Planck állandó

Planck állandó Az atom energiájának mennyiségi meghatározása. Kulcsadatok

SI egységek	joule másodperc (Js)
Dimenzió	${\ displaystyle [h] =}$ M · L 2 · T -1
Természet	Skaláris mennyiség
Szokásos szimbólum	$h$
Link más méretekhez	${\ displaystyle \ Delta E = h \ nu}$ ${\ displaystyle \ hbar = {h \ 2 felett \ pi}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ vec {p}}}}$ = ${\ displaystyle -i \ hbar {\ vec {\ nabla}}}$
Érték	h = 6,626 070 15 × 10 −34 J s

A fizika , Planck-állandó , jelöljük , más néven a „ cselekvés kvantum ” bevezetése óta a kvantumelmélet , a fizikai konstans , hogy ugyanaz a dimenzió az energia szorozva egy időtartamot. $h$

A nevét Max Planck fizikus kapta , központi szerepet játszik a kvantummechanikában, mert ez az alapvető arányossági együttható, amely a foton energiáját a frekvenciájához ( ), a lendületét pedig a hullámszámához kapcsolja ( ), vagy általában véve diszkrét. korpuszkuláris típusú tulajdonságok folyamatos hullám típusú tulajdonságokkal. ${\ displaystyle E = h \ nu}$ ${\ displaystyle p = hk}$

Az értéke, amelyet 2019. május 20. óta egyezmény rögzített , ma már a kilogramm meghatározásának alapja .

Bemutatás

Történelmi

Ezt az állandót kezdetben Max Planck vezette be a fekete test sugárzásának tanulmányozása során , mint az elektromosan töltött oszcillátor minimális E energiabővülése és a hozzá tartozó elektromágneses hullám f frekvenciája közötti arányossági arányt . Ezt követően, 1905-ben, ezt az energia kvantált növekedését Albert Einstein összekapcsolta az elektromágneses hullám egy kvantumával , ez a világító kvantum néha úgy viselkedik, mint egy elektromosan semleges részecske, és nem úgy, mint egy elektromágneses hullám. Ezt a kvantumot végül fotonnak hívták . A Planck és Einstein által így bemutatott összefüggés összekapcsolja a foton E energiáját f vagy frekvenciájával ω:

E=hf=ℏ ω.{\ displaystyle E = hf = \ hbar \ \ omega.}

{\ displaystyle E = hf = \ hbar \ \ omega.}

A szóban forgó energia, amely a látható fény fotonjára 4 × 10 −19 J nagyságrendű, rendkívül kicsi a napi energiák nagyságrendjeihez képest.

Az energia számszerűsítése sok esetben azt jelenti, hogy csak bizonyos energiaszintek megengedettek, és a köztes értékeket nem lehet elérni.

Ez az állandó kulcsfontosságú szerepet játszott a hidrogénatom modelljében, amelyet 1913-ban javasoltak, és ma Bohr-modellként ismerik annak a spektrális vonalnak a jelenlétét magyarázva, amely tükrözi azt a tényt, hogy az elektron mozgási frekvenciái a központi mag körül nem önkényesek, és ahogyan a megfelelő energia is tökéletesen meghatározott. Niels Bohr elismeri, hogy az álló pályán lévő elektron nem képes sugárzást kibocsátani, ellentétben a klasszikus elektromágneses elmélettel. Feltételezte, hogy melyik vált Bohr kvantálásának első feltételévé, nevezetesen azt, hogy a lendület teljes pályán történő működése a (Planck-állandó) egész számának többszöröse . Ezt az elképzelést "Planck quantum hypothesis" néven is ismerik. Nekünk van ${\ vec p} = m {\ vec v}$ $h$

∮mvds=nemh=2nemπℏ.{\ displaystyle \ kenés mv \, \ mathrm {d} s = nh = 2n \ pi \ hbar \;.}

{\ displaystyle \ kenés mv \, \ mathrm {d} s = nh = 2n \ pi \ hbar \;.}

Planck felfedezését követően felismerték, hogy általában egy fizikai rendszer cselekvése semmilyen értéket nem vehet fel, de egy olyan kvantummal is meghatározták, amelyet ma Planck állandójának neveznek . Ez a megközelítés megfelel a kvantummechanika első értelmezésének , amelyet Bohr és Sommerfeld dolgozott ki , amelyre részecskék léteznek és pályájuk van, de rejtett változóik is vannak, amelyeket a kvantummechanika törvényei korlátoznak. Ez az értelmezés már elavult, helyébe egy olyan megközelítés lép, ahol a pálya fogalma már nem létezik, és ahol az összes részecskét egy térben és időben kiterjedő hullámfüggvény képviseli : ez a megközelítés nem engedi tovább meghatározni a klasszikus értelemben vett cselekvést . a kifejezés.

Általánosabban, 1924-ben De Broglie hipotézise a hullám-részecske kettősség általánosítja ezt kapcsolatos bármely részecske (és nem csak a foton) viszonyítva lendület egy részecske és hullámhossz egy egyszerű egyenlet: $\ vec {p}$ $\ lambda$

λ=h o.{\ displaystyle \ lambda = {h \ over \ p} \;.}}

{\ displaystyle \ lambda = {h \ over \ p} \;.}}

Ez a hipotézis rövid idő múlva kísérletileg megerősítést nyer, ezzel megalapozva a kvantummechanikát.

Csökkentett állandó

De Broglie hipotézis vezetett Erwin Schrödinger javasolni 1925-ben, hogy az evolúció egy részecske tömege m egy potenciális energia mezőt írja le egy hullám funkciót , amely társítja minden egyes pont a térben egy számot komplex (elemezhető egy modulusz és egy fázis), és amely kielégíti a következő egyenletet: ${\ displaystyle \ scriptstyle V (t, {\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Psi (t, {\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {r}}}$

énℏ∂∂tψ=-ℏ22m∇→2ψ+Vψ.{\ displaystyle i \ hbar {\ részleges \ felett \ részleges t} \ psi = - {\ hbar ^ {2} \ 2m felett} {\ vec {\ nabla}} ^ {2} \ psi + V \ psi \; .}

{\ displaystyle i \ hbar {\ részleges \ felett \ részleges t} \ psi = - {\ hbar ^ {2} \ 2m felett} {\ vec {\ nabla}} ^ {2} \ psi + V \ psi \; .}

A normalizált hullámfüggvény amplitúdója valószínűségeloszlás: a hullámfüggvény négyzete adja meg a részecske jelenlétének mérési valószínűségét a pontban ; a kvantumfázis pedig tiszta forgás a komplex síkban, amelynek forgási gyakorisága a részecske mozgási energiájától függ . ${\ displaystyle \ scriptstyle | \ psi ({\ vec {x}}, t) | ^ {2}}$ $\ scriptstyle {\ vec x}$

Ha például a részecske Hamilton-féle nem kifejezetten függ az időtől, a hullámfüggvény a tér és az idő függvényévé bontható . A változók elválasztásával történő felbontás azt mutatja, hogy az egyenlet ekkora alakú: ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Psi (t, {\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ psi ({\ vec {r}})}$

{\ displaystyle \ Psi (t, {\ vec {r}}) = \ psi ({\ vec {r}}). e ^ {- i. \ omega .t} = \ psi ({\ vec {r} }). e ^ {- i. (E / \ hbar) .t} \ qquad}

val vel

{\ displaystyle \ quad \ omega. \ hbar = E}

Ezért sok esetben a kvantummechanika , akkor természetes, hogy beszélünk a körfrekvencia , mint a frekvencia maga , vagyis, hogy kifejezze a frekvenciát radián per másodperc , és nem a hertz (amely megfelel a fordulatszám a fázis a reciprok térben). Ezekben a képletekben leggyakrabban hasznos elnyelni a 2π faktort magában az állandóban, ami a redukált Planck- konstans (vagy Dirac-konstans ) használatához vezet, amely megegyezik a Planck-konstans 2π-vel osztott értékével és megjegyzi (h-bar): $\ hbar$

{\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}.}

Ezután egy ω = 2π f szögfrekvenciájú foton energiáját írjuk fel:

E = \ hbar \ omega

Hasonlóképpen, a szögimpulzus ezután a hullámszámhoz kapcsolódik : ${\ vec p}$ ${\ vec k}$

{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ hbar {\ vec {k}}}

Ez a két összefüggés a kvadrivektorokra vonatkozó speciális relativitási képlet időbeli és térbeli összetevője :

{\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ balra ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ jobbra) = \ hbar K ^ {\ mu} = \ hbar \ balra ({ \ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right)}

Jellemzés

Érték

Annak 26 -én ülést november 16-án 2018-ban az Általános Súly- és Mértékügyi Konferencia (GFCM) úgy döntött, hogy a május 20-i 2019 a Nemzetközi Mértékegység Rendszer (SI), Planck-állandó, h , szigorúan egyenlő a

h = 6,626 070 15 × 10 −34 J s

ezt annak érdekében, hogy meghatározzuk a kilogrammot ebből az állandóból.

A társított mennyiség a „csökkentett Planck-állandó” vagy „ Dirac- állandó ”, amelyet noted jelöltek és „h bar” -nak ejtettek:

Érték joule- másodpercben:
- ${\ displaystyle \ hbar = h / 2 \ pi}$ ≈ 1,054 571 818 × 10 −34 J s .
Érték elektron-volt- másodpercben:
- ≈ ≈ 6,582 119 570 × 10 −16 eV s ,
Érték MeV- femtometers :
- ℏ c ≈ 197,326 980 5 MeV fm ,

A 2019-es reform előtt a h értékét kiszámították más fizikai állandókból, például az alábbiak szerint:

${\ displaystyle h = {\ frac {e ^ {2}} {c \, \ varepsilon _ {0}}} {\ sqrt {\ pi \, {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} \ , \, {\ frac {m_ {p}} {m_ {e}}}}}}$

hol van az elektron elemi töltése, a proton tömege, az elektron tömege, a vákuum permittivitása és a fény sebessége. $e$ $mp$ $nekem}$ $\ varepsilon _ {0}$ $vs.$

Dimenzió

A dimenzióanalízisben Planck állandója homogén egy cselekvéssel szemben . Dimenziója $ML 2 T -1$ . A konstans kezdeti megfogalmazásában az energia ( joule-ban ) és a frekvencia ( hertz ), tehát az M · L 2 · T −1 dimenzió arányaként jelenik meg . Planck állandójának tehát az energia méretei szorozva vannak az idővel . Az is lehetséges, hogy ezeket az egységeket impulzusszámként megosszuk a hosszúsággal.

A redukált konstans a maga részéről az energia (joule-ban) szögfrekvenciának (radian / másodperc) arányában jelenik meg, ezért kg ⋅ m 2 ⋅ s −1 ⋅ rad −1 -ben fejeződik ki . Az egységek azonossága ellenére azonban fizikailag nem szögimpulzus , amelynek álvektor jellege van, és amelynek forgási sebességgel való szorzása kinetikus forgási energiát ad . Az az állandó, amellyel az energiát ( 1 0 orientációs skalár ) elosztjuk, hogy megtaláljuk a kvantumfázis egyenértékű forgási sebességét .

Bizonytalanság

2019. május 20. óta Planck állandója egyezmény szerint rögzül, pontosan 6,626 070 15 × 10 −34 kg m 2 s −1 (vagy J ⋅s) értékre.

A CGPM általi rögzítése előtt ez volt az egyik fizikai állandó, amelynél a bizonytalanság a legnagyobb, 1,2 × 10 −8 relatív bizonytalanság (ebben a tekintetben csak Boltzmann állandója (5,7 × 10 −7) ) és a gravitációs állandó (4,6 × 10 −5 ), és természetesen a kozmológiai állandó nagyrészt versenytől eltekintve). Ez a bizonytalanság Planck állandójánál viszont bizonytalansági tényező volt más fizikai állandókkal szemben, amelyek meghatározásában beavatkozik:

az elektron tömege a Rydberg-állandó alapján meghatározva ;
az elemi töltet a finomszerkezeti állandóból számítva ;
a Bohr-magneton , amelyet az elektron töltése és tömege alapján határozunk meg;
az Avogadro-szám , amelyet egy Paul vagy Penning ioncsapdában lévő elektron tömegéből határoztak meg (ezt most egyezmény szerint rögzítették pontosan 6,022 140 76 × 10 23 mol −1 értékre .)

Mért

Elméletileg Planck állandója kiszámítható egy fekete test emissziós spektrumából , és ezek a fizikai adatok szolgáltatják a Planck első becslését.

A legpontosabb mérések jelenleg a Kibble-mérlegen alapulnak (korábban watt-egyensúlynak hívták, ez magában foglalja az elektron állandóit, és feltételezi, hogy a Josephson-effektusról és a teljes kvantum Hall-hatásról szóló elmélet helyes), valamint a egy kristály sűrűsége röntgendiffrakcióval (amely magában foglalja az Avogadro számot ). A mérés nehézségét szemlélteti, hogy ez a két módszer nem ad kompatibilis eredményeket anélkül, hogy meg lehetne állapítani, hogy a kettő közül melyik a vártnál kevésbé pontos.

Planck állandójának pontos mérésének egyik kihívása az volt, hogy képes legyen megadni a kilogrammnak olyan meghatározást, amely már nem függ egy műtől, a régi standard kilogrammtól, amelyet a Pavillon de Breteuil- nál tartottak . Amennyiben ennek a szabványnak a megőrzésével kapcsolatos bizonytalanság fokozatosan növekszik, mint a Planck-konstansé, pontosabbá válik egy kilogramm tömegének a Planck-állandó konvencionálisan rögzített értékéből történő mérése (mint ez már a fénysebesség ) a fenti módszerek bármelyikével. Ez most 2019 májusa óta van így.

Fizikai értelmezés

A cselekvés kvantuma

A kvantumfizika a következő elv alapján vezethető le: nincs olyan fizikai rendszer, amely kevesebb megfigyelést mutatna, mint két megfigyelés között. Onnan tudjuk mutatni, hogy két megfigyelés között elválasztva időintervallum Δ t , a megfigyelt cselekvés változása mindig nagyobb, mint a termék az energia változását E szerint az idő változása ellenőriznie kell $\ hbar$ $\ hbar$

ΔE⋅Δt≥ℏ2.{\ displaystyle \ Delta E \ cdot \ Delta t \ geq {\ hbar \ over 2} \;.}

{\ displaystyle \ Delta E \ cdot \ Delta t \ geq {\ hbar \ over 2} \;.}

Ez ugyanaz lesz minden pár fizikai nagyságát, amelynek terméke az alábbi méretekkel rendelkezik egy akció , a M · L 2 · T -1 , mint a pozíció és a lendület .

Fizikai méret

Bármely állandó számértéke attól az egységrendszertől függ, amelyben kifejezik. A nemzetközi mértékegység-rendszerben Planck állandója az egyik legkisebb számérték, amely a fizikában megjelenik. Ez azt a tényt tükrözi, hogy "emberi léptékben", ahol az energiákat tipikusan kilojoule-ban, az időket pedig másodpercekben vagy órákban számolják, a hatás kvantuma rendkívül alacsony. Planck állandója tehát állandónak tekinthető a szubatomi skálán. Az atomegység- rendszer ezen az állandón alapszik.

Megfordíthatjuk, hogy Planck állandójának kis számértéke abból adódik, hogy a mindennapi életben kezelt fizikai rendszerek nagyon nagy részecskékből állnak (például az Avogadro-számhoz közeli értékek ). Például, egy fotont zöld fény hullámhossza 555 nm (maximális érzékenysége az emberi szem) frekvenciája 540 THz , és mindegyik foton ezért energiája E = hf = 3,58 × 10 -19 J . Ez az érték rendkívül alacsony az „emberi léptékű” energiákhoz képest (kJ körül), ezért nem felel meg a napi tapasztalatainknak (és ennek az energiának csak néhány fotonra van szüksége ahhoz, hogy a szem észlelhető fényt adjon). Ha viszont egy mól foton energiáját vesszük figyelembe , szorozva azt a 6,022 × 10 23 mol −1 Avogadro számmal , akkor végül egy 216 kJ mol −1 energiát találunk, amely közelebb van egy „emberhez”. skála ”.

Számszerűsítés

Planck konstansát olyan részecskékkel előforduló kvantálási jelenségek leírására használják, amelyek egyes fizikai tulajdonságai csak a rögzített értékek több értékét veszik fel a lehetséges értékek folyamatos halmaza helyett. Például egy részecske frekvenciája összefügg az energiájával , amelyet bizonyos helyzetekben számszerűsíteni lehet (például az atom egy atomban) . $\meztelen$ $E = h \ \ nu$

Ilyen kvantálási feltételeket találunk az egész kvantummechanikában. Például, ha a teljes impulzusmomentum egy olyan rendszer és a perdület a rendszer tetszőleges irányban mért ezek a mennyiségek csak veszi az értékeket $J \,$ $J_ {z} \,$

$J ^ {2} = j \ (j + 1) \ \ hbar ^ {2}$ , a ; ${\ displaystyle j \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$
$J_ {z} = m \ \ hbar$ Közreműködik: . ${\ displaystyle m = -j, -j + 1, \ cdots, j-1, j}$

Ennek eredményeként gyakran tekintik a kvantum perdület , beleértve a kvantum centrifuga , azaz a perdület bármely rendszer, képest mért különösebb választott tengely, mindig egész számú többszöröse ezt az értéket. $\ hbar$

A bizonytalanság elve

A redukált Planck-állandó is megjelenik a nyilatkozatok a Heisenberg elvének határozatlanság . A helyzetmérés és az impulzusmérés ugyanazon tengely mentén mért szórása engedelmeskedik az összefüggésnek $\ Delta x$ $\ Delta p \,$

Δx Δo≥12 ℏ.{\ displaystyle \ Delta x \ \ Delta p \ geq {\ frac {1} {2}} \ \ hbar \;.}

{\ displaystyle \ Delta x \ \ Delta p \ geq {\ frac {1} {2}} \ \ hbar \;.}

Ez az elv formában is kifejezhető Δx Δv≥12 m ℏ,{\ displaystyle \ Delta x \ \ Delta v \ geq {\ frac {1} {2 \ m}} \ \ hbar \;,}

{\ displaystyle \ Delta x \ \ Delta v \ geq {\ frac {1} {2 \ m}} \ \ hbar \;,}

hol van a vizsgált tárgy állandónak feltételezett tömege és sebessége.

m

v

Planck egységek

A redukált Planck-konstans a kvantumskálát kifejező alapvető állandóként is használható, a Planck-egységeknek nevezett egységek rendszerében , valamint az atomi egységek rendszerében . $\ hbar$

Az atomi egységek rendszerének érdeke, hogy a Planck-állandó definíciója szerint az egységgel megegyező pontos értékkel rendelkezik, a mérés bizonytalansága nem gyakorol visszahatásokat a fizikai mérés eredményeire, ha ezekben az egységekben kifejezik, csak az maga a fizikai mennyiség mérésének bizonytalansága avatkozik be .

Ezzel szemben a Planck-egységeket általában gyenge pontossággal ismerik, a legnagyobb pontatlanságot a gravitációs állandó vezeti be .

Más területek

Ezt az állandót (többek között) a következőkben használják:

a fekete test elektromágneses spektrumának kiszámítása ;
a hullámhossz variációjának kiszámítása kvantumelmélettel ;
az orbitális szögmomentum normájának, az orbitális mágneses momentum vagy az elektron spinjének normájának kiszámítása ; más elemi részecskék (különösen a proton és a neutron, de más bozonok és leptonok ) pörgésének , valamint csoportjainak pörgésének kiszámítására is használják , de ezt az állandót a korpuszkuláris mágnesességben is felhasználják.

Az első és a második fénysűrűség Planck-állandók

A fekete testek elméletében , különösen a fényerő kifejezésére , két másik Planck-állandót használunk, amelyeket C 1-nek és C 2-nek nevezünk :

C 1 = 3,741 5 × 10 −16 W m 2 sr −1 , vagy C 1 = 1,190 5 × 10 −16 W m 2 ;
C 2 = 1,438 × 10 8 -2 m K .

A minősítés eredete

Planck állandójának h szimbóluma magának Plancknak köszönhető. Először jelenik meg egy közleményben, amelyet Planck készített 1900. december 14 a Német Fizikai Társaságnál . A szerzők szerint a h betű a német Hilfsgröße ("segédváltozó"), a Hilfe! („Segítség!”) Vagy Helfen („segítség”).

A csökkentett konstans ħ szimbóluma Paul Dirac-nek köszönhető (1902-1984). Először egy 1926-ban megjelent cikkben javasolta.

Számítógépes ábrázolás

Planck konstansának a következő Unicode reprezentációi vannak:

$h \,$ : U + 210E (Planck-állandó);
$\ hbar \,$ : U + 210F (Planck-állandó 2 π-re csökkentve );
a LaTeX- ben van írva . $\ hbar \,$ \hbar

Megjegyzések és hivatkozások

Jean-Marc Levy-Leblond, Alain Laverne, cikk "Kvantummechanika", Encyclopedia Universalis
„„ A Planck-Einstein ( ) és De Broglie ( ) kapcsolatok összekapcsolják a korpuszkuláris típusú tulajdonságokat (a diszkrét entitások energiája és lendülete) a hullám típusú tulajdonságokkal (tér-idő periodicitások). Pontosabban lehetővé teszik e fogalmak hozzávetőleges érvényességi területének azonosítását. Ez a híres Heisenberg-kapcsolatok egyik lényeges szerepe, más néven bizonytalansági kapcsolatok. " " ${\ displaystyle E = h \ nu}$ ${\ displaystyle p = hk}$
Albert Einstein , Fizika és valóság , vol. 132,2003( DOI 10.1162 / 001152603771338742 , olvassa el online ) , fej . 4. o. 24.
"A kérdés az első: Hogyan lehet a $H σ$ energiaérték diszkrét egymásutánját hozzárendelni a klasszikus mechanika értelmében meghatározott rendszerhez (az energiafüggvény a $q r$ koordináták és a megfelelő momentum $p r$ adott függvénye )? A Planck-állandó $h$ tárgya a frekvencia $H σ / h$ , hogy az energia értékeket $H σ$ . Ezért elegendő diszkrét frekvenciaértékek egymás utáni megadása. "
Christoph Schiller, Motion Mountain vol. 4. o. 88 .
CGPM felbontás
Y. Heymann , Euklidesz és az Univerzum kora , Amazon, KDP önkiadó,2021, 66 p.
Aslangul 2018 , p. 217.
Taillet, Villain és Febvre 2018 , sv Planck (konstans), p. 570, oszlop 2 .
Aslangul 2018 , p. 309.
Taillet, Villain és Febvre 2018 , sv action [ jelentése: 1 ], p. 11. oszlop 1 .
Planck állandója , A fizika képletei.
" A határozattervezet - A CGPM 26. ülése (2018. november 13-16.) " [PDF]
Megközelítés Niels Bohr miatt , Christoph Schiller után, Motion Mountain vol. IV. O. 16 .
Taillet, Villain és Febvre 2018 , sv h, p. 353, oszlop 1 .
Aslangul 2018 , p. 110, n. 49 .
Jean-Claude Boudenot ( pref. Claude Cohen-Tannoudji ), Hogyan változtatta meg Einstein a világot , Les Ulis, EDP Sciences , kivéve coll. ,2005. január, 1 st ed. , 187 o. 24 cm ( ISBN 978-2-86883-763-9 , EAN 9782868837639 , OCLC 61762452 , értesítést BNF n o FRBNF39916636 , SUDOC 08469596X , online prezentáció , olvasható online ) , p. 138.
(de) M. Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum . Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft 2 (1900) Nr. 17, S. 237–245, Berlin (vorgetragen am. 1900. december 14.)
François Vanucci, az elemi részecskék igazi regénye , Dunod,2011( online olvasás ) , 4. fejezet, 27. oldal.
Bracket Culture 15 - Quantum Revolution , Stephen Klein (2014. március 27) IFG. A jelenet 13: 40-kor következik be.
Alberto Pérez Izquierdo ( spanyolból Nathalie Renevier fordításában ), A végtelenül kicsi forradalma: Planck és kvantumfizika [„ MAX PLANCK - La teoría quantica: La revolución de lo muy pequeño ”], Párizs, RBA France,2013, 167 o. ( ISBN 978-2-8237-0153-1 ) , p. 9.
Taillet, Villain and Febvre 2018 , sv ħ, p. 353, oszlop 1 .
Kragh 1990 , p. 23.
Kragh 1990 , p. 319, n. 22 .
Kragh 1990 , p. 305.

Lásd is

Bibliográfia

: a cikk forrásaként használt dokumentum.

[Aslangul 2018] Claude Aslangul , Kvantummechanika , t. 1: Alapítványok és első alkalmazások , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , koll. "LMD / fizika",2018. szeptember, 3 e . ( 1 st ed. 2007. szeptember), XXVII -715 p. 24 cm ( ISBN 978-2-8073-1555-6 , EAN 9782807315556 , OCLC 1055765279 , értesítést BNF n o FRBNF45568601 , SUDOC 230.253.261 , online bemutatót , olvassa el az online ).
[Kragh 1990] (en) Helge Kragh , Dirac: tudományos életrajz [„Dirac: tudományos életrajz”], Cambridge, CUP , hors coll. ,1990. június( újranyomás. 2005. július), 1 st ed. , X -389 p. 24 cm ( EAN 9780521380898 , OCLC 708.371.117 , értesítést BNF n o FRBNF35502544 , Bibcode 1990dsb..book ..... K , SUDOC 008.844.925 , online bemutatót , olvassa el az online ).
[Taillet, Villain és Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain és Pascal Febvre , Fizikai szótár , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , koll. ,2018. január, 4 th ed. ( 1 st ed. 2008. május), X -956 p. 24 cm ( ISBN 978-2-8073-0744-5 , EAN 9782807307445 , OCLC 1022951339 , értesítést BNF n o FRBNF45646901 , SUDOC 224.228.161 , online bemutatót , olvassa el az online ).