Összehúzódó tér

A matematikában azt mondják, hogy a topológiai tér kontraktilis, ha homotópiailag egyenértékű egy ponttal. Valamennyi homotópiai csoportja tehát triviális , csakúgy, mint a > 0 fokos homológiai csoportjai .

Példák és ellenpéldák

Bármely normalizált vektortér (vagy akár: bármely topológiai vektortér a ℝ-n ) kontraktilis, kezdve a valós vonallal és a komplex síkkal .

Általánosságban elmondható, hogy egy ilyen tér bármely csillagozott része (különösen: bármilyen nem üres domború , például valós intervallum vagy korong ) egyértelműen összehúzható.

A kúp minden topologikus tér van összehúzó.

A n -sphere S n jelentése nem kontraktilis bár az n ≥ 2, akkor egyszerűen csatlakoztatva .

Valójában az n> 0 méretű kompakt elosztó soha nem kontraktilis. Lásd a mellékletét, ahol ezt az eredményt "a differenciál topológia alapvető tételének" nevezik.

A készülék gömb egy végtelen dimenziós Hilbert térben H jelentése kontraktilis (és még diffeomorphic a H ). Általánosságban elmondható, hogy a végtelen dimenziók bármely normált vektorterében az egységgömb kontraktilis.

Az a CW-komplex, amelyben az összes homotópiacsoport triviális, kontraktilis. Ezért ugyanaz a sokrétű M osztály C ∞ . Sőt, ebben az esetben a személyazonosság térkép az M jelentése homotóp egy állandó térkép egy homotopy nemcsak folyamatos, hanem osztály C ∞ . Valóban, amint két sima térkép a sima elosztók között folyamatosan homotóp, azok C ∞ -homotópok.

A "lengyel kör", amelyet úgy kapunk, hogy a topológus zárt szinuszgörbéjéhez hozzáadunk egy (0, –1) - (1, sin 1) ívet összekötő ívet, nem kontraktilis, bár minden homotópiai csoportja triviális.

Vannak olyan terek, amelyek ugyan összehúzódnak, vagyis visszahúzódnak egy alak deformációjával (egy pontra redukált altér), de egy pont deformációjával nem húzódnak vissza erősen .

Egyenértékű meghatározások

Legyen X nem üres topológiai tér. A következő állítások egyenértékűek:

• X összehúzódó;
• X azonossági térképe „homotópikusan nulla”, azaz homotóp egy állandó térképhez;
• X egy pont deformációjával visszahúzódik;
• az X kúpja visszahúzódik az X deformációjával  ;
• bármely folytonos függvény, amelynek értéke X-ben van, állandó térképpel homotóp;
• bármely két folyamatos függvény, amelynek értéke X-ben van (ugyanazon a téren definiálva), mindig homotóp.

Megjegyzések és hivatkozások

1. H. Cartan , Cours de C3, Algebra és geometria: Alapcsoport, bevonatok , Orsay, 1968-1969 ( olvasható online ) , p.  8. : Példák összehúzódó terekre.
2. Jacques Lafontaine, Bevezetés a differenciálfajtákba , EDP Sciences2010
3. (in) Andrzej GRANÅS és James Dugundji , Fixpontok Theory , Springer ,2003, 690  p. ( ISBN  978-0-387-00173-9 , online olvasás ) , p.  82.
4. (in) J. Dugundji, "  meghosszabbítása Tietze-tétel  " , Pacific J. Math. , vol.  1,1951, P.  353-367 ( online olvasás ), Következmény 6.4.
5. (in) Gerd Rudolph és Matthias Schmidt, differenciál geometria és matematikai fizika: I. rész elosztóvezetékek, Lie-csoportok és a Hamilton Systems , Springer ,2012( online olvasható ) , p.  188.
6. (in) Allen Hatcher , algebrai topológia ( olvasható online ), a 6. c) gyakorlat, kommentálva az en-ben: „  Miért nem húzódik vissza a„ cikk-cakk ”fésű deformáció egy pontra, annak ellenére, hogy az összehúzható?  » , A Math StackExchange-ről .
7. Ezeket az egyenértékűségeket kissé eltérő formában jelöli a Cartan 1968-1969 , p.  7.

Kapcsolódó cikk

Poincaré lemma