A matematika , és pontosabban algebrai topológia , Betti számok vannak topológiai invariáns , vagyis segítenek megkülönböztetni a különböző topológiai terek . Olyan szekvenciát alkotnak , amelynek minden tagja természetes szám vagy + ∞ . Az "ésszerű" terek esetében, mivel a fajták kompaktak és egyszerűbb komplexek vagy CW-komplexek elkészültek, mindegyikük kész, és bizonyos rangból származik (a tér dimenzióján túl).
Henri Poincaré Enrico Betti tiszteletére nevezte el őket .
Informálisan a k- edik Betti-szám megfelel a „ független k -dimenziós felületek számának ” . A prím Betti számokat intuitív módon határozzák meg:
Tegyünk fel egy ostyát, amelybe n szétválasztott lyukat fúrtunk , kellően szabályos módon, hogy úgy tudjuk, hogy amit elértünk, az a p = 2 dimenzió változata . Ez az elosztó csatlakozik, tehát b 0 = 1 . A független zárt görbék száma 2 n . Végül b 2 = b 0 = 1 , amint az közvetlenül látható, vagy Poincaré kettősségi tétele szerint, amely szerint b n = b p-n . Ez a tétel azt jelenti, hogy a Betti száma b 1 mindig is dimenzióban p = 2 , és b 1/2 = g a nemzetség a sokrétű. A szóban forgó példában g a furatok n száma . A perec (mindaddig, amíg ez idealizált) illusztrálja ezt a pontot.
Perec - Betti számok: b 0 = 1 , b 1 = 6 , b 2 = 1 - fajta: g = 3 .
Minden egész k , a k -ik Betti számát b k ( X ) egy topologikus tér X jelentése a rangot (a) a k -én csoport a homológia , H k ( X ) = Ker (∂ k ) / Im (∂ k + 1 ), azaz a ℚ - H k ( X ) ⊗ vector vektortér dimenziója (egész vagy végtelen) .
Amikor a Abel-csoport H k ( X ) jelentése a véges típusú , annak hányadosa által torziós alcsoport Tor ( H k ( X )) egy szabad Abel-csoport véges típusú, más szóval egy ℤ- szabad modulusa a véges Rank . A b k ( X ) Betti szám ekkor megegyezik ezzel a ranggal.
Mi lehet meghatározni még általánosabban, bármely területen K , a K- th Betti száma X a együtthatók K a dimenzió b k ( X , K ) a K- vektortér H K ( X , K ). Az univerzális együttható tétel egyszerű esete valóban azt mutatja, hogy b k ( X , ℚ) = b k ( X ).
Úgynevezett Poincaré polinom a X (vagy általánosabban sorozat Poincaré, ha X jelentése a dimenzió végtelen) a generáló függvény Betti számú X (, ha kész):
A homológia csoportok a kör a H 0 (S 1 ) = ℤ, H 1 (S 1 ) = ℤ és H k (S 1 ) = 0 k > 1, tehát a Poincaré polinom P S 1 ( x ) = 1 + x .
A 2. dimenzió T2 tórusához H 0 (T 2 ) = ℤ, H 1 (T 2 ) = ℤ 2 , H 2 (T 2 ) = ℤ és H k (T 2 ) = 0 k > 2 ezért P T 2 ( x ) = 1 + 2 x + x 2 .
Általánosabban ( Künneth tétele szerint ) az n dimenzió Tora = T n = (S 1 ) n tórusának Poincaré-polinomja (1 + x ) n , más szóval k- edik Betti-száma a binomiális együttható
A Poincaré polinomja S gömb n dimenziós n jelentése 1 + X n .
Az n dimenzió bonyolult projektív terének értéke 1 + x 2 + x 4 +… x 2 n .
A végtelen dimenziójú bonyolult projektív tér Poincaré- sorozata a geometriai sorozat
A valós projektív terek homológiája magában foglalja a torziót, amelyet Poincaré-polinomjaikban "eltakarnak": P P n (ℝ) ( x ) = 1 + x n, ha n páratlan, és 1, ha n páros.
A kompakt egyszerű Lie- csoportok Poincaré-polinomjai
A topológiai gráf elmélet , az első Betti számát egy grafikont n csúcsú, m élek és k csatlakoztatott komponensek m - n + k (tudjuk bizonyítani indukcióval a m : az új él növeli a száma 1-ciklusok, vagy csökkentheti a csatlakoztatott alkatrészek száma). A szoftverfejlesztés alkalmazásával kapcsolatban lásd a " Cyclomatic number " részt .
Számok Betti a g nemzetség területhez kapcsolódó orientálható "zárt" (azaz tömör és él nélküli ) 1, 2 g és 1.
A Euler jellemzője egy véges CW-komplexet a váltakozó összege a Betti számok.
A Poincaré polinomja egy termék két terek a termék a saját Poincaré polinomok szerint az Künneth-tétel .
Ha X egy zárt orientálható n -variety szerint a Poincaré kettősség tétel , b k ( X ) = b n - k ( X ) és a Betti számok ad a méretei a vektor terek a De Rham cohomology .
A K mezőben az együtthatóval rendelkező Betti-számok csak a jellegzetességétől függenek K-tól . Ha az űrhomológiai csoportok nincsenek csavarva (mint a fenti példák elején), akkor a Betti-számok függetlenek K-tól . A p- torzítás és a p karakterisztikus Betti-számok közötti kapcsolatot az univerzális együttható tétel adja meg.
(en) Eric W. Weisstein , „ Betti szám ” , a MathWorld- on