Csillagos buli

A geometria , egy része egy olyan valós affin teret E akkor mondjuk, hogy játszotta képest egy pont egy a A , ha bármely pontja x a A , a szegmens [ a , x ] tartalmazza A , hogy - mondjuk hogy egy , bármely pontján lehet csatlakoztatni egy egy egyenes vonalú pályán.

Definíciók

Formálisabban mivel a szegmens [ a , x ] a készlet barycenters pozitív együtthatók pontok egy , és X : egy nem üres része Egy az E csillaggal van megjelölve képest egy pont egy a E , ha

{\ displaystyle \ forall x \ A \ quad \ {(1-t) a + tx \ t közepén \ bal \ [0,1 \ jobb] \} \ A részhalmaz}

(Ez a feltétel biztosítja, hogy az a szükségszerűen A-ban van . )

Azt mondják, hogy az E egy része csillaggal van ellátva (további részletek nélkül), ha legalább egy pont vonatkozásában csillaggal szerepel.

Affin tulajdonságok

Egy nem üres rész játszotta képest egy , ha, és csak akkor, ha ez stabil az intézkedés alapján a homothety a központ egy és arányt t számára . ${\ displaystyle t \ in \ balra [0,1 \ jobbra]}$
Egy része E jelentése konvex akkor és csak akkor, ha szerepelt tekintetében minden pontjában.
A sík , a komplement egy félegyenes van csillag, de nem konvex; egy pont kiegészítése nincs csillagozva.
Egy része egy valós vektor tér van játszotta tekintetében , ha, és csak akkor, ha létezik egy pozitív homogén funkciót (abban az értelemben, :, a konvenció ) olyan, hogy . Az ilyen függvények feltétlenül egyenlő a Minkowski funkcionális A : . $NÁL NÉL$ $E$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle p: E \ balra [0, + \ infty \ jobb]}$ ${\ displaystyle \ forall t \ in \ left [0, + \ infty \ right [\ quad \ forall x \ in E \ quad p (tx) = tp (x)}$ ${\ displaystyle 0 \ szor \ infty = 0}$ ${\ displaystyle \ {x \ in E \ közepén p (x) <1 \} \ subset A \ subset \ {x \ in E \ mid p (x) \ leq 1 \}}$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad p (x) = \ inf {\ {\ lambda> 0 \ x x közepe \ in \ lambda A \}}}$

Itt feltételezzük, hogy a valódi affin E tér topológiai, vagyis topológiai vektortérrel van társítva .

Bármely csillaggal megjelölt rész homotópia típusú ponttal rendelkezik.
Bármely csillagos részt ívek kötnek össze , ezért minden csillagos nyitott terület egy tartomány (vagyis egy nyíl, amelyet ívek kötnek össze).
A csillagkép tulajdonság nem változó a homeomorfizmus által , de a csillagképes nyílások a kontraktilis terek legegyszerűbb és legfontosabb példái közé tartoznak .
Poincaré lemma szerint a nyitott csillag bármely zárt differenciálalakja pontos .

Referencia

(in) Eric Schechter (in) , Elemzés és alapjai kézikönyve , Academic Press ,1997( online olvasható ) , p. 315-316 és 313.

Bibliográfia

(en) AM Rubinov és AA Yagubov, „ A csillag alakú halmazok tere és alkalmazásai a nem egyszerű optimalizálásban ” , a IIASA-n (en) ,1984