Kúp (topológia)

A topológia , és különösen a algebrai topológia , a kúp $C X$ egy topologikus tér $X$ jelentése a hányados tér :

{\ mathrm {C}} X = (X \ x I-szer) / (X \ -szer \ {0 \}) \,

A termék a $X-szerese$ az egységnyi intervallumot $I = [0, 1]$ .

Intuitívan alkotunk egy bázis henger $X$ és csökkenti az egyik végét a hengert egy pontot .

Példák

A valódi egyenes $p$ pontjára épített kúp a ${ p } \times [0,1]$ szakasz .
A két, {0,1} pontra felépített kúp egy "V", amelynek végei 0-nál és 1-nél vannak.
A valós vonal I. intervallumára épített kúp egy szilárd háromszög , más néven 2-szimplex (lásd az utolsó példát).
A kúp épül sokszög P egy piramis alapja P .
A kúp épült egy lemez van a szilárd kúp a klasszikus geometria (innen a név e fogalom).
A kúp épült egy kört a területen a korábbi kúp: ${\ displaystyle \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ x x {2} + y ^ {2} = z ^ {2} {\ mbox {és}} 0 \ leq z \ leq 1 \}.}$ Ez utóbbi homeomorf a zárt lemezhez képest.
Általánosabban véve az n- szférára épített kúp homeomorf a ( n +1) - zárt gömbbel szemben .
Az n - szimplexre épített kúp egy ( n +1) - implex.

Tulajdonságok

A nem üres tér kúpja kontraktilis (különösen ívekkel összekötve és egyszerűen összekapcsolva ), mivel csúcsán a h t ( x , s ) = ( x , (1– t ) s ) homotópia deformációjával zsugorodik .

A kúp használják algebrai topológia éppen azért, mert átalakítja a helyet egy altér egy tér kontraktilis: $X = X \times {1} \subset C X$ .

Amikor $X$ jelentése kompakt , a kúp $C X$ láthatóvá tehető, mint az unió a szegmensek összekötő bármely pontján $X$ , hogy egy ponton. Azonban, ez a kép már nem működik, ha $X$ jelentése nem kvázi-kompakt vagy sem elválasztjuk , mert általában a hányadost topológia a $C X$ finomabb, mint a topológia az unió a szegmensek összekötő $X$ , hogy egy pontot.

Ha $X$ egy CW-komplexet , majd a $C- X$ is. Ha két szóköz azonos típusú homotópiával rendelkezik , akkor a kúpjuk is.

Kapcsolat az alkalmazás kúpjával

Ha $f : X \to Y$ jelentése egy folytonos függvény , definiáljuk a kúp $C f$ a térkép $F$ hányadosaként diszjunkt Unió $C X ⊔ Y$ az azonosító minden egyes eleme $X$ az $X \subset C X$ annak image $f ( x )$ az $Y-ben$ . A felvétel a $Y$ a $C f$ ezután egy cofibration .

A kúp a kérelem azonosságát az $X$ jelentése $C X$ . Hogy a zúzás a $C X$ egy elemet a szuszpenziót $S X$ az $X$ .

Csökkentett kúp

Ha $( X , x 0 )$ egy szaggatott tér , a csökkentett kúp van

{\ mathrm C} _ {*} (X, x_ {0}) = X \ -szer [0,1] / \ balra ((X-szer \ balra {0 \ jobbra \}) \ csésze (\ bal \ {x_ {0} \ jobb \} \ szorzat [0,1]) \ jobb],

a hányados topológiával látták el, és a pár ebben a hányadosban szereplő képe mutat rá $( x 0 , 0)$ . A hegyes tér természetes beillesztése a kúpjába tiszteletben tartja ezt a mutatót.

Ahogy a pont nélküli tér kúpja az azonosság-térképének kúpja, úgy a hegyes tér kicsinyített kúpja az azonossági térképének kicsinyített kúpja .

Functor kúp

Az $X \mapsto C X$ térkép egy $C$ funkciót indít $: Felső \to Felső$ a topológiai terek kategóriájában . A folytonos térképet $C f$ a $C X$ és $C Y$ társított folytonos térkép $f : X \to Y$ határozza meg: $C f ([( x , t )]) = [( f ( x ), t )]$ . A hegyes terek kategóriájában van egy $C fun funkciónk$ is.

Megjegyzések és hivatkozások

(en) / (de) Ez a cikk részben vagy egészben az angol " Cone (topológia) " ( lásd a szerzők listáját ) és a német " Kegel (Topology) " ( lásd a szerzők felsorolását ) címet viselő cikkekből származik .

Ne tévesszük össze a tér $a C ( X )$ folyamatos térképeket $X$ az ℝ vagy ℂ.
(in) Allen Hatcher , algebrai topológia , New York, UPC ,2001, 544 p. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , online olvasás ) , p. 9.
(de) Klaus Janich (de) , Topológia , Berlin, Springer,2008, 8 th ed., 51f
(de) Lothar Tschampel , Topológia 2: Bezüge Zur algebra , Berlin, Buch-X-Verlag,2011
Ne tévesszük össze a kúp $C f$ a térkép $f$ , a korábban ismertetett, amely egy térben.
(in) Roman Goebel , " folytonossága a kúp funktorhoz " , topológia és alkalmazásai , Vol. 132,2003, P. 235–250 ( online olvasás [ps] )

Kapcsolódó cikkek