Euklideszi gyűrű

A matematika , pontosabban algebra részeként a gyűrű elmélet , a euklideszi gyűrű egy különleges fajta kommutatív gyűrű tartalmazza (lásd még a cikk gyűrű euklideszi nem kommutatív ).

A gyűrűt euklideszinek mondják, ha lehetséges euklideszi felosztást meghatározni benne .

Az euklideszi gyűrű mindig fő . Ez a tulajdonság gazdag következményekkel jár: minden Főgyűrűjük ellenőrzi a személyazonosságát Bézout , Eukleidész lemma szerint ez faktoriális és feltételeit elégíti ki az a számelmélet alaptétele . Megtaláljuk tehát az elemi számtan összes, pontosabban a moduláris számtan eredményét , de általánosabb keretek között.

A legklassikusabb euklideszi gyűrű a relatív egész számoké , de megtalálhatjuk a Gauss-számok vagy a más másodfokú egészek gyűrűit is . A valós vagy komplex számban, általánosabban bármely kommutatív mezőben szereplő együtthatójú polinomok gyűrűje szintén euklideszi, így a polinomok aritmetikáját eredményezi .

Történelem

Eredet

Az első referencia, amely befolyásolta az a matematikai világ a kérdést az euklideszi osztás könyv VII , Elements of Euclid évekből származó mintegy 300 BC. Kr. E. A felosztás első elméleti meghatározása és következményeinek tanulmányozása létezik. A matematika ezen ága az Aritmetika nevet viseli . Főleg egész számokkal kapcsolatos kérdésekkel foglalkozik .

Bizonyos matematikusok, mint az alexandriai Diophantus, és jóval később Pierre de Fermat megértik a matematika ezen ágának gazdagságát. Megállapítanak néhány eredményt, például Fermat kis tételét, és sejtéseket fogalmaznak meg, például Fermat két négyzet tételét vagy Fermat nagy tételét . Fontos elméleti eszköz az egész számok egyenlőségének tagjainak euklideszi felosztásának fennmaradó tulajdonságainak elemzése. A XVIII .  Században néhány sejtést mutatnak be. Idézhetjük Leonhard Eulert a két négyzet tételével vagy a Fermat nagy tétel n = 3 esetével , amelyet majdnem 1753-ban kezeltünk. Megjelennek más sejtések is, mint például a másodfokú kölcsönösség törvénye . Ezeket az eredményeket a matematikusok virtuozitásának köszönhetõen bizonyítják, de az elméleti hozzájárulás gyenge, következésképpen az eredmények nem túl általánosíthatók.

A koncepció megjelenése

1801-ben, Carl Friedrich Gauss tanult az első gyűrű az algebrai egészek , hogy az egész, hogy most ő nevét viseli . Ez a gyűrű van az egyenértékű egy euklideszi szétválás a Z . Ennek megfelelően Bézout azonossága , Euklidész lemma és a számtan alapvető tétele érvényes. Hasonlóképpen, a kommutatív mező együtthatójú polinomjainak gyűrűje is rendelkezik euklideszi osztással. Gauss az előzőekhez hasonló számtant épített. Így az euklideszi osztás már nem a relatív számok specifikusságaként jelenik meg, hanem olyan algoritmusként, amely különféle szorzókkal és összeadásokkal ellátott halmazokra vonatkozik.

Ezt a megközelítést más algebrai egész számoknál alkalmazzák , például Gotthold Eisenstein, aki felfedezi az Eisenstein-egészeknek nevezett számkészletet, és amelynek euklideszi osztása van.

Az euklideszi felosztás hozzájárulása egy struktúrához gyümölcsöző folyamat. Gauss ezt a másodfokú kölcsönösségi törvény egyik bizonyítékaként használja fel, és kézzelfogható előrelépés történt Fermat nagy tételének első egyes eseteinek megoldása felé . Az, ahol a kitevő 3, tökéletesen szigorú módon bizonyított. 5, majd 14, majd 7 kitevõ eseteit mutatják be, más ötletek hatalmas hozzájárulásával. Alkalmazása prímfaktorizáció hogy körosztási polinom segítségével Gauss megtalálni az első uralkodó és iránytű építése a rendszeres 17 oldalú sokszög , a heptadecagon .

Formalizálás

Paradox módon a modern formalizálás a korábbi számtan korlátaiból származik. Az egész számok gyűrűjének fogalmát használó megközelítéssel Gabriel Lamé úgy gondolja, hogy bebizonyította Fermat nagy tételét. Ernst Kummer 1844-ben egy példával mutatja, hogy az egész számok gyűrűjének általában nincs egyetlen bomlása a fő tényezőkben. Ez az eredmény érvényteleníti Lamé igazolását. Kummer 1846-ban felfedezett egy új koncepciót, amelyet ideális komplex számnak nevezett , hogy új formában megtalálja a szükséges egyediséget.

Ezek a munkák megnyitják az utat a gyűrűszerkezet formalizálása előtt. A fő közreműködők között Richard Dedekindet és David Hilbertet idézhetjük . Az euklideszi gyűrű egy nagy elmélet, a gyűrűk elméletének egyszerű speciális esete lesz . Ebben az összefüggésben az euklideszi gyűrű az integrális gyűrű sajátos esete . Jön az alcsalád faktoriális gyűrűk , pontosabban a fő gyűrű , adott esetben faktoriális gyűrűt. A Kummer által vizsgált egész gyűrűk egy másik családba tartoznak, a Dedekind gyűrűké .

Példák

Relatív egész számok

A relatív egész számok alkotják az euklideszi gyűrű prototípusát. Ez a készlet kielégíti a következő tulajdonságokat:

∀nál nél∈Z∀b∈Z∖{0}∃q,r∈Zmint példáulnál nél=bq+ret|r|<|b|.{\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {Z} \ quad \ forall b \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \} \ quad \ létezik q, r \ in \ mathbb {Z} \ quad {\ szöveg {például}} \ quad a = bq + r \ quad {\ rm {és}} \ quad | r | <| b |.}

Itt ismerjük fel az euklideszi felosztás formáját a természetes számok N halmazában , amelyre | n | = n . Megjegyezhetjük azonban, hogy egyrészt N nem gyűrű, másrészt itt nincs meghatározva q és r egyedisége . Ezt azzal magyarázzák, hogy ahhoz, hogy Z-re (a relatív egészek halmaza ) kiterjesszék az osztás definícióját N-ben , vagy további feltételeket kell rögzíteni b-re ( b > 0), korlátozva ezzel a az euklideszi osztás érvényességi mezője, vagy fogadja el, ha b negatívumot vesz fel, és meghatározása céljából a = bq + r- t veszi | r | <| b |. De akkor két lehetséges bontást találhatunk:

19 = (- 5) × (- 3) + 4 | 4 | < | –5 | de 19 = (- 5) × (- 4) + ( –1) is | –1 | -vel < | –5 | .

Ez a felosztás lehetővé teszi a következő tulajdonságokat igazoló számtani felépítést :

• minden ideális a gyűrű egész számok az elsődleges, vagyis, ez a forma N Z egy elemére n a Z . Azt mondják, hogy egy gyűrű, amelyben az összes ideál a fő  ;
• a Bézout személyazonosságát igazolják;
• az Euklidész lemmáját ellenőrzik;
• a számtan alapvető tétele érvényes.

Következésképpen meg lehet határozni: a prímszámok családját , az lcm-t, valamint a gcd-t . A Z / n Z hányadosgyűrű jól körülhatárolható, ez a moduláris aritmetika alapstruktúrája .

Mindezek a tulajdonságok csak az első következményei: a fejedelemség.

Az első ismert alkalmazás valószínűleg a kettő négyzetgyökének irracionalitásának bemutatása . A kis Fermat-tétel gyorsan bebizonyítja az egyszer megállapított tényt, hogy ha n prím, Z / n Z testszerkezettel rendelkezik. Fermat ezt az aritmetikát széles körben alkalmazza, például annak bizonyítására, hogy nincs megoldás nagy tételéhez, ha n = 4. Euler nagyszámú példát hoz fel az aritmetika Z-ben történő alkalmazására , például az egyenlet Pell-Fermat általi tanulmányozására. .

Polinomok együtthatóval egy kommutatív mezőben

Ha K kommutatív mező, akkor a K [ X ] polinomok gyűrűje euklideszi. A felosztás a következő formát ölti:

∀NÁL NÉL(x)∈K[x],∀B(x)∈K[x]∖{0},∃!Q(x),R(x)∈K[x]{\ displaystyle \ forall A (X) \ in K [X], \ quad \ forall B (X) \ in K [X] \ setminus \ {0 \}, \ quad \ létezik! Q (X), R ( X) \ K-ban [X]} mint példáulNÁL NÉL(x)=B(x)Q(x)+R(x)ésdegR(x)<degB(x){\ displaystyle {\ text {például}} \ quad A (X) = B (X) Q (X) + R (X) \ quad {\ text {és}} \ quad {\ text {deg}} R (X) <{\ text {deg}} B (X)}.

Ha a forma globálisan analóg az egész számokéval, akkor is észrevesszük, hogy a K [ X ] halmazon nincs szükség sorrend relációra . Ehhez csak egy térképre van szükség, amely analóg azzal, amely egy polinomhoz társítja a fokát, és amelynek érkezési halmaza rendezett, ezt a térképet euklideszi sztatmának nevezzük .

Az aritmetika ugyanazon következményeken alapul, a gyűrű a fő, Bézout azonosságát ellenőrzik, az Euklidész lemma és az aritmetika alapvető tétele érvényes. A prímszámok ekvivalensei a redukálhatatlan polinomok , vagyis azok, amelyek az osztókra csak önmagukra vagy az egységre vonatkoznak, kivéve a multiplikatív állandót. Az irreducibilis polinomokká történő bontás a lehető legteljesebb faktorizáció .

A moduláris aritmetika megfelelője a fő ideálok (vagyis a redukálhatatlan polinomok által generált ideálok) hányadosaira összpontosít. Mint korábban, ezeknek az ideáloknak is testszerkezete van. Hányadosok nevezzük törés szervek , mert a legkisebb mezőket tartalmazó gyökér a polinom . Ez a megközelítés, amely lehetővé teszi a K mező véges kiterjesztésének meghatározását, meghatározza a Galois-elmélet alapvető eszközét .

Alkalmazási példa a következő: a ciklotóm polinomok az X n - 1 polinomok redukálhatatlan tényezői , amelyek kapcsolódnak az egység gyökereihez . Elemzésük lehetővé teszi az összes vonalzóval és iránytűvel felépíthető szabályos sokszög meghatározását .

Gauss egész számok

A Gauss-számok az u + i v alak számai, ahol u és v egész számok. Egy gyűrűt képezzenek, jelöljük ℤ [ i ], euklideszi szerint a következő állítás, ahol N ( x ) jelöli algebrai norma, azaz a tér a modulus a x  :

∀nál nél∈Z[én]∀b∈Z[én]∗∃q,r∈Z[én]mint példáulnál nél=bq+résNEM(r)<NEM(b).{\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}] \ quad \ forall b \ in \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}] ^ {*} \ quad \ létezik q, r \ in \ mathbb {Z} [\ mathrm {i}] \ quad {\ text {például}} \ quad a = bq + r \ quad {\ text {és}} \ quad N (r) <N (b ).}

Az a térkép, amely algebrai normáját egy egész számmal társítja, valóban egy Gauss-egészek térképe rendezett halmazban, nevezetesen a pozitív egészek térképe . Ez a szabvány grafikusan megfelel az origó és a Gauss-szám közötti távolság négyzetének.

Ha azt mondjuk, hogy létezik euklideszi osztás, az azt jelenti, hogy az a / b komplex számból 1-nél kisebb Gauss-szám van . A mellékelt ábra piros háttérrel szemlélteti az a / b-t tartalmazó Gauss-egészek csúcsnégyzetét . Az ábra azt mutatja, hogy az a / b- től mindig legalább 1-nél kevesebb egész szám van . A bemutatott esetben három esetben igazoljuk ezt a tulajdonságot. A megoldás egyedisége nem szükséges feltétel az euklideszi felosztás meglétéhez.

Ismételten az euklideszi felosztás a két előző esethez hasonló aritmetikát hoz.

Az alkalmazások számosak. Dedekind például ebből a halmazból talált elegáns bizonyítékot Fermat két négyzet tételére . Bizonyos másodfokú Diophantine-egyenletek jól megoldódnak ebben a halmazban. Gauss ezt a számtant használta a másodfokú kölcsönösség törvényének bizonyítására .

Mint bármely tetszőleges mező egész számának gyűrűjében, a ℤ és ℤ [ i ] között szigorúan elhelyezett gyűrűk , mint például ℤ [ 2i ], nincsenek teljesen lezárva , ezért nem főek és még inkább nem euklidesziek.

Egyéb euklideszi gyűrűk

• A gyűrű egészek egy kvadratikus test ℚ ( √ d ) az euklideszi számára algebrai norma (vagy annak abszolút értéke, ha d > 0 ), ha és csak akkor, ha d egyike a következő 21 értékek:–11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73. ( A048981 . Folytatás ) az OEIS )( d = –1 felel meg a Gauss-számoknak , d = –3 az Eisenstein-nek és d = 5 a ring [(1 + √ 5 ) / 2] gyűrűnek felel meg ).
• Az öt –11, –7, –3, –2, –1 érték az egyetlen negatív d értéke, amelyeknél ez a gyűrű euklideszi ( négy másik negatív érték esetében ez csak fő). De vannak más pozitív értékek ( sejtésszerűen  : egy végtelen), például d = 69 vagy d = 14, amelyek esetében egy másik normához euklideszi . Pontosabban: egy megoldatlan Gauss-sejtés azt jósolja, hogy léteznek olyan végtelen valós kvadratikus mezők, amelyeknek az egészek gyűrűje a fő, de tudjuk, hogy közülük legfeljebb kettő nem euklideszi és még egyik sem, ha az általánosított Riemann hipotézise igaz.
• Ha K kommutatív test, a gyűrű K [[ x ]] annak formális sorozat is euklideszi a értékelési  : v ( P ) = legkisebb mértékű X a P .
• Ha A jelentése egy euklideszi gyűrű, és ha S része egy stabil szorzás, a lokalizált a A tekintetében S is egy euklideszi gyűrű.

Definíciók

A példák között van néhány közös vonás: a gyűrű mindig integrál, és mindegyik esetben N- értékű függvényt ( abszolút érték , fok vagy norma ) használnak az euklideszi felosztás meghatározására. Ezek a funkciók az euklideszi stathma speciális esetei . Általánosságban, ha A integrális gyűrűt jelöl, akkor a következő meghatározást állítjuk be.

• A euklideszi stathma on Egy olyan térképet v a A \ {0}, hogy a beállított N természetes egész számok kielégítő mind tulajdonságai:

(1)∀nál nél∈NÁL NÉL∀b∈NÁL NÉL∖{0}∃q,r∈NÁL NÉLmint példáulnál nél=bq+résr=0vagyv(r)<v(b),{\ displaystyle (1) \ quad \ minden egy \ -ban A \ quad \ forall b \ -ban A \ setminus \ {0 \} \ quad \ létezik q, r \ A \ quad {\ text {például}} \ quad a = bq + r \ quad {\ text {és}} \ quad r = 0 \; \, {\ text {or}} \; v (r) <v (b),} (2)∀nál nél,b∈NÁL NÉL∖{0}v(b)≤v(nál nélb).{\ displaystyle (2) \ quad \ all a, b \ in A \ setminus \ {0 \} \ quad v (b) \ leq v (ab).}

A (2) feltétel azt jelenti, hogy ha A \ {0} az „osztás” előrendelési relációval és N a szokásos sorrend relációval rendelkezik, akkor a v térkép növekszik.

• Az euklideszi presztathma kifejezés az A \ {0} és az N (1) tulajdonságú N közötti leképezést jelöl .
• Célszerű kiterjeszteni v az A beállításával vagy .v(0)=-∞{\ displaystyle v (0) = - \ infty}v(0)=-1{\ displaystyle v (0) = - 1}
• Az integrál gyűrű akkor és csak akkor mondható euklideszinek, ha ezen a gyűrűn van euklideszi sztatma. Ezután euklideszi felosztásról beszélünk ebben a gyűrűben a sztatma tekintetében.

Megjegyzések

• Egyes szerzők az euklideszi sztatma kifejezést használják az úgynevezett pre-sztatma kijelölésére. A különbség nem nagy, mert ha van egy prestathma on Egy , van is egy stathma.

Demonstráció

Legyen A egy integrált gyűrű, amely v presztmával van ellátva . Meghatározzuk a stathmát w . Bármely A nulla nulla x elem esetén jelölje w ( x ) -vel a v ( y ) érték közül a legkisebbet , y az x nulla nulla többszörösét haladva . Mivel maga x olyan y , ezért:

w(x)≤v(x).{\ displaystyle w (x) \ leq v (x).}

• Legyen a és b két nem nulla elemeit oly módon, hogy egy osztója b, akkor W ( a ) kisebb, vagy egyenlő, mint w ( b ) :
  Valóban, definíció szerint a W , létezik egy nem nulla eleme c a Olyan , hogy w ( b ) = v ( bc ). Mivel bc a b nulla nulla többszöröse, ezért a , w ( a ) értéke kisebb vagy egyenlő v ( bc ), azaz w ( b ) értékkel .
• A w függvény sztatma, vagyis ellenőrzi az állapotot is:∀nál nél∈NÁL NÉL,∀b∈NÁL NÉL∖{0},∃q,r∈NÁL NÉL/nál nél=bq+rval velr=0vagyw(r)<w(b).{\ displaystyle \ minden a \ -ban A-ban, \ forall b \ -ban A \ setminus \ {0 \}, \ quad \ létezik q, r \ A \ quad / \ quad a = bq + r \ quad {\ text { }} \ quad r = 0 \ quad {\ text {vagy}} \ quad w (r) <w (b).}Ha b osztja a-t , az eredmény azonnali. Tegyük fel tehát, hogy b nem osztja el a-t, és hagyja, mint korábban, a c-t úgy, hogy w ( b ) = v ( bc ).
  A euklideszi felosztása egy által BC tekintetében a prestathma v biztosít egy pár ( q 0 , r ) elemeinek egy olyan, hogy:nál nél=bvs.q0+rval velv(r)<v(bvs.).{\ displaystyle a = bcq_ {0} + r \ quad {\ text {with}} \ quad v (r) <v (bc).}(Az r = 0 eset itt kizárt, mivel feltételeztük, hogy b nem osztja az a-t .)
  Láttuk, hogy a w függvény kisebb vagy egyenlő v-vel , ezértw(r)≤v(r)<v(bvs.)=w(b),{\ displaystyle w (r) \ leq v (r) <v (bc) = w (b),}ezért w ( r ) < w ( b ).
  Mi így kapott egy  euklideszi „részlege egy a b ” tekintetében w , a hányadost CQ 0 és a fennmaradó R , azaz a bizonyíték.

• Amint azt a bevezető speciális esetekben bemutatott példák mutatják, az (1) reláció q és r elemei nem feltétlenül egyediek.
• Nem ismert, hogy valamelyik euklideszi gyűrűnek van-e (teljesen) multiplikatív stathma .
• Ha A jelentése a gyűrű egész számok egy mező számok K , a norma N  : K → Q multiplikatív és értékek Egy egész számok. A gyűrű egy euklideszi számára | N | akkor és csak akkor, ha a mező bármely k eleméhez létezik a gyűrű legalább egy q eleme , amely | N ( k - q ) | <1. Valóban, minden b ≠ 0 , egy és Q az A , | N ( a - bq ) | <| N ( b ) | egyenértékű ( N multiplikativitásával ) | N ( a / b - q ) | <1, vagy K jelentése a hányadostest az A .

Tulajdonságok

Az euklideszi gyűrűk tulajdonságai

A cikk további részében A egy szerves gyűrű .

Minden euklideszi gyűrű fő .

Pontosabban, ha v jelentése prestathma az euklideszi gyűrű Egy , ha J jelentése egy nem nulla ideális A , J elismeri generátorként bármely elemének J \ {0}, amelynek értéke a prestathme v minimális: ez a a Dedekind-Hasse-normák fő tulajdonsága , amelyek a presztáták általánosításai.

Másrészt a fő gyűrű nem mindig euklideszi: a „ Dedekind-Hasse norm  ” című cikk  egy ellenpéldát mutat be .

Az euklideszi gyűrűnek megvan a fő gyűrűk oszthatóságának minden tulajdonsága, kezdve a Bachet-Bézout tétellel , ami Bézout gyűrűvé és még inkább GCD gyűrűvé teszi . Ezért ellenőrzi Gauss lemmáját, ezért Euklidész lemmáját. Mivel ez több atomi ez faktoriális, ez azt jelenti, hogy az megfelel a számelmélet alaptétele.

Ha rendelkezünk hatékony euklideszi osztási algoritmussal, például Z-hez vagy egy mező együtthatójú polinomjaihoz, definiálhatunk hatékony algoritmusokat, amelyek kifejezetten olyan objektumokat szolgáltatnak, amelyek létezése elméletibb marad általánosabb keretben. Így a kibővített euklideszi algoritmus lehetővé teszi két elem legnagyobb közös osztójának megtalálását . Hasonlóképpen, az invariáns tényezőt tétel lehetővé teszi, hogy megtalálja a alapján az A - modulus véges típus.

Megjegyzés: Annak igazolására, hogy az euklideszi gyűrű fő, csak egy presztathma létezését használtuk, nem pedig a sztatmat, ami megmagyarázza, hogy egyes szerzőket miért csak az előzetes (amit stathmának neveznek) érdekelnek. Azonban annak bizonyítása, hogy a fő gyűrű faktoriális (a redukálhatatlan elemek termékeibe bomlás létezését illetően) a függő választás axiómáján nyugszik . Euklideszi gyűrű esetén a sztatma megléte lehetővé teszi annak igazolását, hogy a gyűrű tényleges anélkül, hogy ehhez az axiómához folyamodna.

Demonstráció

Bármely euklideszi gyűrű tényleges:

Legyen A euklideszi gyűrű. Válasszon stathme v -t A-n .

• Először a v ( x ) -en történő indukcióval bizonyítjuk, hogy bármely nem nulla és nem invertálható x- nek van legalább egy bomlása a redukálhatatlan elemek szorzatában (más szavakkal: A jelentése atom). Ha az x maga nem redukálható, akkor x- et csak egy tényezővel rendelkező szorzatnak vesszük . Ellenkező esetben x = ab- ot írhatunk a és b-vel nem invertálhatóval. Ekkor v ( a ) < v ( x ) és v ( b ) < v ( x ) áll rendelkezésünkre, ezért indukciós hipotézissel a és b felvesznek faktorizációkat, amelyeket egyesíthetünk x faktorizációvá .
• Ennek a faktorizálásnak az egyediségét (a sorrendig és az asszociációig) Euklidész lemmájából vezetik le, mint bármelyik fő gyűrű tényszerűségének bizonyításában.

A stathmák tulajdonságai

• Legyen a és b A két nem nulla eleme, és v legyen sztatma; ha v ( ab ) = v ( a ) , akkor b az egységek csoportjának eleme .

Demonstráció

Érveljünk abszurd módon: tegyük fel, hogy b nem invertálható, vagyis hogy a nem többszöröse ab-nak , és mutassuk meg, hogy ekkor v ( ab )> v ( a ).

Vannak q és r az A , hogy

nál nél=nál nélbq+rval velv(r)<v(nál nélb).{\ displaystyle a = abq + r \ quad {\ text {with}} \ quad v (r) <v (ab).}

(Az eset r = 0 kizárt Itt, mivel azt feltételeztük, egy nem-többszöröse ab .)

Mivel R többszöröse egy (1 - Bq ) és v növekszik, v ( a ) ≤ v ( r ). Tehát v ( a ) ≤ v ( r ) < v ( ab ), tehát v ( ab )> v ( a ), ahogyan azt megállapítottuk .

A v stathmát fordítással mindig normalizálni lehet, vagyis olyan w stathmát választani , hogy az egység stathma szerinti kép egyenlő legyen eggyel . Pontosabban, elegendő meghatározni w által w ( x ) = v ( x ) - v (1) + 1 minden nem nulla eleme x az A . Ebben az esetben :

• Az A nulla nulla nulla eleme akkor A egysége, és csak akkor, ha w ( u ) = 1. Ezenkívül 1 az a minimális érték, amelyet w felvesz A \ {0}.

Ha kiterjesztjük a normalizált stathma w a teljes gyűrű A beállításával w (0) = 0, 0 az egyetlen elem x az A úgy, hogy w ( x ) = 0, ami lehetővé teszi, hogy a elvének euklideszi Division e formában egy kicsit elegánsabb:

∀nál nél∈NÁL NÉL∀b∈NÁL NÉL∖{0}∃q,r∈NÁL NÉLmint példáulnál nél=bq+résw(r)<w(b).{\ displaystyle \ forall a \ in A \ quad \ forall b \ in A \ setminus \ {0 \} \ quad \ pastāv q, r \ in A \ quad {\ text {például}} \ quad a = bq + r \ quad {\ text {és}} \ quad w (r) <w (b).}

Ezt az egyezményt nem minden esetben tartják be. A sztathma tulajdonságai gyakran meghaladják az euklideszi felosztás tulajdonságait. A Z-n található első példában a sztatmának metrikus tulajdonságai vannak , a második példában a fokfüggvény hasznos tulajdonságot igazol: két polinom szorzatának mértéke megegyezik a polinomok fokainak összegével. Annak érdekében, hogy ezt a tulajdonságot ne veszítse el, a gyűrű egységeinek megválasztott sztatma (foka) nulla , a nulla polinom pedig kép (fok) mínusz végtelen.

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. Euklidesz, Az Euklidész geometriai elemeinek tizenöt könyve: plusz ugyanezen Euklidész könyve, amelyet az említett Henrion szintén franciául fordított le, és élete során kinyomtatták , 1632-es fordítás, elérhető a Gallicán .
2. Alexandriai Diophantus, Arithmetica , szerk. és tr. Roshdi Rashed , Párizs, les Belles Lettres, 1984.
3. Pierre de Fermat, Fermat művek, Paul Tannery és Charles Henry kiadásában .
4. Leonhard Euler, Opera mathematica , vol. 1771.
5. CF Gauss, számtani kutatás , A.-C.-M. Poullet-Delisle, 1801, fordítás 1807, újranyomás. 1989 Jacques Gabay Kiadó.
6. G. Eisenstein, Journal de Crelle , vol. 1844: 27 : több cikk másodfokú és köbös alakokról.
7. G. Lamé , "  Fermat-tétel általános bizonyítéka az x n + y n = z n egyenlet egész számokban való lehetetlenségéről  ", CRAS , vol.  24,1847, P.  310-315 ( online olvasás ).
8. (in) Harold Edwards , „  A háttérben Kummer bizonyítéka Fermat rendszeres díjak  ” , Arch. Történelem pontos tudomány. , vol.  14,1975.
9. (től) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra ,1871.
10. (de) David Hilbert , Zahlbericht  (en) ,1897.
11. (in) ES Barnes  (of) és HPF Swinnerton-Dyer , "  A bináris másodfokú formák inhomogén minimuma  " , Acta Math. ,1952(I: 87. kötet,  259-323 . Oldal és II: 88.  évfolyam, 279-316 . O. ) Kijavított egy korábbi hibát (de) L. Rédei  (en) , „  Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern  » , Math. Ann. , vol.  118,1942, P.  588-608 ( online olvasás ), aki (  607. o. ) 97-et adott ehhez a listához.
12. A „Definíciók” § végén található kritérium felhasználásával , Narkiewicz 2004 , p.  A 115-117. Elem teljesen bizonyítja, hogy d <0 esetén az említett öt érték érvényes és az egyetlen, és hogy a kilenc 2., 3., 5., 6., 7., 13., 17., 21. és 29. érték szintén érvényesek.
13. (in) Theodore Motzkin , "  Az euklideszi algoritmus  " , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol.  55, n o  12,1949, P.  1142-1146 ( online olvasás ).
14. (in) David A. Clark , "  A másodfokú területén qui est euklideszi norma, de nem-euklideszi  " , Manuscripta Math. , vol.  83,1994, P.  327-330 ( online olvasás ).
15. (a) Mr. Harper , "  ℤ [ √ 14 ] euklideszi  " , Canad. J. Math. , vol.  56,2004, P.  55-70és "Bizonyíték arra, hogy ℤ [ √ 14 ] euklideszi", Ph.D. értekezés, McGill University , 2000.
16. (in) Władysław Narkiewicz  (de) , "  Euklideszi algoritmus kis abeli mezőkben  " , Funct. Kb. Hogyan? "Vagy" Mi? Math. , vol.  37, n o  22007, P.  337-340 ( online olvasás ).
17. (in) PJ Weinberger , "  Mi algebrai egész számok euklideszi gyűrűi  " , Proc. Symposium Pure Math. , vol.  24,1972, P.  321-332.
18. Például Bourbaki 1973 . Lásd még Dress 1970 (ahol a sztathma fogalma általánosabb: az érkezési halmaz tetszőleges sorszám és nem feltétlenül N ).
19. Idézhetünk például Perrin 2004-et . A sztatma különböző meghatározásait lásd még Dress 1970 , Bourbaki 1973 , Goblot 2001 .
20. Bemutató az 1970-es ruhában vagy más terminológiával a Goblot 2001-ben .
21. Franz Lemmermeyer , „  Az euklideszi algoritmus algebrai számmezőkben  ”, Expositions Mathematicae , vol.  13, n o  5,1995, P.  395-416. Frissítés verzió , 2004 , p. 5.
22. Narkiewicz 2004 , p.  115., 3.30. Javaslat.
23. Perrin 2004 , Goblot 2001 .
24. Lásd például a bekezdés „Factoriality az A , elsődleges bomlási” a leckét gyűrűk a Wikiversity .

Hivatkozások

• N. Bourbaki , Algebra ,1973, "7, 1. bek.", P.  125, edzés. 7
• François Dress , „  Euklideszi sztathmák és hivatalos sorozat  ”, Delange-Pisot-Poitou szeminárium. Számelmélet , vol.  12,1970, P.  1–7 ( online olvasás )vagy (ugyanazon címen) Acta Arithmetica , vol. 1971, 19. o. 261-265 [ teljes szöveg ]
• R. Goblot , kommutatív algebra , Dunod,2001, 2 nd  ed. , P.  24.
• en) Władysław Narkiewicz, az algebrai számok elemi és analitikai elmélete , Springer ,2004, 3 e  . , 712  p. ( ISBN  978-3-540-21902-6 , online előadás )
• Daniel Perrin , Algebra tanfolyam ,2004[ kiadások részlete ] , p.  50, def. 3.28

Lásd is

Bibliográfia

• (en) David A. Clark , „  Nem galois köbmezők, amelyek euklideszi, de nem normális-euklideszi  ” , Math. Comp. , vol.  65,1996, P.  1675-1679 ( online olvasás )
• Serge Lang , Algebra [ a kiadások részlete ]
• Saunders Mac Lane és Garrett Birkhoff , Algebra [ a kiadások részletei ]

Kapcsolódó cikkek

Az algebra időrendje

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">