutatív és leegyszerűsíthető félcsoporttal.
• Grothendieck szimmetrizációjának analógja létezik a mező építéséhez egy integrált és kommutatív gyűrűből, majd a törtrészekről beszélünk .

Példák

• A természetes egészek additív monoidjának szimmetrizálása a relatív egészek csoportja: lásd a relatív egészek felépítését .
• A nullától eltérő relatív egész számok multiplikatív monoidjának szimmetrizálása a racionális számok multiplikatív csoportja.
• A teljesen rendezett (nem üres) halmaz szimmetrizálása - a maximum által kiváltott törvény előírásaival összhangban - egy pontra csökken. Ez vonatkozik a halmaz részeinek metszés- vagy egyesülési törvényeire is.
• Minden Abel-csoport A ,G(NÁL NÉL)≃NÁL NÉL{\ displaystyle G (A) \ simeq A}
• Legyen R gyűrű és A a kommutatív monoid, amely a finoman előállított projektív R- modulok izomorfizmus osztályaiból áll , felruházva a művelettel . Ezután a symmetrized a K kommutatív gyűrű, és a csoport egységek halmaza izomorfizmus osztályok projektív modulok a rank 1 azaz a Picard-csoport az R .M+NEM=M⊕NEM{\ displaystyle M + N = M \ oplus N}
• Ha figyelembe vesszük a monoid képződött a izomorfizmus osztályainak vektor kötegek egy topologikus tér X , a beadagolást által indukált közvetlen összege , kapunk egy csoportot, amely egybeesik a topológiai K-csoport .

Referencia

(en) Grothendieck csoport , a PlanetMath-tól

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">