BBGKY hierarchia
A BBGKY hierarchia ( Bogolioubov , Born , Green , Kirkwood és Yvon kezdőbetűire ) egy módszer az N-test rendszer eloszlásfüggvényének leíró egyenletének kifejezésére alacsonyabb rangú egyenletek sorozataként, és így lehetővé teszik a különböző közelítéseket.
Szerzői
Számos fizikus publikált olyan munkát, amely a ma BBGKY hierarchiának nevezett vezetéshez vezetett. Ezek betűrendben:
Yvon 1935-ben kifejlesztette az N részecskékkel történő eloszlásfüggvény fogalmát. 1946-ban különféle fizikusok publikálták az eredményeket az itt leírt módszerrel.
Megfogalmazás
Az N részecskéből álló klasszikus rendszer evolúcióját az eloszlásfüggvény alakulása adja :
fNEM=fNEM(q1...qNEM,o1...oNEM,t){\ displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}![{\ displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b770eda90fa826f6fac5ed1daf50ac507cdb18)
ahol a q i a generalizált koordinátái a rendszer, és a p i jelentése a lendület az egyes részecskék. Ezért 6N változó található egy háromdimenziós térben.
Ezt az evolúciót a Liouville-egyenlet adja :
∂fNEM∂t+∑én=1NEMq˙én∂fNEM∂qén-∑én=1NEM(∂Φénext∂qén+∑j=1NEM∂Φénj∂qén)∂fNEM∂oén=0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f_ {N}} {\ részleges t}} + \ összeg _ {i = 1} ^ {N} {\ pont {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ részleges f_ {N}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} - \ összeg _ {i = 1} ^ {N} \ balra ({\ frac {\ részleges \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} + \ összeg _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ részleges \ Phi _ {ij}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} \ jobbra) {\ frac {\ részleges f_ {N}} {\ részleges \ mathbf {p} _ {i}}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f_ {N}} {\ részleges t}} + \ összeg _ {i = 1} ^ {N} {\ pont {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ részleges f_ {N}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} - \ összeg _ {i = 1} ^ {N} \ balra ({\ frac {\ részleges \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} + \ összeg _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ részleges \ Phi _ {ij}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} \ jobbra) {\ frac {\ részleges f_ {N}} {\ részleges \ mathbf {p} _ {i}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c378d8a73dec5cc589a21739c7792c26beca03)
vagy
Φénj{\ displaystyle \ Phi _ {ij}}![{\ displaystyle \ Phi _ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dae28913f519171bf3a021c3cf392f4bc7b238) |
az i és j részecskék interakciós potenciálja,
|
Φénext{\ displaystyle \ Phi _ {i} ^ {ext}}![{\ displaystyle \ Phi _ {i} ^ {ext}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4650b3ec830e8f2d2953bf0cf2e0f263027fac9) |
bármilyen külső potenciál.
|
Most definiáljuk a 2, 3 ..., s részecskék halmazának elosztási függvényeit:
fs=fs(q1...qs,o1...os,t){\ displaystyle f_ {s} = f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {utca)}![{\ displaystyle f_ {s} = f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {utca)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c570dace73e9164c75d4eba97bdae36026dfcdf)
Liouville egyenletének részekre integrálásával az egyes halmazok egyenlethierarchiáját kapjuk:
∂fs∂t+∑én=1sq˙én∂fs∂qén-∑én=1s(∂Φénext∂qén+∑j=1s∂Φénj∂qén)∂fs∂oén=(NEM-s)∑én=1s∂∂oén∫∂Φéns+1∂qénfs+1dqs+1dos+1{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f_ {s}} {\ részleges t}} + \ összeg _ {i = 1} ^ {s} {\ pont {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ részleges f_ {s}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} - \ összeg _ {i = 1} ^ {s} \ balra ({\ frac {\ részleges \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} + \ összeg _ {j = 1} ^ {s} {\ frac {\ részleges \ Phi _ {ij}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} \ jobbra) {\ frac {\ részleges f_ {s}} {\ részleges \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ összeg _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ részben} {\ részleges \ mathbf {p} _ {i}}} \ int {\ frac {\ részleges \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} \, f_ {s + 1} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} d \ mathbf {p} _ {s + 1}}![{\ displaystyle {\ frac {\ részleges f_ {s}} {\ részleges t}} + \ összeg _ {i = 1} ^ {s} {\ pont {\ mathbf {q}}} _ {i} {\ frac {\ részleges f_ {s}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} - \ összeg _ {i = 1} ^ {s} \ balra ({\ frac {\ részleges \ Phi _ {i } ^ {ext}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} + \ összeg _ {j = 1} ^ {s} {\ frac {\ részleges \ Phi _ {ij}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} \ jobbra) {\ frac {\ részleges f_ {s}} {\ részleges \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ összeg _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ részben} {\ részleges \ mathbf {p} _ {i}}} \ int {\ frac {\ részleges \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ részleges \ mathbf {q} _ {i}}} \, f_ {s + 1} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} d \ mathbf {p} _ {s + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a980e45241ccecf85c229afa8ffb82674728efa)
Az f s minden egyenlete feltárja a második tag számára az összes magasabb rendű eloszlásfüggvényt. Jelenlegi állapotában ez az egyenérték egyenértékű az előzővel. Érdekessége, hogy lehetővé tegye az s sorrend csonkítását, feltéve, hogy az ember tudja, hogyan fejezzük ki az f s + 1 értéket az alacsonyabb rangú tagok függvényében. Példaként említhetjük a Vlassov-egyenletet , amelyben az 1. sorrendben állunk meg, és elvégezzük a mező átlagos közelítését:
f2(q1,q2,o1,o2,t)≃f1(q1,o1,t)f1(q2,o2,t){\ displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) \ simeq f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t) f_ {1} (\ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2}, t)}![{\ displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) \ simeq f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t) f_ {1} (\ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {2}, t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51f7de6a82415e3ba83b169d625e6bdf07fa85d)
.
Megjegyzések és hivatkozások
-
(ru) NN Bogoliubov , „ Kinetikai egyenletek ” , Journal of Experimental and Theoretical Physics , vol. 16, n o 8,1946, P. 691-702
-
(in) NN Bogolyubov , " Kinetikai egyenletek " , Journal of Physics USSR , vol. 10, n o 3,1946, P. 265–274
-
(in) Max Born és Herbert S. zöld , " A General kinetikus elméletét folyadékok I: Molecular eloszlásfüggvény " , Proceedings of the Royal Society , vol. A188,1946, P. 10-18
-
(in) John G. Kirkwood , " A szállítási folyamatok statisztikai mechanikai elmélete I. Általános elmélet " , The Journal of Chemical Physics , vol. 14, n o 3,1946( DOI 10.1063 / 1.1724117 )
-
Jacques Yvon , " A folyadékok statisztikai elmélete és az állapotegyenlet ", tudományos és ipari hírek , Hermann , n o 203,1935
Bibliográfia
- en) Carlo Cercignani , VI Gerasimenko és D. Ya. Petrina, sok részecske dinamikája és kinetikai egyenletei , Springer ,1997( ISBN 978-94-010-6342-5 , DOI 10.1007 / 978-94-011-5558-8 )
- (en) Carlo Cercignani , Reinhard Illner és Mario Pulvirenti, A hígított gázok matematikai elmélete , vol. 106., Springer Verlag , koll. "Alkalmazott matematikai tudományok",1994( ISBN 0-387-94294-7 , online olvasás )
- en) GE Uhlenbeck és GE Ford, „ Bogoliubov. Tanulmányok a statisztikai mechanikáról I ” , Nyári szeminárium az alkalmazott matematikáról, 2, Colorado Egyetem, 1960 ,1962
- en) Jan de Boer és GE Uhlenbeck , statisztikai mechanikai tanulmányok , Észak-Holland Kiadó ,1962
- (en) Jan de Boer, Molekuláris eloszlás és a gázok állapotegyenlete , vol. 12., koll. "Jelentések a fizika fejlődéséről",1949( online olvasható ) , fej. 1
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">