A valószínűségszámítás , a matematikai elvárás egy igazi véletlen változó az, ösztönösen, az érték, hogy az egyik vár, hogy megtalálja, átlagban, ha egy ismétlése ugyanazt a véletlen kísérlet számos alkalommal. Megjegyzik és olvassák az "X reményét" .
Ez annak a súlyozott átlagnak felel meg, amelyet ez a változó vehet fel. Ha ez utóbbi véges számú értéket vesz fel, akkor ez az átlag az egyes értékek megjelenési valószínűségeivel súlyozva. Ha a véletlen változónak valószínűségi sűrűsége van, akkor az elvárás az e sűrűséggel súlyozott értékek átlaga. Elméletileg egy véletlen változó várakozása ennek a változónak az integrálja a kezdő valószínűségi tér valószínűségi mérőszáma szerint .
A várakozás fentebb leírt intuitív bemutatása a nagy számok törvényének következménye : az elvárás, ha létezik, akkor az eredmények átlagának szinte bizonyos határa több kísérlet során, amikor számuk növekszik.
Nem mindig van elvárás egy véletlen változóra. Különösen a hosszú farok- eloszlások, mint a Cauchy-eloszlás , nem konvergens integrálokat hoznak létre, ezért meghatározatlan elvárásokat támasztanak.
A várakozás a valószínűségi törvény egyik fontos jellemzője : helyzetjelző. Tehát egy véletlen változó központúnak mondható, ha várakozása nulla. Ez a varianciával együtt a diszperzió mutatóját alkotja, a mutatók halmazát, amelyeket véletlen változó bemutatásakor szinte szisztematikusan adnak meg.
Az elvárás fontos szerepet játszik a számos területen, mint például a játékelmélet kockázatok minimalizálása, a jel-elmélet vagy következtetési statisztikák ahol a becslő azt mondják, hogy elfogulatlan , ha elvárás egyenlő a paraméter értékét megbecsülni .
A fogalom a remény népszerűsítette Christian Huygens az ő Értekezés a valószínűsége 1656 néven „érték a szerencse” .
A remény fogalma a játékelméletben a XVII . Században formálódik . Kérdés, hogy tudjuk-e, mennyit remélhetünk a szerencsejátékban. Így Blaise Pascal , az ő problémája fél arra törekszik, hogy tudja, hogyan kell elosztani a fogadás, ha a játék közben megszakad a játék. Így képzeletbeli fej- vagy farokjátékot és egy 64 pisztolyból álló közös kasszát képzel el, az első játékos, aki látja, hogy a választott arc háromszor megjelenik, megnyeri a fogadást. Ha a játék akkor fejeződik be, amikor mindkét játékosnak ugyanaz az esélye a győzelemre, akkor tisztességes a 64 pisztolyt megosztani minden játékos között egyenlően, de ha a játék akkor ér véget, amikor az egyik játékos kihasználta az elosztást, másképp kell tenni. Pascal tehát azt képzeli, hogy a játék megszakad, amikor az érme dobása PPF volt. Ezután megvizsgálja, mi lett volna a következő lépés:
Pascal számára a P-re tippelő játékosnak 32 pisztolyt kell biztosan megszereznie, de 50/50 esélye van további 32 pisztoly megnyerésére. Ezért 48 pisztolyt kell előteremtenie.
Pascal nem beszél a nyereség valószínűségéről vagy elvárásairól, de intuitív gondolata továbbra is az, hogy a nyereséget társítsa a megszerzés esélyével. Az a 48 pisztoly, amelyet Pascal javasol adni a P-re tippelő játékosnak, valójában megfelel a győzelemre vonatkozó elvárásainak: ha a játék a negyedik lépéssel ér véget, akkor ennek a játékosnak egy az egyben esélye van 64 pisztoly megnyerésére (ha az érme leesik) a P-n) és egy az egyben esély, hogy csak 32 pisztolyt nyerjen (ha az érme F-re esik, és a játék véget ér). Várható nyeresége akkor (az egyes erősítéseket megszorozzuk a megszerzésük valószínűségével, majd hozzáadjuk ezeket a szorzatokat).
Christian Huygens a maga részéről a Du calcul dans les jeux de véletlen 1657-től kezdve érdekli a fogadandó összeget, hogy a játék tisztességes legyen. Azt állapítja meg, ha egy játékban, az egyik nyerési esélyeit összeg van q nyerési esélyeit összege b , meg kell tét: hogy a játék igazságos legyen. Így formalizálja a remény fogalmát, amelyet szerencsém értékének nevez, és a játékelméleten kívül más területekre is kiterjeszti. Testvérével együtt különösen a várható élettartam érdekli.
A remény szorosan kapcsolódik az átlag eszméjéhez. Valójában a véletlen fogalma megakadályozza egy véletlenszerű kísérlet eredményének előrejelzését, de a nagy számok törvénye lehetővé teszi az eredmény jobb szabályozását, ha nagyszámú, azonos típusú véletlenszerű kísérletet hajtanak végre. Így egyetlen szerszámgörgetés során minden oldalnak általában egy a hatodik esélye van a megjelenésre, és nehéz megjósolni a három szerszámtekercs átlagos eredményét. De ha a dobást ezerszer vagy tízezerszer megismételjük, az eredmények szinte egyenletesen oszlanak el a különböző 1 és 6 közötti számok között. A számos dobás során kapott számok átlaga ekkor megközelíti ami megfelel a kocka dobásának e tapasztalatának elvárására. Az elvárást tehát a mért változóra kapott átlagérték előrejelzésére használják, ha a kísérletet nagyon sokszor megismétlik. Ezért a játékelméletben hasznos a szervező számára, aki így meg tudja jósolni az egyes játékosok által elnyert átlagos összeget, de a biztosítás területén is meghatározza a balesetekből eredő költségek fedezéséhez szükséges átlagos biztosítási költséget.
A nagy számok elvárása és törvénye lehetővé teszi a valószínűség törvényének érvénytelenítését is. Állítólag Henri Poincaré más nyomokkal együtt arra használta volna, hogy rávilágítson pékének becstelenségére. Valójában a cipó súlya véletlenszerű ingadozásoknak van kitéve, de elvárását a törvény rögzíti. Az 1 kg- nál meghirdetett kenyér súlya például ezen érték körül ingadozhat. Poincaré sokáig mérlegelte volna a pékétől vásárolt kenyeret, és azt találta volna, hogy annak átlagos tömege jóval kevesebb, mint 1 kg . Ez az átlag túl messze állt a várakozásoktól, és a kereskedő részéről jogellenes cselekedetet jelzett.
Ha az X változó az x 1 , x 2 , ..., x n értékeket veszi a p 1 , p 2 , ..., p n valószínűséggel , akkor X várakozása a következőképpen definiálódik:
Mivel a valószínűségek összege egyenlő 1-vel, az elvárás a p i-vel súlyozott x i átlagának tekinthető.
Példa : A francia rulett játék abból áll, hogy egy kis labdát dobunk egy 37 négyzetet tartalmazó rulettre. A játékos egy bizonyos összeget M fogad az egyik négyzetre. Ha a labda megáll a négyzetén, a tétjének 36-szorosát térítik meg (nyeresége ekkor 35 M = 36 M - M ), ellenkező esetben elveszíti tétjét (nyeresége ekkor - M = 0 - M ). Várható nyeresége ekkor: Ez az eredmény azt jelenti, hogy a játékos átlagosan elveszíti minden játékban elért részesedésének 2,7% -át, és fordítva, hogy a kaszinó átlagosan az egyes játékosok tétjének 2,7% -át nyeri. A kaszinóban a játékosok száma elég nagy ahhoz, hogy ez az elvárás megfeleljen a kaszinó játékosonkénti átlagos kifizetésének.
A játékelméletben a nulla elvárás megfelel a tisztességes játéknak.
Ha az X változó az x 1 , x 2 , ... értékek megszámlálhatatlan végtelen értékét veszi fel a p 1 , p 2 , ... valószínűséggel , akkor X várható értéke feltéve, hogy ez az összeg teljesen konvergens . Így az a sorozat, amely az 1, -2, 3, -4, ... értékeket veszi a valószínűséggelvs.1 2, vs.2 2, vs.3 2, vs.4 2, ... ahol c = 6 ⁄ π 2 úgy van megválasztva, hogy a valószínűségek összege 1-et adjon, akkor a végtelen összegre adna: Ez az összeg konvergál ln (2) ≃ 0,69315 értékre . Helytelen lenne azonban azt a következtetést levonni, hogy X várakozása egyenlő lenne ezzel a számmal - Valójában az X várakozása nem létezik, mert a sorozat nem teljesen konvergens (lásd harmonikus sorozat ).
Ha a valódi véletlen változó X egy valószínűségi sűrűség f , a várakozás határozza meg: feltéve, hogy az integrál abszolút konvergens.
A meghatározás lehetővé teszi az összes korábbi definíció megtalálását. Ez a meghatározás a mértékelméleten és a Lebesgue-integrálon alapszik . Legyen X egy véletlen változó a valószínűségi tertől a -ig . Ha X integrálható a mérés szerint, akkor az X várakozását a következő határozza meg: A transzfertétel szerint ekkor egyenlő Ezért a tömegközéppontja a támogatása X ellátva a kapcsolódó valószínűségi mérték.
X , hogy egy véletlen változó nem feltétlenül valós, ezért értékkel egy általános mérhető teret , egy mérhető függvény φ az a definiál egy új valós valószínűségi változó jegyezni φ ( x ) , amelynek várakozás, ha az létezik, van írva helyettesítjük x szerint φ ( x ) az előző képletekben ( transzfertétel ).
Várakozását a következők határozzák meg:
A transzfertétel szerint ekkor egyenlő
Ez különösen akkor áll fenn, amikor S véges. Az x 1 , ..., x n és p 1 , ..., p n megfelelő értékek figyelembevételével az elvárás:
Különösen érdekes figyelembe venni a komplexen értékelt véletlen változót φ ( X ) = e i θX (ahol θ valós), amelynek matematikai várakozása az f X inverz Fourier-transzformációja (abban az esetben, ha ):
Ez egy véletlen változó jellemző funkciója . Az exponenciál Taylor-sorozatban fejlődik :
Ha a valószínűségek mindig dimenziók nélküliak, az elvárások ugyanazokkal a fizikai (méter, kilogramm, másodperc, erősítő), monetáris (euró) vagy absztrakt (pontok, zsetonok, célok) egységekkel fejezhetők ki, mint a véletlenszerű változók ( átlagként súlyozva ).
Ha X pozitív vagy nulla véletlen változó, akkor . Általánosabban: ha pozitív, folyamatosan differenciálható, növekszik , és ha igen , akkor . Fontos különös eset az X pillanatai : mert , , az első egyenlőség az előző egyenlőség példája . Egész értékű véletlenszerű változó esetén ezeket a képleteket kis közbenső számítás után átírják: .
Demonstrációahol az utolsó előtti egyenlőség következik Fubini tételéből . A szerves kifejezést függően , lásd 3. th egyenlőség, ez lényegtelen használni vagy . Ez a képlet az alkatrészenkénti integráció egyik avatára , amint az abban az esetben is megmutatkozik, amikor az X eloszlásfüggvénye folyamatosan differenciálható.
Definíció -
ami azt jelenti, hogy y függvénye (valójában egy véletlen változó). Az ismételt várakozási ellenőrzések
Demonstráció
Általánosságban az elvárás operátora nem tartja tiszteletben egy véletlen változó függvényeit, vagyis általában:
E tekintetben híres egyenlőtlenség Jensen egyenlőtlensége a konvex (vagy konkáv) funkciókkal kapcsolatban.
Gyakran használják a becslő remény az empirikus várható , hogy egy becslést:
Az elvárást gyakran a véletlen változó középpontjának tekintik , vagyis annak az értéknek, amely körül a többi érték eloszlik.
Különösen, ha X-nek és 2a-X-nek ugyanaz a valószínűségi törvénye, azaz ha a valószínűségi törvény szimmetrikus az a-hoz képest, és ha X elvárást fogad el, akkor E (X) = a.
De ez a nézőpont már nem érvényes, ha a törvény aszimmetrikus. Ennek meggyőződéséhez elegendő egy geometriai törvény , egy különösen aszimmetrikus törvény esetét tanulmányozni . Ha X az 1-es szám megszerzéséhez szükséges dobások számát jelenti kockakockával, akkor bebizonyítjuk, hogy E (X) = 6, ami azt jelenti, hogy átlagosan 6 dobásra van szükség az 1-es szám megszerzéséhez. Azonban annak valószínűsége, hogy 5 vagy kevesebb közel 0,6, és annak valószínűsége, hogy 7 vagy több dobásra lesz szükség, 0,33. Az X értékei ezért nem oszlanak el egyenlően a várakozás egyik oldalán sem.
Bizonyos esetekben a matematikai várakozási jelzések nem esnek egybe a racionális választással. Képzelje el például, hogy a következő javaslatot kapja: ha két kockával sikerül kettős hatot készítenie, akkor egymillió eurót nyer, különben 10 000 eurót veszít. Valószínű, hogy megtagadja a játékot. Ennek a játéknak az elvárása azonban nagyon kedvező az Ön számára: a dupla 6 megszerzésének valószínűsége 1/36; így megkapjuk:
minden játékban átlagosan 18 000 eurót nyer.
A probléma éppen ez az "átlagosan" : ha a nyereség rendkívül nagy, akkor viszonylag ritkán fordul elő, és ésszerű garanciánk van arra, hogy ne tönkremegy, ezért elegendő pénzre van szükség a versenyben való részvételhez. részekből. Ha a tét túl nagy ahhoz, hogy nagyszámú játékot megengedhessen, a matematikai elvárás kritériuma ezért nem megfelelő.
Ezek a megfontolások és a tönkremenetel veszélye vezetett „ szentpétervári paradoxonjától ” kezdve Daniel Bernoulli matematikus 1738-ban bevezetni a kockázattól való idegenkedés gondolatát, amely a kockázati prémium matematikai elvárásainak való megfeleléshez vezet az ügyekben való alkalmazásához. választott.
Ahelyett, hogy a prémium fogalmát átélnénk, közvetlenül létrehozhatunk egy segédfunkciót , egy értéket társíthatunk bármely párhoz {nyereség, valószínűség}. A matematikai elvárás tehát a legegyszerűbb hasznossági funkciókból áll, megfelelő abban az esetben, ha egy kockázat-semleges játékos legalább nagyon nagy erőforrásokkal rendelkezik, ha nincsenek végtelenek.
Émile Borel elfogadta ezt a hasznosság-fogalmat, hogy elmagyarázza, hogy egy kevés erőforrással rendelkező játékos racionálisan úgy dönt , hogy minden héten sorsjegyet vesz: a megfelelő veszteség valójában számára csak mennyiségi, míg a nyereség - ha megszerzi ya - kvalitatív lesz, az egész élet megváltozik. A millió megnyerésének esélye tehát ebben a konkrét esetben sokkal többet érhet, mint egy euró.