Operátor (fizikai)
Az üzemben van, a kvantummechanika , a lineáris leképezés egy Hilbert-tér önmagában. A kifejezés az operátor matematikai fogalmának szakterülete . Egy megfigyelhető egy hermitikus üzemben .
Operátorok a klasszikus mechanikában
A klasszikus mechanikában a részecskék (vagy részecskerendszer) mozgását teljesen meghatározza a Lagrang-féle vagy ezzel egyenértékűen a Hamilton-féle függvény, a q általánosított koordináták , az általános sebesség és a konjugált momentum függvénye :
L(q,q˙,t){\ displaystyle L (q, {\ dot {q}}, t)} H(q,o,t){\ displaystyle H (q, p, t)} q˙=dq/dt{\ displaystyle {\ dot {q}} = \ mathrm {d} q / \ mathrm {d} t}
o=∂L∂q˙{\ displaystyle p = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {\ pont {q}}}}}Ha L vagy H független az általánosított q koordinátáktól , így L és H nem változnak q függvényében, akkor ezeknek a koordinátáknak a konjugált nyomatéka megmarad (ez része Noether tételének és a mozgás változatlanságának a vonatkozásában a koordináta q egy szimmetria ). A klasszikus mechanika operátorai kapcsolódnak ezekhez a szimmetriákhoz.
Technikailag, ha H invariáns a G transzformációk egy bizonyos csoportja alatt :
S∈G,H(S(q,o))=H(q,o){\ displaystyle S \ G-ben, H (S (q, p)) = H (q, p)}.
a G elemei fizikai operátorok, amelyek összekapcsolják a fizikai állapotokat közöttük.
A klasszikus mechanika operátorainak táblázata
átalakítás
|
Operátor
|
Pozíció
|
Pillanat
|
---|
Fordítási szimmetria
|
x(nál nél){\ displaystyle X (\ mathbf {a})}
|
r→r+nál nél{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {a}}
|
o→o{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p}}
|
Időbeli transzlációs szimmetria
|
U(t0){\ displaystyle U (t_ {0})}
|
r(t)→r(t+t0){\ displaystyle \ mathbf {r} (t) \ rightarrow \ mathbf {r} (t + t_ {0})}
|
o(t)→o(t+t0){\ displaystyle \ mathbf {p} (t) \ rightarrow \ mathbf {p} (t + t_ {0})}
|
Rotációs invariancia
|
R(nem^,θ){\ displaystyle R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta)}
|
r→R(nem^,θ)r{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {r}}
|
o→R(nem^,θ)o{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {p}}
|
Galilei átalakulásai
|
G(v){\ displaystyle G (\ mathbf {v})}
|
r→r+vt{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}
|
o→o+mv{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}
|
Paritás
|
P{\ displaystyle P}
|
r→-r{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow - \ mathbf {r}}
|
o→-o{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p}}
|
Szimmetria T
|
T{\ displaystyle T}
|
r→r(-t){\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} (-t)}
|
o→-o(-t){\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}
|
ahol a rotációs mátrix egy tengely körül által meghatározott egység vektort és az a szög θ .
R(nem^,θ){\ displaystyle R ({\ hat {\ boldsymbol {n}}}, \ theta)} nem^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {n}}}}
Generátorok
Ha az átalakítás végtelenül kicsi, akkor a művelet operátorának formájúnak kell lennie
én+ϵNÁL NÉL{\ displaystyle I + \ epsilon A}hol van az identitás operátor, az a paraméter, amelynek kis értéke van, és függ a kéz transzformációjától, és csoportgenerátornak hívják . Vezetjük le példaként az egydimenziós transzlációs tér generátorát.
én{\ displaystyle I}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}NÁL NÉL{\ displaystyle A}
Mint említettük, . Ha végtelenül kicsi, akkor írnunk kell
Tnál nélf(x)=f(x-nál nél){\ displaystyle T_ {a} f (x) = f (xa)}nál nél=ϵ{\ displaystyle a = \ epsilon}
Tϵf(x)=f(x-ϵ)≈f(x)-ϵf′(x).{\ displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = f (x- \ epsilon) \ kb f (x) - \ epsilon f '(x).}Ezt az egyenletet úgy lehet átírni, hogy
Tϵf(x)=(én-ϵD)f(x){\ displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = (I- \ epsilon D) f (x)}hol van a fordítási csoportok generátora, amely ebben az esetben a levezetési operátor .
D{\ displaystyle D}
Az exponenciális térkép
Az egész csoport normál körülmények között a generátorból az exponenciális térkép segítségével újjáépíthető . A fordítás esetében az ötlet a következőképpen működik.
A véges értékének fordítását a végtelen kis fordítás ismételt alkalmazásával lehet elérni:
nál nél{\ displaystyle a}
Tnál nélf(x)=limNEM→∞Tnál nél/NEM⋯Tnál nél/NEMf(x){\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty} T_ {a / N} \ cdots T_ {a / N} f (x)}A képviselő az alkalmazás alkalommal. Ha nagy, akkor mindegyik tényező végtelenül kisebbnek tekinthető:
⋯{\ displaystyle \ cdots}NEM{\ displaystyle N}NEM{\ displaystyle N}
Tnál nélf(x)=limNEM→∞(én-(nál nél/NEM)D)NEMf(x).{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty} (I- (a / N) D) ^ {N} f (x).}De a határérték exponenciálisan átírható:
Tnál nélf(x)=exp(-nál nélD)f(x).{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ exp (-aD) f (x).}Annak érdekében, hogy meggyőződjünk e formális kifejezés érvényességéről, az exponenciálist hatványsorokká lehet fejleszteni:
Tnál nélf(x)=(én-nál nélD+nál nél2D22!-nál nél3D33!+⋯)f(x).{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ left (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} \ over 2!} - {a ^ {3} D ^ {3} \ over 3 !} + \ cdots \ right) f (x).}A jobb részt az alábbiak szerint lehet átírni:
f(x)-nál nélf′(x)+nál nél22!f″(x)-nál nél33!f‴(x)+⋯{\ displaystyle f (x) -af '(x) + {a ^ {2} \ over 2!} f' '(x) - {a ^ {3} \ over 3!} f' '(x) + \ cdots}wKinek a Taylor-kiterjesztése , amely az eredeti értéke .
f(x-nál nél){\ displaystyle f (xa)}Tnál nélf(x){\ displaystyle T_ {a} f (x)}
Az operátorok matematikai tulajdonságai önmagukban is fontos tárgyak. További információ: C * -algebra és a Gelfand - Naimark tétel .
Kvantummechanikai operátorok
A kvantummechanika posztulátumai az operátor koncepciójára épülnek.
A kvantummechanikában egy állapotot egységvektor (a teljes valószínűség egyenlő eggyel) reprezentál egy bonyolult Hilbert- térben . Az időbeli evolúciót ebben a vektortérben az időbeli evolúció operátorának alkalmazása adja .
Minden megfigyelhetőséget , azaz egy kísérlet segítségével mérhető mennyiséget össze kell kapcsolni egy önadjunkt lineáris operátorral . A kezelőnek valós sajátértékeket kell előállítania , mivel meg kell felelnie a kísérleti méréseknek. Ehhez az üzemeltetőnek hermetikusnak kell lennie . E sajátértékek megfigyelésének valószínűsége összekapcsolódik a fizikai állapotnak az e sajátértékeknek megfelelő alállapotra vetítésével.
Operátorlista
Megjegyzések és hivatkozások
-
Molekuláris kvantummechanika I. és II. Rész: Bevezetés a kvantumkémiába (1. kötet), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ( ISBN 0-19-855129-0 )
Kapcsolódó cikk
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">