Madhava, Sangamagrama

Madhava, Sangamagrama Életrajz

Születés	1350 Sangamagrama ( in )
Halál	1425 Ismeretlen hely
Név anyanyelven	സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ és संगमग्राम के माधव
itthon	Sangamagrama ( in )
Tevékenységek	Matematikus , csillagász

Egyéb információk

Területek	Csillagászat , matematika
Vallás	hinduizmus

Madhava de Sangamagrama (1350-1425) indiai matematikus , a matematikai elemzés atyja . Megalapította a Kerala Matematikai és Csillagászati Iskolát .

A pi kiszámítása

1400 körül, Szangamagrámi Mádhava talált a sorozat, hogy viseli a nevét (a) amelyek megfelelnek a modern nyelv, a fejlesztések az egész sorozat , vagy Taylor-sor a trigonometrikus függvények szinusz , koszinusz és arc tg .

A fejlesztés cotanges , újra felfedezte James Gregory és Gottfried Wilhelm Leibniz a XVII th században, a sorozat neve Mádhava-Gregory-Leibniz (egy vagy két három nevet gyakran elhagyható):

{\ displaystyle \ arctan (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {x ^ {5}} {5}} - {\ frac {x ^ {7} } {7}} + \ cdots = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {2k + 1}} {2k + 1}} \ quad (x \ balra [-1,1 \ jobbra]).}

Alkalmazása $x = 1-re$ , Madhava-Leibniz sorozat (vagy képlet) néven is ismert , kifejezi a $π$ számot :

{\ displaystyle \ pi = 4 \ bal (1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots \ right) = 4 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {2k + 1}}}

de a konvergencia e váltakozó sorozat is túl lassú , hogy ki tudja számítani, hogy a gyakorlatban több tizedes: nagyjából 1000 feltételek szükségesek, hogy megkapjuk az intervallum 2.10 -3 által elért Archimedes .

Ehelyett az $x = 1 / \sqrt 3$ $értékre$ alkalmazva a sorozat sokkal gyorsabban konvergál :

{\ displaystyle \ pi = 6 \ cdot {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2} } - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right) = {\ sqrt {12}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {(2k + 1) 3 ^ {k}}},}

amely lehetővé tette Madhavának, hogy $π$ közelítésként megadja a 3, 14159265359 számot, amelynek 11 helyes tizedesjegye van. A rekordot 1424-ben döntötte meg Al-Kashi perzsa matematikus , akinek 16 tizedesjegyet sikerült megadnia.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) George E. Andrews , Richard Askey és Ranjan Roy, Speciális funkciók , UPC , 1999, 682 p. ( ISBN 978-0-521-78988-2 , online olvasás ) , p. 58.
(in) RC Gupta, " A Madhava-Leibniz sorozat hátralévő részében " , Ganita Bharati , vol. 14, n csont 1-41992, P. 68-71.
Roy, Ranjan, A π sorozatképletének felfedezése Leibniz, Gregory és Nilakantha , Math. Mag., 63, 291-306, 1990.

Külső hivatkozás

(hu) John J. O'Connor és Edmund F. Robertson , „Mádhava a Sangamagramma” , a MacTutor History of Mathematics archív , University of St Andrews ( olvasható online ).