CW-komplex

Az algebrai topológiában a CW-komplex a topológiai tér egy olyan típusa , amelyet JHC Whitehead határoz meg a homotópia-elmélet szükségleteinek kielégítésére . Az elképzelés az volt, hogy olyan objektumok osztályán dolgozzunk, amelyek nagyobbak, mint az egyszerűsített komplexek, és jobb tulajdonságokkal rendelkeznek a kategóriák elmélete szempontjából , de ezekhez hasonló kombinatorikus tulajdonságokat mutatnak be , amelyek számításokhoz alkalmazhatók .

A CW név a topológiai tér minősítőjéből származik, angolul : c losure-finite w eak topology , a „véges lezárással” és a „gyenge topológiával”.

Definíciók

Nagyjából, a CW-komplexet kapunk egy sor 0-sejtek, vagy a „csúcsokat”, által egymás után ragasztással zárt „sejtek” ( folyamatos képek a zárt euklideszi golyó ) a méretek 1, 2, ..., mentén a saját élek .

Pontosabban, a szerkezete CW-komplex egy teret X jelentése az adatai egy növekvő sorozat ( X n ) a altereinek ( X n az úgynevezett N- csontváz az X ) úgy, hogy:

a 0-csontváz nem üres diszkrét tér ;
minden n > 0, az n -skeleton van homeomorf a teret nyert csatolva egy család az N- zárt golyókat, hogy a ( n - 1) -skeleton, éleik mentén (melyek ( n - 1) - gömbök ), újraragasztási alkalmazás megválasztásával;
A csontvázat alkotnak alapvető átfedés a X , azaz átfedés X , és egy része van zárva a X , ha, és csak akkor, ha az összes N , az keresztezi az n -skeleton X n van zárva X n (innen a név „ gyenge topológia ”).

Megmutatjuk, hogy akkor:

minden " nyitott cella " (vagyis az egyik ragasztóval lezárt gömb belső részének minden képe ) kanonikusan homeomorf a megfelelő nyitott golyóval szemben;
a nyitott cellák és csúcsok alkotják az X partícióját ;
X el van választva ;
bármely kompakt a X (különösen bármely zárt cellás) metszi csak véges számú nyílt cellákat (innen a név „véges lezárás”).

Az N- csontváz X n jelentése az unió N- zárt sejtek-nél kisebb méretű vagy egyenlő n . Ha X- et X n-re redukáljuk , akkor azt mondjuk, hogy n dimenziójú (akkor azt mondják, hogy végtelen dimenziójú, ha nem redukálódik egyik csontvázára sem). Az X állítólag kész, ha csak véges számú cellája van.

Az X sejtek zárt egyesülését X szubkomplexumnak nevezzük (ez megint egy CW-komplex). Az X n- csontváza tehát az n- nél kisebb vagy azzal egyenlő dimenzió maximális szubkomplexuma .

A sejtkomplex definíciója általánosabb, mivel lehetővé teszi a sejtek újracsatolását a dimenziókhoz képest bármilyen sorrendben, de bármely sejtkomplexum homotóp módon egyenértékű egy CW-komplextel.

Példák és ellenpéldák

A szabványos CW-komplex szerkezete (a dimenzió 1) a számegyenesen van a 0-csontváz a beállított ℤ a relatív egész számok , és az 1-sejtek a időközönként [ N , N + 1] az egész n . Hasonlóképpen, a standard szerkezet fölött ℝ n , a dimenzió n , a rács , amely köbös előállított sejtek a 0- és 1-sejtek ℝ.
Bármely egyszerűsített komplex , különösen bármely poliéder vagy bármely grafikon , természetesen CW-komplex szerkezettel rendelkezik. (A köbgrafikonok bizonyos értelemben "általános" 1-dimenziós CW-komplexek.) De vannak nem háromszög alakú CW-komplexek.
Az n- szféra legegyszerűbb CW-struktúrája Az S n két cellát tartalmaz: egy 0-cellát és egy n -cellát , ami elegendő a CW-komplex leírására. Sokat építhetünk, az ( n - 1) - S n - 1 csontvázaként (az egyik CW-struktúrával ellátva, igény szerint), amelyek egyenlítõként szolgálnak, amelyre két félgömböt ragasztunk: két n- sejtet, mentén feltérképezése azonosságát az S n - 1 .
A valós projektív teret P n (ℝ) egy CW-szerkezet egy sejt minden dimenzióban kevesebb vagy egyenlő, mint N : a mellékletet alkalmazására annak N -sejt annak ( n - 1) -skeleton P n - 1 (ℝ ) a kanonikus vetítés, a S n - 1 annak 2-hányadosa P n - 1 (ℝ).
A grassmanniak CW komplex szerkezettel rendelkeznek, amelynek sejtjeit Schubert szimbólumok indexelik .
Minden differenciál elosztónak és minden komplex algebrai elosztónak megvan a CW komplex homotópiája .
A különböző Banach a dimenzió végtelen soha nem egy CW komplex (mert ez egy Baire teret , így nem lehet leírni, mint egy megszámlálható unió n -squelettes, amelyek mindegyike egy zárt belsejében vákuumot), de ha ez metrizálható , azt a CW-komplex homotópiájának típusa.
A tér { r e 2πiθ | 0 ≤ r ≤ 1, θ ∈ ℚ} ⊂ ℝ 2 egy pont homotópiás típusa van, de nincs CW-komplex szerkezete, mert nem lokálisan kontraktilis .
A hawaii fülbevaló nem is rendelkezik a CW-komplex homotópiájával, mert nem félig lokálisan összehúzódó, sőt félig lokálisan sem rokon .

Tulajdonságok

Bármely CW-komplex lokálisan összehúzható.
Bármilyen kompakt egy CW-komplex X tartalmazza egy véges subcomplex és X jelentése kompakt keletkezik . Csak akkor kompakt, ha elkészült.
Bármely CW-komplex parakompakt, ezért normális . Még teljesen normális is .
A CW-komplexum lokálisan kompakt akkor és csak akkor, ha „helyi véges”, vagyis ha lefedettség zártcella lokálisan véges , vagy ha bármilyen zárt cella csak találkozik egy véges számú. Zárt cellák , vagy ha bármely ponton véges szubkomplexumon belül van.
A CW-komplexum akkor és csak akkor kapcsolódik, ha az 1-csontváza. Ebben az esetben csak akkor mérhető, ha helyben elkészült.
A terméket X × Y két CW-komplexek CW komplex épül a Descartes-szorzat az X és Y , és amelyben minden egyes cella a termék egy sejt X sejt által Y . Topológiája a kompakt módon létrehozott terek kategóriájának terméke . Általában finomabb, mint a termék topológiája , de a leggyakoribb esetekben egybeesik az utóbbival: elegendő, ha X vagy Y véges vagy X és Y megszámlálható, sőt elegendő, ha ezeket a tulajdonságokat helyben ellenőrizzük .
Bármely hányados, amelyet a CW-komplextől "cellás" ekvivalencia-reláció választ el, CW-komplex (például: az al-komplexek találkozásának bármilyen azonosítása egy pontban, például a kúpban vagy a szuszpenzióban , vagy akár az összetört termék két CW-komplexből, ha a termékük egy). Általánosságban elmondható, hogy bármely X ∪ f Y és CW komplex egymáshoz történő ragasztása egy cellás alkalmazás mentén CW komplex.
A CW-komplex bármilyen bevonata továbbra is CW-komplex.
Nem elég, hogy az X és az Y jelentése CW-komplexek a teret C ( X , Y ) a folyamatos leképezéseket X és Y (ellátva kompakt-nyitott topológia ), hogy az egyik. De ha X és Y a CW-komplexek homotópiás típusával rendelkezik, és ha X kompakt, akkor C ( X , Y ) a CW-komplex homotópiás típusa .

Homológia és kohomológia

A szinguláris cohomology és homológia a CW-komplexek könnyen számítható keresztül sejt homológiát , ami egy homological elmélet a kategóriába CW-komplexek és a celluláris alkalmazásokban. A CW komplex rendkívüli (ko) homológiájának kiszámításához az Atiyah - Hirzebruch spektrális szekvencia analóg a sejthomológiával .

Példák a fent említett CW-komplexek közül :

A gömb S n ( n > 0), ha úgy döntünk, a bontás csak egy 0-sejt és egy N cellás, a komplex sejt láncok C ✻ , és homológ az alábbi: $H_ {k} (S ^ {n}) = C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} k \ in {0, n \}, \\ 0 & {\ text {különben,}} \ vég {esetek}}$ mivel az összes különbség nulla.
Természetesen ugyanazt a homológiát találjuk meg, ha például az egyenlítői bontást rekurzív módon alkalmazzuk , tehát két cellával minden dimenzióban 0-tól n-ig , ami húrok komplexeként adódik $C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {2} & {\ text {si}} 0 \ leq k \ leq n, \\ 0 & {\ text {különben}} \ end { esetek}} \ quad {\ text {és}} \ quad \ részleges _ {k} = {\ begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {pmatrix}},$ pontos a C 0 és C n kivételével .
A P n (ℝ) valós projektív térre ugyanaz a módszer a következőket adja: $C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} 0 \ leq k \ leq n \\ 0 & {\ text {egyébként}} \ end {esetek}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ részleges _ {k} = 1 + (- 1) ^ {k}: C_ {k} \ - C _ {{k-1}} \ quad$ ebből kifolyólag $H_ {k} (P_ {n} (\ mathbb {R})) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {si}} k = 0 {\ text {ou si}} k = n {\ text {páratlan,}} \\\ mathbb {Z} _ {2} és {\ text {si}} k {\ text {páratlan}} \ be] 0, n [, \\ 0 és {\ szöveg {különben.}} \ vég {esetek}}$

Egyes, egyszerűnek (en) nevezett homotópia-ekvivalenciák lehetővé teszik az egyik CW-komplex X helyettesítését egy másikkal, kevesebb sejtet tartalmazva.

Az X 1 csontváza grafikon. Legyen F maximális erdő (a fák diszjunkt egyesülése ) ebben a grafikonban. Ha x ∼ y-t megjegyezzük, amikor x és y ennek az erdőnek ugyanabban a fájában van, akkor az X → X / ∼ térkép homotópia ekvivalencia, mivel a fák összehúzódnak. Az X / ~ hányados egy CW komplex, amelynek sejtjei az X sejtjei, amelyek nem szerepelnek az F-ben . Különösen a 1-csontvázát X / ~ egy diszjunkt uniója klaszterek körökben. Például, ha X csatlakozik, az X / ∼ 0 csontváza egy pontra csökken.

A kapcsolati skálán felfelé haladva tegyük fel, hogy X egy egyszerűen összekapcsolt CW-komplex, amelynek 0-csontváza pontra redukálódik. Ezután találhatunk egy homotópiailag ekvivalens CW-komplexet, amelynek 1 csontváza szintén szingulett. Ehhez az X 1-et és a 2-cellák csatolását csoportos bemutatásnak tekintjük, és sejtek hozzáadásával és törlésével utánozzuk a Tietze-transzformációkat (a generátorok és relációk összeadása és visszavonása, a prezentáció módosítása a csoport megváltoztatása nélkül).

Transzformálhatunk n -connected CW-komplex X egy homotopically ekvivalens CW-komplex, amelynek N- váz Singleton, az általunk használt n > 1 azonos gondolatok, cseréje a Tietze transzformációk egy bemutatása az alapvető csoport elemi műveletek az X sejtkomplexumot bemutató mátrixok .

A hegyes CW-komplexek (vagy ezek variánsainak) homotópiai kategóriája (en) megfelelő keretrendszer a homotópia elméletéhez:

a CW-komplex, egyszerűsítő komplexum vagy abszolút szomszédsági visszahúzódású homotópiás típusú terek megegyeznek;
a CW-komplexek bármilyen beépítése együttfibráció ;
sejt közelítés (in) : a CW-komplexek közötti folyamatos feltérképezés homotóp a sejt megvalósításával;
Whitehead-tétel : a folyamatos térkép közötti csatlakozik CW-komplexek, hogy legyen egy homotopy ekvivalencia , ez (szükséges és szükséges) , hogy a morfizmusok hogy indukálja a homotopy csoportok vannak izomorfizmusokat ;
A Brown reprezentálhatósági tétel (in) egyszerű jellemzést ad az ebben a kategóriában képviselt funktorokról .

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ CW komplex ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(in) JHC Whitehead , " Kombinatorikus homotópia. Én ” , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol. 55,1949, P. 213-245 ( online olvasás ).
(in) JHC Whitehead , " Kombinatorikus homotópia. II. ” , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol. 55,1949, P. 453-496 ( online olvasás ).
Michel Zisman, Elemi algebrai topológia , Armand Colin ,1972, P. 113.
(en) Allen Hatcher , algebrai topológia , CUP ,2001( ISBN 978-0-521-79540-1 , online olvasás ) , p. 5..
Zisman 1972 , p. 114. és 119.
Hatcher 2001 , p. 519-521.
(in) J. Peter May és Kathleen Ponto tömörebb algebrai topológia: Lokalizáció, lezárása, és a modell kategória , UCP ,2011, 544 p. ( ISBN 978-0-226-51179-5 , online előadás ) , p. 52 és 358.
(in) AT Lundell és S. Weingram , A topológiája CW komplexek , Van Nostrand,1969( ISBN 978-0-442-04910-2 , online olvasás ) , p. 81. ad egy példát, amely a 3. dimenzió véges CW-komplexusa.
(a) Allen Hatcher, Vector Csomagok és K-elmélet ,2009( online olvasható ) , p. 31-34.
(in) Richard S. Palais , " Végtelen dimenziós sokaságok homotópiaelmélete " , Topológia , vol. 5,1966, P. 1-16 ( online olvasható ).
(in) Bruce Hughes és Andrew Ranicki , Ends komplexek , CUP,1996, 353 p. ( ISBN 978-0-521-57625-3 , online előadás ) , p. 81..
Zisman 1972 , p. 120.
Hatcher 2009 , p. 35.
Lundell és Weingram 1969 , p. 9. és 51-53.
(en) Hans-Joachim Baues és Antonio Quintero, Végtelen homotopy elmélet , Springer ,2001, 296 p. ( ISBN 978-0-7923-6982-0 , online előadás ) , p. 140.
(a) Yoshio Tanaka, " termékek CW-komplexek " , Proc. Keserű. Math. Soc. , vol. 86,1982, P. 503-507 ( online olvasás ).
Lundell és Weingram 1969 , p. 32, 35, 59-60 és 62.
Hatcher 2001 , p. 529.
(in) John Milnor , " Mi a terekben, ahol a homotopy egyfajta CW-komplex " , Trans. Keserű. Math. Soc. , vol. 90,1959, P. 272–280 ( online olvasás ).
JHC Whitehead, „ Egyszerű homotópia típusok ”, Amer. J. Math. , vol. 72, n o 1,1950. január, P. 1–57 ( online olvasás ).
(en) Rudolf Fritsch (de) és Piccinini Renzo, sejtszerkezetekben topológia , CUP,1990, 326 p. ( ISBN 978-0-521-32784-8 , online előadás ) , p. 226.
Lundell és Weingram 1969 , p. 68.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Anse (matematika)
Sebészet (topológia)
Space Moore (en)
Reidemeister torzió (in)
Torziós Whitehead (in)
Postnikov-torony

Bibliográfia

(en) Max K. Agoston , Számítógépes grafika és geometriai modellezés , vol. 2, Springer,2005, 959 p. ( ISBN 978-1-85233-817-6 , online előadás ) , fejezet. 7 ("algebrai topológia")
(en) G. Burde és H. Zieschang , „A komplexum koncepciójának fejlesztése” , IM James , History of Topology ,1999( online olvasható ) , p. 103-110