Termékkategória)

A kategória , a termék egy család tárgy van a határ , amikor már létezik. Ezért univerzális tulajdonság, vagy azzal egyenértékű módon jellemezhető, mint reprezentálható functor .

Meghatározás

Legyen egy kategória és egy tárgycsalád . Keresünk egy pár , ahol X jelentése tárgya és családja morfizmusok , úgy, hogy minden tárgy Y a és bármilyen családnak morfizmusok létezik egy egyedülálló morfizmus úgy, hogy minden index i , van . $\ mathcal C$ $(X_i) _ {i \ I-ben}$ $\ mathcal C$ $(X, (\ pi _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $\ mathcal C$ $(\ pi _ {{i}}) _ {{i \ I}} -ban$ $\ pi _ {i}: X \ X_ {i}$ $\ mathcal C$ $f_ {i}: Y \ - X_ {i}$ $f: Y \ -től X-ig$ $\ pi _ {i} \ circ f = f_ {i}$

Ha létezik ilyen pár , akkor azt mondják, hogy a termék . Azt is mondjuk, kevésbé szigorúan, hogy X a termék szorzata . A morfizmusokat kanonikus vetületeknek nevezzük, a morfizmusok pedig ezek alkotóelemei . $(X, (\ pi _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $(X_i) _ {i \ I-ben}$ $(X_i) _ {i \ I-ben}$ $\ pi _ {i}$ $f_ {i}$ $f$

Adott egy kategóriát és egy családi tárgyak , a párok , ahol Y jelentése egy objektum a és a család morfizmusok , a tárgyak egy kategória , a morfizmusok (megfelelően ) a tárgy , hogy az objektum pedig a morfizmusok (szerinti ) f Y-ból Y-be 'oly módon, hogy az összes i esetében ( a kategória azonossági morfizmusa a Y-s azonosság morfizmusa a kategóriában ). A meghatározás a terméket, akkor annyit jelent, hogy a termék a család tárgyak egy végső célja a kategóriában . Mivel egy kategória két végső objektuma izomorf ebben a kategóriában, két termék és ugyanazon tárgycsalád termékei mindig izomorfak , ennélfogva még inkább az „X” és „X” termékek izomorfak . Fordítva, ha X és X 'két izomorf objektuma , ha X egy tárgycsalád „terméke” , akkor X' ennek a családnak is „terméke”. Mindez azt mutatja, hogy a termék az izomorfizmusig definiált. $\ mathcal C$ $(X_i) _ {i \ I-ben}$ $\ mathcal C$ $(Y, (\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $\ mathcal C$ $(\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ I}} -ban$ $\ lambda _ {i}: Y \ - X_ {i}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $(Y, (\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $(Y ', (\ lambda' _ {{i}}) _ {{i \ I}} -ban)$ $\ mathcal C$ $\ lambda '_ {{i}} \ circ f = \ lambda _ {{i}}$ $(Y, (\ lambda _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $\ mathcal C$ $(X_i) _ {i \ I-ben}$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $(X, (\ pi _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $(X ', (\ pi' _ {{i}}) _ {{i \ in I}})$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} '}$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$

Bármely kategóriában, a termék a , ha az létezik, képviseli funktorhoz amely egy objektum Y a C társítja a Descartes-szorzat . $(X_i) _ {i \ I-ben}$ $\ prod _ {{i \ in I}} Hom (Y, X_ {i})$

Termék és összeg

Az összeg a termék kettős tulajdonsága: az összeg megfelel a kettős kategória szorzatának .

Példák

A készletek kategóriájában a készletek családjának terméke a derékszögű termék , amelyet a megfelelő előrejelzések tartalmaznak.
Az üres halmaz által indexelt termék a végső objektum .
A mágmák , monoidok vagy csoportok kategóriájában a termék a közvetlen termék . Az alapul szolgáló készletek derékszögű szorzatára épül. A termék ezért ingázik a felejtő funkcióval .
Amikor egy olyan kommutatív gyűrű , ebben a kategóriában, A - modulok , a termék közvetlen terméke. A K - vektor terek kategóriája, valamint a kommutatív csoportok kategóriája ennek speciális esete.
A termék egy család mezők (ill. Kommutatív mezők ) nem feltétlenül létezik a kategóriában a mezők (ill. Kommutatív mezők). Például, ha K 2 elemű (kommutatív) mezőt, L pedig 3 elemű (kommutatív) mezőt jelöl, akkor K és L szorzata nem létezik sem a mezők, sem a kommutatív mezők kategóriájában. Valójában egy ilyen szorzat M vetületei M, illetve L esetén M homomorfizmusai lennének. Bármely mezei homomorfizmus injektív, ezért M izomorf egyidejűleg egy 2 elemű mező részmezőjéhez és egy 3 elemű test részteste, ami lehetetlen.
A topológiai terek kategóriájában a terméket úgy kapjuk meg, hogy a termék topológiáját (egyszerű konvergencia-topológiát) a derékszögű termékre építjük fel.
A szálas termék a termék kifinomultabb változata.

Értékelés és referencia

Serge Lang , Algebra [ a kiadások részletei ], Dunod, 2004, p. 62

Kapcsolódó cikk

Vetítési határ