Statisztikai készlet

A statisztikai fizikában a statisztikai halmaz absztrakció, amely abból áll, hogy egy fizikai rendszer virtuális másolatainak (vagy másolatainak ) gyűjteményét veszi figyelembe az elérhető állapotokban, amelyekben valószínűleg megtalálható, figyelembe véve a külső korlátokat terhelésnek vannak kitéve, mint például a térfogat, a részecskék száma, az energia és a hőmérséklet . Ez a koncepció, amelyet Josiah Willard Gibbs amerikai fizikus vezetett be 1902-ben, a statisztikai fizika központi fogalma.

Valójában egy fizikai rendszer mikroszkopikus állapota az idő múlásával általában ingadozik, még akkor is, ha egyensúlyban van. A nagyon egyszerű rendszerektől eltekintve lehetetlen pontosan megismerni ezeket az ingadozásokat, már csak azért is, mert a rendszer nagyon sok mikroszkópos szabadságfoka miatt van. A fizikai mennyiségek , például az energia, a nyomás és a sűrűség azonban elvileg az időbeli átlagok értékeléséből adódnak, amelyeket gyakorlatilag lehetetlen közvetlenül kiszámítani. Ezért egyetlen rendszer helyett előnyösebb a replikák gyűjteményét figyelembe venni, ugyanolyan külső korlátozásokkal, mint a rá előírt korlátozások, például térfogat, energia, részecskék száma és hőmérséklet. Mindezen másolatokon belül a rendszer nem feltétlenül található meg azonos mikrostátusokban , bár kompatibiliseknek kell lenniük a külső korlátokkal ( hozzáférhető állapotok ).

Egy adott pillanatban meg lehet számolni azokat a replikákat, amelyek az egészet alkotó részen belül egy adott mikrállapotban találhatók . Abban a határban, ahol nagyon magas lesz, a frekvencia arra a valószínűségre irányul, hogy megtalálja a rendszert abban a mikrostátumban a készleten belül. Az egyensúlynál ez a valószínűség független lesz az időtől. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ ell}}$ ${\ mathcal {N}}$ ${\ displaystyle (\ ell)}$ ${\ mathcal {N}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {N}} _ {\ ell}} {\ mathcal {N}}}}$ ${\ displaystyle P _ {\ ell}}$

Annak meghatározása, hogy a valószínűségi eloszlásának mikroállapotok a rendszernek ez a készlet, akkor lehetővé teszi, hogy kiszámítja egy adott fizikai mennyiség f egy teljes átlagos ${\ displaystyle P _ {\ ell}}$

{\ displaystyle \ langle f \ rangle = \ sum _ {(\ ell)} P _ {\ ell} f _ {\ ell}}

a rendszer összes hozzáférhető mikropozíciójára vonatkozó összegzés , amelynek értékét a figyelembe vett mennyiség veszi . Az ergodikus hipotézis biztosítja ezen általános átlagértékek és az egyetlen rendszer esetében figyelembe vett időbeli átlagok közötti megfelelést . A statisztikai fizika alapja az általános átlagok időbeli átlagokkal való helyettesítése. ${\ displaystyle (\ ell)}$ ${\ displaystyle f _ {\ ell}}$

A statisztikai halmazok speciális esetei

Egy statisztikai fizikában általában figyelembe vesznek egy adott rendszer három sajátos helyzetét, amelyek megfelelnek a következő három statisztikai halmaznak:

a mikrokanonikus összeállítás : egy termodinamikailag elszigetelt rendszer esetében van meghatározva, vagyis nem képes sem energiát, sem részecskéket kicserélni a külsővel . Egy ilyen rendszert, a hangerő V , a teljes energia E és a részecskék száma N vannak külső paraméterek, értékek meghatározása során a bizonytalanságok Av , AE és AN közel. Egyensúly esetén a rendszer Ω hozzáférhető állapotai egyformán valószínűek : ez maximalizálja a rendszer S entrópiáját . A valószínűségi eloszlás tehát

{\ displaystyle P _ {\ ell} = {\ frac {1} {\ Omega}} = cte}

a rendszer entrópiáját pedig az adja , hogy Boltzmann-állandó (JK- 1-ben );

{\ displaystyle S = k_ {B} \ ln {\ Omega}}

k_ {B}

a kanonikus egész : ebben az esetben a vizsgált rendszert feltételezzük, hogy érintkezésben van egy sokkal nagyobb rendszerrel, úgynevezett tárolóval , amellyel szabadon energiát cserélhet, de részecskék vagy térfogat nélkül (tisztán termikus érintkezés), ezek a cserék nem tekinthetők módosítónak érezhetően a tartály állapota. A gyakorlatban a tározó a T hőmérsékletét a rendszerre helyezi, és külső kényszerré válik ugyanúgy, mint az V térfogat és az N részecskék száma , az E energia szabadon ingadozhat. A valószínűségeloszlás alakot öltött

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {c} = {\ frac {e ^ {- \ beta E _ {\ ell}}} {Z}}}

{\ displaystyle E _ {\ ell}}

- a mikrotérség energiája , és

{\ displaystyle (\ ell)}

{\ displaystyle Z = \ sum _ {(\ ell)} {e ^ {- \ beta E _ {\ ell}}}}

a rendszerpartíció funkció , a ;

{\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {1} {k_ {B} T}}}

a nagykanonikus szerelvény : ebben a helyzetben a rendszer nemcsak energiát, hanem részecskéket is képes kicserélni a tartállyal, az V térfogat fix. A gyakorlatban a tározó nemcsak a T hőmérsékletét , hanem a rendszer kémiai potenciálját is meghatározza. A valószínűségeloszlás alakot öltött $\ mu$

{\ displaystyle P _ {\ ell} ^ {gc} = {\ frac {e ^ {- \ beta \ bal (E _ {\ ell} - \ mu N _ {\ ell} \ jobbra)}} {\ Xi }}}

{\ displaystyle N _ {\ ell}}

- a rendszer részecskéinek száma a mikrotérben és

{\ displaystyle (\ ell)}

{\ displaystyle \ Xi = \ sum _ {(\ ell)} {e ^ {- \ beta \ bal (E _ {\ ell} - \ mu N _ {\ ell} \ jobb)}}}

a nagy rendszerpartíció funkció .

Ritkábban lehet figyelembe venni a „ Tp ” nevű szerelvényt , amelyben a rendszer érintkezik egy energiatartállyal, de térfogattal is , amely a hőmérséklete mellett p nyomását is rá gyakorolja .

Megjegyzések és hivatkozások

(en) Josiah Willard Gibbs , Elementary elveket statisztikus mechanika ,1902[ a kiadás részlete ] ( online olvasható ).
átvett hosszú időközönként, mint a jellemző időtartamát ingadozások a rendszeren belül.
Mérni azonban lehet: a mérőeszközök nem túl érzékenyek a mikroszkopikus ingadozásokra, és valójában ezt az időátlagot teljesítik.
Ezt az egyensúly definíciójának is tekinthetjük: vö. Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer és Bernard Roulet, a statisztikai fizika elemei ,1996[ a kiadás részlete ], fej. V különösen.
Akár kiterjeszthető minden lehetséges állapotra, tekintve, hogy a külső kényszerekkel összeegyeztethetetlenek nulla valószínűséggel rendelkeznek.
Ismét a bizonytalanságok kivételével.
hőmérséklet valójában az energia együttes nagyságaként jelenik meg .
Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer és Bernard Roulet, a statisztikai fizika elemei ,1996[ a kiadás részlete ], a III-D komplementer.