Archimédészi spirál

Az arkhimédészi spirál a következő poláris egyenletgörbe :

ρ=nál nélθ.{\ displaystyle \ rho = a \ theta.}

A spirál a Arkhimédész van a görbe által leírt egy pont egyenletes mozgást egy egyenes mentén a forgási önmagában egyenletesen egy pont körül. A bakelitlemezek barázdája archimedesi spirál.

A szemközti oldalon húzott spirál pozitív szögekre meghatározott spirál. A negatív szögekhez definiált r = –t / π egyenletspirál az előző képe egy tengelyszimmetriával (Ox). Ugyanolyan alakú lenne, de ellenkező irányba fordulna.

A poláris egyenlet görbe:

ρ=nál nélθ+b{\ displaystyle \ rho = a \ theta + b}

szintén archimédészi spirál. Ez az előző spirál, amelynek szögfordulása megtörtént - b / a .

Mechanikus felépítés

Az archimedesi spirál mechanikus felépítését úgy képzelhetjük el, hogy a papírlapot az O-n áthaladó függőleges tengely körül egyenletes forgási mozgással ellátott alapra helyezzük. A ceruza egyenletes, egyenes vonalú mozgást követve elmozdul O középpontjától. A két mozgást féregcsavaros rendszer kapcsolhatja össze .

A területek törvénye

A [0, θ ] intervallumon egy sugár által söpört terület :

nál nél2θ36..{\ displaystyle {\ frac {a ^ {2} \ theta ^ {3}} {6}}.}

Vigyázzon, ez nem felel meg a spirál területének, mert a sugár többször is lesöpörheti a sík ugyanazon részét.

Híres problémák

Szög háromszekció

Az archimedesi spirál nem oldja meg „a” probléma a harmad a szög  : egy adott szög θ , lehetetlen megépíteni a szög θ / 3 vonalzóval és egy iránytű . Másrészt, lehetőség van megépíteni a szög θ / 3 egy uralkodó, egy iránytű és archimedesi spirál: elegendő, hogy keresse az M pont a spirál kapcsolódó szög θ , hogy össze egy O középpontú kör és sugár OM / 3. Ez a kör metszi a spirált a P pontban, amely a θ / 3 szöggel van társítva .

Körcsiszolás

A kör egyenesítése a négyzetre hasonlító probléma. A kör négyzetének megkeresése azt a négyzetet keresi, amelynek területe megegyezik az adott körével. A kör korrekciójának elérése egy olyan egyenes szakasz keresése, amelynek hossza megegyezik a kör kerületével. Az egyik esetben (a kvadratúra) az a kérdés, hogy √ π-t ábrázolunk hosszúsággal, a másik esetben (a helyesbítést) a π hosszúságú ábrázolása . Az arkhimédészi spirál lehetővé teszi a második építkezés elvégzését.

Az általunk használt tulajdonát érintő a spirál a ponton M társított szög θ . Megmutathatjuk, hogy az egyenes (OM) érintő által létrehozott α szög nem állandó, mint egy logaritmikus spirál esetében , hanem θ függvényében változik a következő törvény szerint:

Cser⁡(α)=θ.{\ displaystyle \ tan (\ alpha) = \ theta.}

Ezután elegendő megrajzolni a spirál érintőjét a π- vel társított M pontban . P-nél megfelel az (Oy) vonalnak. Ezután megkapjuk az arányt π=OPOM.{\ displaystyle \ pi = {\ frac {OP} {OM}}.}

Megoldatlan kérdések

A két előző bekezdés azt hiheti, hogy Archimédész spiráljának köszönhetően megoldotta volna a két klasszikus problémát: a szög háromszögelése és a kör négyzete. De ez nem. Az akkori matematikusok az uralkodó és az iránytű felbontásának módszereit és a mechanikai felbontások megvetését keresték . Ezért nem tekintették az archimédeszi spirált megoldó eszköznek, és elutasították, csakúgy, mint a többi kvadrátot és más triszektrikust.

A spirális cselekmény érintője is csak áthelyezte a problémát.

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Spirálok

Külső hivatkozás

Archimédész spirál a mathcurve.com oldalon

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">