A kategória egyenértékűsége
A matematika , pontosabban kategóriában elmélet , a létesítmény ekvivalencia reláció, amely megállapítja, hogy a két kategória „lényegében azonos”. Ez egy funktora a két kategória között, amely hivatalosan figyelembe veszi azt a tényt, hogy ezek a kategóriák tartoznak azonos szerkezetű mondunk, hogy a kategóriák egyenértékű. A kategória izomorfizmus fogalmával ellentétben az ekvivalencia fogalma kevésbé merev, praktikusabb és gyakoribb.
A kategóriák egyenértékűségének fogalma egységes módon számol be az algebra és az elemzés számos területén megfigyelt sok kettősségről .
Meghatározás
Legyen C és D kategória. A kategóriaegyenértékűség két functort ad meg
olyan, hogy vannak természetes izomorfizmusaink
Vagyis a functorok izomorfak a megfelelő functor kategóriában .
A valóságban tudhatjuk, hogy az F functor a kategóriák egyenértékűségének része, ha a következő két feltétel teljesül:
- F egy teljes és pontos funktorhoz ;
- F egy lényegében szurjektív functor .
Leggyakrabban ezt a módszert használják a kategóriaegyenértékűség feltárására, anélkül azonban, hogy a pszeudo-inverz G-t vagy a megfelelő természetes transzformációkat ki kellene mutatnia (vagy képesnek kell lennie rá) . Ugyanakkor a választott axiómát használja .
Hasonlóképpen két kategória akkor és akkor egyenértékű, ha csontvázuk izomorf.
Tulajdonságok
A kategóriaegyenértékűség azt jelzi, hogy sok tulajdonság konzerválódik egyik kategóriáról a másikra az ekvivalenciafunkción keresztül. Különösen, de nem kizárólag: kezdeti és végső tárgyak , mono- , epi- és izomorfizmusok , határértékek és kolimitok , kiegyenlítők , termékek …
Különösen egy olyan functor pontos, amely megvalósítja a kategóriák egyenértékűségét .
Példák
- Definíció szerint bármely kategória egyenértékű a csontvázával .
- Az affin sémák kettős kategóriája megegyezik a Specct funktoron keresztüli kommutatív gyűrűk kategóriájával . Ez Isbell kettősségének különleges esete .
- A C * -algebras kommutatív unital kategóriája megegyezik a kompakt terek kategóriájával . Ez a Gelfand (en) ábrázolásának speciális esete .
- Az abeli csoportok kategóriája megegyezik a topológiai abeli csoportok kettős kategóriájával. Ez a Pontryagin kettősség speciális esete .
- A Stone logikai algebrákra vonatkozó reprezentációs tétele megteremti az ekvivalenciát a Boole algebrák kategóriája és a logikai terek kategóriája között (a kompakt terek teljesen szakaszosak, más néven kőterek). Ez a kő kettősség (in) speciális esete .
- A halmazok kategóriája fölötti bináris relációk kategóriája ekvivalens a monád Kleisli kategóriájával , amelyet a teljesítmény-beállított functor határoz meg .
Referencia
- (en) Saunders Mac Lane , kategóriák a dolgozó matematikus számára [ a kiadás részlete ]