Teljes és hűséges funkció

A kategóriaelméletben a teljes functor (illetőleg hűséges ) egy olyan functor, amelynek morfizmusok minden halmazára való korlátozás surjektív (vagy injektív ).

Meghatározás

Legyen C és D mind a kategória, mind az F : C → D egy C – D funkció . A X és Y a tárgyak a C , funktorhoz F indukál egy funkciót

{\ displaystyle F_ {X, Y} \ kettőspel \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {C}} (X, Y) \ rightarrow \ mathrm {Hom} _ {\ mathcal {D}} (F (X), F (Y))}

Az F funkciót mondják:

hű , ha az összes X , Y a C , F X , Y jelentése injektıv ;
teljes , ha az összes X , Y a C , F X , Y jelentése szürjektıv ;
teljesen hű , ha az összes X , Y a C , F X , Y jelentése bijektív .

Tulajdonságok

A hű funktornak nem feltétlenül kell injektálnia a tárgyakat vagy az érintett kategóriák morfizmusait. Két objektum X és X ' küldhető ugyanarra a D objektumra (ez az oka annak, hogy a teljesen hű functor képe nem feltétlenül izomorf a mezőre), és két f : X → Y és f : X ' → Y' morfizmus ugyanazt a D morfizmust küldheti el . Ugyanígy a teljes functor nem feltétlenül szurjektív tárgyakon vagy morfizmusokon. Lehetnek olyan D objektumok , amelyek nem FX formájúak , X- ben C szerepel, és az objektumok közötti morfizmusok ekkor a C morfizmus képe alapján történhetnek .

A teljesen hű functor azonban injekciós jellegű az objektumok izomorfizmusáig. Vagyis ha F : C → D teljesen hű, akkor . ${\ displaystyle F (X) \ cong F (Y)}$ ${\ displaystyle X \ cong Y}$

Példák

A felejtés funktorhoz U : Grp → Set hű, mert bármilyen morfizmus két csoport között egy térkép közötti szolgáló készletek. Nem teljes, mert a két csoport közötti egyes leképezések nem csoportmorfizmusok.

A kategória egy funktorhoz hű szett van (definíció szerint) a konkrét kategória és általában ez felejtés funktorhoz nincs tele.

Az Ab → Grp befogadó functor az abeli csoportok kategóriájától a csoportokéig teljes mértékben hű, mert az abeli csoportok bármely morfizmusa csoportok morfizmusa, a két abeli csoport közötti csoportok bármilyen morfizmusa az abeli csoportok morfizmusa.

Megjegyzések és hivatkozások

( Fr ) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ teljes és pontos funktorok ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(hu) Saunders Mac Lane , kategóriák a dolgozó matematikus számára [ a kiadás részlete ], P. 14-15 .
(in) Nathan Jacobson , Basic Algebra , Vol. 2, Dover ,2009, 2 nd ed. , 686 p. ( ISBN 978-0-486-47187-7 , online olvasás ) , p. 22..

Kapcsolódó cikk

A kategória egyenértékűsége