Euler jellemző

A matematika , és pontosabban geometria és algebrai topológia , a jellemző Euler - vagy Euler-Poincaré - egy numerikus invariáns , egy szám, amely leírja egy aspektusa egy alakú topologikus tér , vagy a szerkezete ezt a helyet. Általában megjegyzik $χ$ .

Az Euler-karakterisztikát eredetileg a poliéderekre határozták meg, és arra használták, hogy bemutassák a rájuk vonatkozó különböző tételeket, beleértve Platon szilárd anyagok osztályozását is . Leonhard Euler , akitől a koncepció megkapta a nevét, sok mindenért felelős volt ebben az úttörő munkában. A modernebb matematikában az Euler-jellemző megjelenik a homológiában és a kohomológiai módszerekben . Általában a figyelembe vett kohomológiai csoportok dimenzióinak váltakozó összege adja:

\ chi = \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ i \ mathrm {dim} (H ^ i).

Polyhedra

Az Euler-karakter a Descartes-Euler-tételből kapta nevét a domború poliéderek tanulmányozására vonatkozóan . Descartes ekkor Euler észrevette, hogy a poliéderek esetében az S - A + F mennyiség , ahol S megfelel a csúcsok számának, A az élek számának és F az arcok számának, állandóan egyenlő marad 2-vel. mert a poliédereket ezért az

{\ displaystyle \ chi = S-A + F}

Ez egyenlő 2-vel minden gömb topológiájú poliéder esetében, domború vagy nem domború. Eltérhet a 2-től a nem polihedra esetében, ha a gömb egy gömbhöz, mint a toroid alakú poliéder (en) egy lyukhoz.

Algebrai topológia

Formális meghatározás

A fentiekben tárgyalt poliéderek modern szóhasználattal véges kétdimenziós CW-komplexek (ha az összes oldal háromszög alakú, akkor véges kétdimenziós egyszerűsített komplexeknek nevezzük őket ). Általában bármely véges CW-komplex esetében az Euler-karakterisztika meghatározható váltakozó összegként a $d$ dimenzióban :

\ chi = k_ {0} -k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} + \ cdots + (- 1) ^ {d} k_ {d},

ahol $k n$ a komplexben lévő $n$ dimenziós cellák számát jelöli ; ez az összeg egyenlő $1 - (-1) d$ a konvex poliéderek dimenzió $d$ , eredmény bizonyítja Henri Poincaré 1893-ban.

Általánosabban Mégis, bármilyen topologikus tér , definiáljuk a $n-$ edik Betti számát $b n$ , mint a rank (en) az $N-$ edik csoport szinguláris homológia . Az Euler-karakterisztika ezután meghatározható váltakozó összegként

\ chi = b_ {0} -b_ {1} + b_ {2} -b_ {3} + \ cdots

Ez a mennyiség jól meghatározott, ha a Betti-számok mind végesek, és ha egy bizonyos indexen túl nullaak; ekkor a Poincaré polinom –1-ben szereplő értéke . Ez a meghatározás magában foglalja az előzőeket.

Tulajdonságok

A kontraktilis tér Euler-karakterisztikája 1 - 0 + 0 - 0 +… = 1. Ez az eset a normalizált vektortér bármely csillagozott részét tartalmazza .
Az Euler-karakterisztika könnyen kiszámítható az általános felületekre egy felületen lévő hálóval (azaz egy leírás CW-komplex formájában). Egy objektum esetében ez az objektum geodéziájával való összekapcsolásához szükséges szingularitások számát jelenti .
Az Euler jellemzője a termék (ill. A diszjunkt egyesítését ) két szóköz van a termék (ill. Az összeg) saját jellemzőit. A termék képlete (a triviális csomag ) kiterjed azokra a kötegekre, amelyek alapja és rostja véges CW-komplexek.Például a tórusnak nulla karakterisztikája van: lehet hálót kötni anélkül, hogy bármilyen szingularitást vezetnénk be, vagy ismét önmagában az S 1 kör terméke (nulla karakterisztikával).
Az összekapcsolt összeg jellemzőit a következő adja meg: χ ( A # B ) = χ ( A ) + χ ( B ) - 2 páros dimenzióban (különösen két felület esetén) és χ ( A ) + χ ( B ) páratlanul dimenzió.Például az „ $n-$ hole torus ” ( $n$ tori összeadott összege ) jellemzője $2-2 n$ .

Példák

Vezetéknév	Kép	Euler jellemző
S 1 kör vagy általánosabban: kompakt fajta páratlan méretű szegély nélkül		0
Gömb S 2 vagy általánosabban: egyenletes dimenziójú hiperszféra		2
Tórusz (két kör S 1 szorzata )		0
Dupla tórusz (2 tori összekapcsolt összege)		−2
Valódi projektív sík vagy általánosabban: egyenletes dimenziójú valós projektív tér		1
Möbius-szalag (szál a szál S 1-jén [–1, 1])		χ (S 1 ) × χ ([- 1, 1]) = 0 × 1 = 0
Klein-üveg (két valós vetítősík összekapcsolt összege)		1 + 1 - 2 = 0

Csoportelmélet

A pro- p- csoportok kohomológiája (en) esetében az Euler-jellegzetesség lehetővé teszi például a kohomológiai dimenzió jellemzését: legyen G pro- p- csoport, ekkor G- nak kisebb, mint n akkor és csak akkor, ha az n sorrendre csonkított Euler-karakterisztika multiplikatív a G nyílt alcsoportjain , azaz csak akkor, ha:

\ forall U <_o G, \ sum_ {i = 0} ^ n (-1) ^ i \ mathrm {dim} _ {\ mathbf {F} _p} H ^ i (U, \ mathbf {F} _p) = (G: U) \ sum_ {i = 0} ^ n (-1) ^ i \ mathrm {dim} _ {\ mathbf {F} _p} H ^ i (G, \ mathbf {F} _p).

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben a Wikipedia angol nyelvű cikkéből származik , „ Euler karakterisztika ” címmel ( lásd a szerzők felsorolását ) .

H. Poincaré, „A általánosítása Euler-tétel vonatkozó poliéder”, CR Hebd. Acad Sessions. Sci. , t. 117, 1893, p. 144-145 .
(in) William S. Massey , Algebrai topológia alaptanfolyama , al. " GTM " ( n o 127) ( online olvasás ) , p. 30.

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Osztályozása felületek (a)
Hadwiger tétele

Külső hivatkozás

Lie Fu, " A FIMFA algebrai topológiájának tanfolyamának 7. oktatóprogramja, ENS Paris: Homológia (indikációkkal) " ,2011. december