Functor

A matematikában a functor a morfizmus fogalmának általánosítása kategóriákra .

Definíciók

Egy functor (vagy kovariáns functor ) F : → kategóriáról kategóriára az adat $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

egy függvény, amely, hogy bármilyen tárgy X a , hozzárendel egy tárgy F ( X ) a , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
egy függvény, amely, bármely morfizmus f : X → Y a , társult egy morfizmus F ( f ): F ( X ) → F ( Y ) a , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

tiszteletben az identitás: bármely X objektum esetében , $\ mathcal C$ ${\ displaystyle F (\ mathrm {Id} _ {X}) = \ mathrm {Id} _ {F (X)},}$
tiszteletben a készítmény: minden objektum X , Y és Z , valamint morfizmusok f : X → Y és g : Y → Z a , $\ mathcal C$ $F (g \ circ f) = F (g) \ circ F (f).$

Más szavakkal, egy functor megőrzi a morfizmusok doménjeit és kodainjait, a nyilak azonosságát és összetételét.

Az ellentmondásos G funkcionális kategória kategóriáról kategóriára az op ellentétes kategóriájú kovariáns functor (a nyilak irányának megfordításával ) . Ahhoz, hogy bármely morfizmus f : X → Y a , ezért hozzárendel egy morfizmus G ( F ): G ( Y ) → G ( X ) a , és mi van a „kompatibilitási kapcsolatban” G ( g ∘ f ) = G ( F ) ∘ G ( g ). $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Példák

Egy kategória azonosság- funkciója , amelyet gyakran 1-vel vagy id : → jelöl , amely minden egyes objektumot és morfizmust magára küld . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Elfelejtve azokat a funktorokat, amelyek objektumokat küldenek egy kategóriából egy másik kategóriába, azáltal, hogy "elfelejtik" az objektumok bizonyos tulajdonságait:
- az Ab funktora a GRP-ben, amely magát a csoportot társítja egy abeli csoporthoz , de abban a kategóriában, amely nem abeli csoportokat is tartalmaz ("elfelejtettük" azt a tényt, hogy a csoport abeli). Mi is felejtés funktorok a Grp a kategóriában Mon a monoids és hogy a H-terek (en) , és a Ab a kategóriában kommutatív monoids;
- funktorhoz a Grp a Set amely kapcsolódik az alatta lévő sor , hogy egy csoport (már „elfelejtette” a csoport szerkezetét).
Bármely lokálisan kis kategóriájú X objektum esetében a két Functor : Hom : → Set : Y ↦ Hom ( X , Y ) (kovariáns) és Y ↦ Hom ( Y , X ) (kontravariant). $\ mathcal C$ $\ mathcal C$
Az állandó functor az a functor, amely a kiindulási kategória összes objektumát elküldi a végkategória ugyanazon objektumának, és amely a kiindulási kategória minden nyílját elküldi a képobjektum azonosságának. Ez a functorok kategóriájának végobjektuma.
Két monoid (amelyek egyetlen tárgykategória ) között a kovariáns functorok egyszerűen a monoidok morfizmusai.
A funktorhoz meghatározott egy termékkategóriát a kategóriában gyakran nevezik bifunctor . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ szorzat {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal E}$

A functorok tulajdonságai

Hűséges, teljes, teljesen hű funkcionáriusok

Azt mondjuk, hogy az F : → funktor : $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

hűséges, ha két f , g : X → Y in morfizmus egyenlő, amint az F ( f ), F ( g ): F ( X ) → F ( Y ) képeik vannak; $\ mathcal C$ $\ mathcal D$
teljes, ha bármely morfizmus F ( X ) → F ( Y ) egyenlő egy F ( f ) -vel;
teljesen hű, ha egyszerre hű és teljes.

Példák

A monoidok morfizmusa (vö. A fenti utolsó példával ) akkor és csak akkor hű, ha injektív , és teljes, ha és csak akkor, ha túlműködő .
A felejtés funktorok az Ab a Grp és Grp a közép teljesen hű.
A Grp in Set felejtő funkciója hű (de nem teljes); általánosabban, ha F egy alkategória kategóriába való felvétele , akkor hű. $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Konzervatív funkciók

Triviálisan bármely F : → funktor megőrzi az izomorfizmusokat , azaz ha f izomorfizmus, akkor F ( f ) izomorfizmus . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Az F functort konzervatívnak mondják, ha fordítva , az f in morfizmus izomorfizmus, amint F ( f ) benne van . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Példák

A morfizmus F a monoids (vö vége § „Példák” fent) konzervatív, ha, és csak akkor, ha bármilyen előzménye által F egy invertálható elem invertálható.
Bármely teljesen hűséges operátor konzervatív.
A Grp in Set felejtő funkciója konzervatív.

Segédtisztviselők

Legyen , és két kategóriában, F egy funktorhoz a a és G az az , úgy, hogy minden tárgyat , és van egy bijekciót , természetes a X és Y , $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle Y \ itt: {\ mathcal {D}}}$

{{\ rm {Hom}}} _ {D} \ bal (F \ bal (X \ jobb), Y \ jobb) \ simeq {{\ rm {Hom}}} _ {C} \ bal (X, G \ bal (Y \ jobb) \ jobb).

Ezután F azt mondta helyettes maradt G és G -helyettes a jogot F .

A kategória egyenértékűsége

Az F : → functort kategóriák ekvivalenciájának nevezzük, ha létezik egy functor G : → és a functorok természetes izomorfizmusa a G ∘ F (ill. F ∘ G ) és az azonosság (ill. ) Között . A kategóriák ekvivalenciája általánosabb fogalom, mint a kategóriák izomorfizmusa . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Megjegyzések

A functorokat néha morfizmusoknak nevezik a Cat kategóriájú kis kategóriák esetében.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Steve Awodey, kategória elmélet - Második kiadás , Oxford Logic útmutatók, p. 8., Def. 1.2
(in) OF Rydeheard és RM Burstall, Computational Kategória Theory , Prentice Hall,1988, P. 3. fejezet, 3.5. Szakasz, 3. meghatározás
(en) Horst Schubert (en) , kategóriák , Springer ,1972( online olvasható ) , p. 241.

Lásd is