Norm (testek elmélete)

A (kommutatív) térelméletet , a norma egy elem α egy véges kiterjesztése L egy mező K a meghatározó a lineáris endomorphism a K - vektortér L , amely a X , társult αx . Ez egy multiplikatív homomorfizmus . A fogalmat a Galois- elméletben és az algebrai számelméletben használják .

Az aritmetikában döntően beavatkozik az osztálymezők elméletébe : egy adott kiterjesztés abeli részbővítményei lényegében megfelelnek a normák csoportjainak, vagyis a L. által meghatározott normák szerint K -ban ábrázolt képnek.

Ez a fogalom kiterjed egy fogalmát norma egy ideális a gyűrű egész számok egy számmező (azaz egy véges terület kiterjesztését a ℚ a racionális számok ), oly módon, hogy a norma egy fő ideális egyenlő relatív norma Ideal ennek az ideálnak a generátora. Bizonyítjuk, hogy a nem nulla ideál normája megegyezik a hányadosgyűrű kardinalitásával , és hogy az multiplikatív. A bemutató a végesség a csoport osztály használja a felemelkedés tulajdonságait a norma a ideálok az adott osztályban.

Definíciók

Legyen K kommutatív mező, L véges kiterjesztés.

A norma, bővítésével kapcsolatban L / K valamely elemének α a L , az a meghatározó a endomorphism φ α a K- vektortér L , amely a X , társítja az elem αx . Általában N L / K ( a ) -nak jelöljük .
Ezért egy elem a K , egyenlő a termék a gyökerek a karakterisztikus polinomja khi alfa a φ alfa , megszámoltuk azok multiplicitások , és egy kiterjesztés, ahol khi alfa van osztott .

Szóbeli kommunikációban vagy fórumokon, ahol bizonyos lazaság megengedett, gyakran beszélünk egy algebrai elem normájáról a K-n , az L kiterjesztés nullapontjára való hivatkozás nélkül ; ebben az esetben nyilvánvaló, hogy az α algebrai elem normája a K mező fölött (vagy egyszerűen csak az " α normája ", ha a K mezőt korábban megadtuk), az α normája a K egy kiterjesztéshez viszonyítva ( α ) / K . Időnként N ( α ) -nak jelöljük . Formálisabb írásos dokumentumokban azonban ezt a felhasználást kerülik, és az N K ( α ) / K ( α ) jelölést használják .

Megjegyezzük továbbá, hogy az N K ( α ) / K ( α ) a termék a gyökerek a minimális polinomiális P az α feletti K ; Valóban, L = K [ α ] fokú d , (1, α , α 2 , ..., α d - 1 ) egy alapot, amelyben a mátrix φ α a társa mátrix a P , ezért khi α = P .

Egy adott kiterjesztés algebrai egész számának nyilvánvalóan van normája ehhez a kiterjesztéshez képest, de ez is egész szám. Ez a megfigyelés vezetett, hogy általánossá fogalmát természetesen szabvány (lásd § algebrai számelmélet ) a ideálok a gyűrű O L algebrai egészek egy számmező L . Ezután bebizonyítjuk, hogy O L nem nulla ideális J normája az O L / J hányados gyűrű (véges) kardinalitása.

Tulajdonságok

Elválasztható tok

Az elem normája és a minimális polinom közötti kapcsolatból azonnal levezetjük:

Az elválasztható algebrai elem normája a K felett egyenlő a konjugált elemeinek szorzatával .

Általánosabban :

Ha L elválasztható a K-n, és ha S az L K- beágyazásainak halmazát jelöli normál túlfeszítésben, akkor L bármely α elemére

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alfa).}

Demonstráció

A primitív tétel szerint L valamilyen m elem esetén K [ m ] alakú . Az α = m , a képlet nem más, mint az előző speciális esete. Ez kiterjed minden olyan eleme α a L , mert α formában van Q ( m ) egy bizonyos polinom Q a koefficiensek K , úgy, hogy φ α = Q (φ m ) , ezért a gyökerek a khi α a képek Q of m- éiből, és így:

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} Q (\ sigma (m)) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (Q (m)) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alfa).}

A szabványok közötti kapcsolatok

A relatív norma a meghatározó multiplikativitásából származik:

Az L két elem szorzatának relatív normája megegyezik e két elem relatív normáinak szorzatával:

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha _ {1} \ alpha _ {2})}

Ha L jelentése a foka n feletti K [ α ], majd N L / K ( α ) = N ( α ) n . Általánosabban, a számítás a determináns egy diagonális blokk mátrix ad:

Ha L jelentése a foka n egy közbenső mellék F majd, bármely elem β az F :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ beta) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta) ^ {n} = {\ mathcal {N}} _ {F / K} (\ beta ^ {n})}

Azáltal, hogy az F a leválasztható lezárás a K az L , ez teszi lehetővé, hogy általánossá elkülöníthető fenti esetben:

Ha n jelentése a foka elválaszthatatlansága az L feletti K , és ha S halmazát jelöli K -bondings az L egy szokásos túlzottan széles akkor, bármely elem α a L ,

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in S} \ sigma (\ alpha) ^ {n}}

Bármely F köztes kiterjesztés esetén, ha ezt a képletet egyszerre alkalmazzuk L / K , L / F és F / K-ra, az L bármely elemének relatív normáját a normák összetételi képletével írhatjuk le:

Bármely F köztes kiterjesztés és L bármely α eleme esetén :

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / K} (\ alpha) = {\ mathcal {N}} _ {F / K} ({\ mathcal {N}} _ {L / F} (\ alfa))}

A determinánsok összetételének képletének köszönhetően ezt a képletet is bemutathatjuk anélkül, hogy végigvinnénk az S által indexelt termékeket .

Algebrai számelmélet

Ebben a szakaszban K a racionális számok field mezője, tehát az L véges kiterjesztés számmező. Tekintsük a gyűrű O L algebrai egészek az L . Egy egyszerű esetet tanulmányozunk a „ Másodfokú egész szám ” című cikkben .

Az algebrai egész szám normája és relatív normája az azt tartalmazó bármely L számmező esetében relatív egész szám.
Valójában a jelig az α normája megegyezik minimális polinomjának állandó együtthatójával - amely egy algebrai egész szám esetében egész együtthatóval rendelkezik -, és a relatív norma ennek hatványa.

Ebben a helyzetben, és ha α nem nulla, a relatív standard (definíció szerint) a meghatározó, egy bázis B a ℤ modul O L alapvető α B a részmodul α O L . A báziscsere mátrixai ezek modulust lény az lineáris csoport a ℤ, determinánsaikra egyenlő ± 1. Ezért természetes, hogy az ideálokra vonatkozó norma meghatározását a következőképpen bővítjük:

A norma egy nem nulla ideális J az O L abszolút értéke a meghatározó, egy alapja ℤ-modulus O L , egy alapja részmodul J.

Ezért természetes egész szám, és ha J fő, akkor ez az egész megegyezik a generátor relatív normájának abszolút értékével.

Ezután bemutatjuk a meghirdetett jellemzést:

Bármely O L nem nulla ideális J esetén az O L / J hányados véges, a kardinalitása megegyezik a J normájával.

A meghatározás indoklása és a jellemzés igazolása

Legyen d a kiterjesztés mértéke. Megjegyzés először, hogy a ℤ-modulus O L jelentése szabad rang d (vö § „Noetherian tulajdonságok” a cikk „algebrai egész szám” ). Az invariáns faktor-tétel szerint létezik tehát egy generáló J- alakú család ( p 1 e 1 ,…, p d e d ), ahol p k természetes szám és ( e 1 ,…, e d ) O L alapú . Ezen kívül minden p k vannak nem zéró, mert J tartalmazza a részmodul α O L rang d , bármely nem nulla α a J . Tehát a definíciónak van jelentése (azaz: O L és J ugyanazon véges rangú két szabad ℤ-modul), ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) J alapja , és a J egyenlő p 1 … p d . Ez a szorzat pontosan az O L / J = (ℤ e 1 ⊕… ⊕ ℤ e d ) / (ℤ p 1 e 1 ⊕… ⊕ ℤ p d e d ) ≃ (ℤ / p 1 ℤ) hányados kardinálja. ×… × (ℤ / p d ℤ).

(Ez a tulajdonság geometrikusan értelmezhető azzal, hogy az O L hálózat azon pontjainak száma, amelyek a J alhálózat alapvető tartományához tartoznak, megegyezik ennek az alapvető tartománynak a relatív térfogatával: vö . A „Covolume” „Rács (geometria) . ” cikk . A másodfokú egészek egyedi esetét, amely egyszerűbb, a „ Másodfokú mező egész számainak gyűrűjére ideálisan ” című cikk tanulmányozza .)

Különösen, ha a P egy nullától eltérő elsődleges ideális , majd O L / P jelentése véges integrált gyűrű alakú , ezért a véges mező F q , N ( P ) = Q jelentése erejét egy prímszám , és Lagrange-tétel a csoportok azonnal ad:

Fermat kis tétel a gyűrű egész számok számos területen - bármilyen nem nulla elsődleges ideális P a O L és bármely eleme α a O L ,

{\ displaystyle \ alpha ^ {| N (P) |} \ equiv \ alpha \ mod P}

mert ha α nem tartozik P-hez, akkor α | N ( P ) | - 1 ≡ 1 mod p .

Általánosabban is bebizonyítjuk Euler tételének analógját .

A multiplikativitás tulajdonsága megmaradt:

Legyen J 1 és J 2 O L két nem nulla ideálja , a következő egyenlőség áll fenn: ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1} \ cdot J_ {2}) = {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {1}) ~ {\ mathcal {N}} _ {L / \ mathbb {Q}} (J_ {2})}$ .

Demonstráció

Az alábbi bizonyítás azon a tényen alapul, hogy a gyűrű O L jelentése a Dedekind . Minden ideál a legfőbb ideálok terméke, és minden elsődleges ideális maximális (vö. A " Töredékes ideál " cikket ). Ezért elegendő bizonyítani az állítást, ha J 2 maximális, és az általános esetet ezután a maximális ideálok egymás utáni szorzásával kezeljük.

A harmadik szerint izomorfizmustételek , az Abel-csoport O L / J 1 izomorf a hányadosa a O L / ( J 1 J 2 ) által alcsoport J 1 / ( J 1 J 2 ). Ezért elegendő megmutatni, hogy ez az alcsoport izomorf az O L / J 2-vel szemben . Legyen α J 1 eleme, amely nincs J 1 J 2 -ben . (Egy ilyen elem létezik, mert a bevonása J 2 a O L ezért szigorú - által invertibility a frakcionált ideális J 1 -, hogy a J 1 J 2 in J 1 is.) Ezután J 1 -1 α ideális a O L, amely nem szerepel a J 2-ben , így az ideális J 1 −1 α + J 2 szigorúan a maximális J 2 ideált tartalmazza , ezért egyenlő O L-vel , vagyis létezik olyan J 1 -1 β elem , amely 1 - αβ tartozik J 2 . Arra a következtetésre jutottunk a megjegyzéssel, hogy a természetes morfizmus az O L / J 2 a J 1 / ( J 1 J 2 ), amely az osztály bármely elemének γ a O L társult, hogy a αγ ezután izomorfizmus, reciprok morfizmus az, hogy, az O L / J 2- ben lévő J 1 / ( J 1 J 2 ) -től, amely a J 1 bármely elemének osztályához a β 5-et társítja.

Alkalmazások

A normák néha lehetővé teszik bizonyos egész gyűrűk euklideszi jellegének megállapítását. Ez a helyzet például a Gauss , Eisenstein és ℚ ( √ 5 ) egész számokkal .

Az általánosabb esetében kvadratikus testek , a norma segít a szerkezetét felderíteni a gyűrű lehetővé teszi például, hogy megoldja a egyenlet x 2 + 5 y 2 = p , ahol p egy prímszám .

Még általánosabban a normát használják az algebrai számelmélet kulcsfontosságú eredményeinek megállapítására, mint például a számtest egészének gyűrűje ideális osztályainak csoportjának végessége .

Megjegyzések és hivatkozások

Lásd például: http://mathoverflow.net/questions/146000/structure-of-norm-one-group-for-quadratic-extension-of-p-adic-fields vagy http://mathoverflow.net/questions / 158686 / integer-number-of-the-form-m-xn-yn / 158689 # 158689
(in) Lorenz Falko (de) , Algebra , Vol. I: Mezők és Galois-elmélet , Birkhäuser ,2005, 296 p. ( ISBN 978-0-387-28930-4 , online olvasás ) , p. 136.
Lorenz 2005 , p. 137.
Lorenz 2005 , p. 138.
(en) N. Bourbaki , Elements of Mathematics : algebra I. fejezet, 1-3 , Springer ,1990, 710 p. ( ISBN 978-3-540-64243-5 , online olvasás ) , p. 546.
A definíciót általánosabb összefüggésben lásd az angol Wikipedia " Ideális norma " cikkében .
(en) Helmut Koch (de) , Számelmélet: Algebrai számok és függvények , AMS , ösz. " GSM " ( n o 24)2000, 368 p. ( ISBN 978-0-8218-2054-4 , online olvasás ) , p. 78.
(in) Tatsuaki Okamoto, "nyilvános kulcsú kriptorendszerek Quantum" , Mihir Bellare (de) , Advances in Cryptology - CRYPTO 2000 , Springer , al. "Lecture Notes in Computer Science" ( n o 1880),2000( online olvasható ) , p. 147-165( 154. o. ).
(a) David A. Cox , Primes a Form $x 2 + NY 2$ , John Wiley & Sons ,2011( 1 st szerk. 1989) ( ISBN 978-1-11803100-1 , olvasható online ) , p. 165.
Közvetlenebb bizonyítást lásd: Koch 2000 , p. 75.

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Nyom alakja

Bibliográfia

Pierre Samuel , algebrai számelmélet [ a kiadás részlete ]
Jean-Pierre Serre , számtan tanfolyam ,1970[ a kiadások részlete ]

Külső hivatkozás

Bas Edixhoven és Laurent Moret-Bailly , algebrai számelmélet, mester természetesen a matematika , Rennes-i Egyetem 1 ,2004( online olvasás )