A fizika , a szabadsági fok (rövidítve dof vagy DDL ) független paraméter a hivatalos leírást a állam egy fizikai rendszer , vagy talán pontosabban egy dinamikus rendszer . A paraméter kifejezést tág értelemben itt kell értelmezni, mint információelemet, általában egy számot, amelyet fizikai mennyiséggel azonosítunk . Fontos, hogy ennek a paraméternek szabadon szabadon kell fejlődnie korlátozások nélkül.
A szabadság fokának ezt a nagyon általános fogalmát a fizika számos területén alkalmazzák ( mechanika , statisztikai fizika , kémia , kvantumtérelmélet , ...), valamint a tiszta matematikában ( statisztika ). Ebben a szakaszban felsorolunk néhány példát.
A gépipar , szabadsági fok jelzi a különböző lehetőségek a mozgás a térben. Lásd a cikket a szabadság mértéke (gépgyártás) . Ez a kifejezés hasonló a molekuláris rezgések tipológiájához . A legutóbb említett keretrendszerben (a molekuláris mozgások leírása) a szabadság fokainak két típusát különböztetjük meg: a külső , 6 számú szabadságfokokat , amelyek megfelelnek a molekula térbeli mozgásának (transzlációk és forgások), valamint a belső szabadság , amely megfelel a molekula egyensúlyi konformációjához viszonyított deformációinak.
Három dimenzióban 6 részecske mozgásával van összefüggésben a szabadság, 3 a helyzete, 3 a lendülete . Összesen tehát 6 fokos szabadság van. A séma igazolásának másik módja az a megfontolás, hogy a molekula mozgását a két atomját képviselő két mechanikus részecske mozgása írja le, hogy minden egyes részecskéhez 6 szabadságfok kapcsolódik, mint fent. Ezzel a további megfontolással úgy tűnik, hogy a szabadság mértékének különböző halmazai határozhatók meg a molekula mozgásának meghatározása érdekében. Valójában egy mechanikus rendszer szabadsági foka független tengelyek halmaza a rendszer fázistérében , amely lehetővé teszi annak teljes létrehozását. Egy olyan többdimenziós térhez, mint a fázistér, egynél több tengelykészlet létezik. Megállapítást nyert, hogy a hidrogénmolekula minden szabadsági foka nem vesz részt az energia kifejeződésében . Például a tömegközéppont helyzetéhez kapcsolódó fokok nem vesznek részt.
Az alábbi táblázatban az elhanyagolt fokok az összenergiára gyakorolt kicsi hatásuk miatt vannak, hacsak nem nagyon magas hőmérsékleten vagy energián vannak. A molekuláris tengelyek körüli elfordulás miatt a diatomiás forgást elhanyagoljuk. A monatomikus forgatást ugyanolyan okból hanyagolják el, mint a diatomit, de ez a hatás érvényes a másik két irányban is.
Monoatomikus | N atomból álló lineáris molekulák | N-atomokból álló nemlineáris molekulák | |
---|---|---|---|
Pozíció (x, y és z) | 3 | 3 | 3 |
Forgatás (x, y és z) | 0 | 2 | 3 |
Rezgés | 0 | 3N - 5 | 3N - 6 |
Teljes | 3 | 3N | 3N |
Az ideális láncmodellben két szögre van szükség az egyes monomerek orientációjának leírására .
A statisztikus fizika , a szabadságfok egy egyedi számot leíró mikroállapot rendszer. A rendszer összes mikropozíciójának specifikációja a rendszer fázistérének egy pontja .
A rendszer állapotának leírása fázistérében, bár matematikailag praktikus, alapvetően pontatlan. A kvantummechanika , a szabadsági fok a mozgás helyett (a Schrödinger képviselete ) által a koncepció hullám funkció és az üzemeltetők , amelyek megfelelnek más szabadsági fok van diszkrét spektrumok . Például egy elektron vagy egy foton spin- operátorának csak két sajátértéke van . Ez a diszkontinuitás nyilvánvalóvá válik, ha a kereset egy nagyságrenddel közel a Planck-állandó és az egyes szabadsági fokkal lehet megkülönböztetni.
(Lásd még a szabadsági fokok tárgyalását a kvantummechanikáról szóló cikkben a Heisenberg-ábrázolásban. )
A kvantumtérelméletbenA rendszer szabadságfokainak halmaza független, ha a halmazhoz társított energia a következő formában írható fel:
ahol az egyetlen változó függvénye .
Példa: ha és két fokú szabadság, és a kapcsolódó energia:
Ha egy sor független szabadsági fokkal, akkor egy termodinamikai egyensúlyban , amelyek statisztikailag független egymástól.
Az i 1-től N , az érték a i edik fokú szabadságot oszlik szerint Boltzmann törvényt . A sűrűségfüggvény a következő:
,Ebben a részben, és utána fel kell tüntetni a átlaga mennyiség körülveszik.
A rendszer belső energiája az egyes energiákhoz tartozó átlagos energiák összege:
. DemonstrációUtána feltételezzük, hogy a vizsgált rendszer energiacseréjét a külsõvel végzik, és hogy a rendszer részecskéinek száma állandó, vagyis a kanonikus halmazba helyezzük magunkat . Emlékezzünk vissza arra, hogy a statisztikai fizikában egy rendszer esetében bizonyított eredmény igaz marad erre a rendszerre , bármely készlet termodinamikai határán . A kanonikus halmazban a termodinamikai egyensúlynál a rendszer állapota Boltzmann-eloszlás szerint oszlik meg a mikrostátumok között . Ha a hőmérséklet a rendszer és a Boltzmann-féle állandó , akkor a sűrűségfüggvény kapcsolódó egyes mikroállapot a következő:
,Ez a kifejezés a szabadság egyetlen fokától függő kifejezések szorzatává válik:
A valószínűségi sűrűségfüggvény ilyen alakulásának egyetlen változó függvény szorzatává alakulása önmagában elegendő annak bizonyítására, hogy ezek statisztikailag függetlenek egymástól.
Mindegyik funkció alatt normalizálódott , ebből következik, hogy a sűrűségfüggvénye a szabadsági fok , a i 1-től N .
Végül a rendszer belső energiája az átlagos energia. A szabadság bizonyos fokának energiája az egyetlen változó függvénye . Mivel statisztikailag függetlenek egymástól, az energiák is . A rendszer teljes belső energiája ekkor írható fel:
.A szabadság egy foka kvadratikus, ha a kapcsolódó energiakifejezések megírhatók:
,hol van a szabadság más másodfokú fokainak lineáris kombinációja .
Például, ha és két szabadsági fok, és a kapcsolódó energia:
A klasszikus mechanika , a dinamikája a rendszer kvadratikus szabadsági fok vezérli egy sor lineáris differenciálegyenletek az állandó együtthatók .
Másodfokú és független szabadságfokokmásodfokú és független szabadságfokok, ha a rendszer általuk leírt mikroszintjéhez kapcsolódó energia leírható:
. Ekvipartíció tételA klasszikus statisztikus fizika , a termodinamikai egyensúly , a belső energia rendszerének N független és másodfokú szabadságfok:
. DemonstrációItt a bizonyos fokú szabadsághoz kapcsolódó átlagos energia:
.A szabadság fokai függetlenek, a rendszer belső energiája megegyezik az egyes szabadságfokokhoz tartozó átlagos energia összegével, amely bizonyítja az eredményt.