A Poincaré lemma alapvető eredmény a többváltozós elemzésben és a differenciálgeometriában . A differenciálformákra vonatkozik (hallgatólagosan a C 1 osztályra ) a differenciálcsatornán (implicit módon sima ).
Szerint a Schwarz-tétel , minden pontos differenciális formában van zárva . A lemma a Poincaré biztosítja kölcsönös részleges:
Tehát, hogy a differenciál sokrétű M , bármilyen zárt p -forma pontos, elegendő:
E feltételezések alapján Poincaré lemma következtetését De Rham kohomológiája szempontjából fogalmazzák meg újra .
Különösen bármely zárt differenciál forma helyileg pontos.
Az összes fent használt fogalmat részletezzük a belső linkeken keresztül , de idézzük fel és kommentáljuk a főbbeket.
Az M elosztón egy p -form ω -t mondunk :
A p -edik teret a cohomology a Rham az M jelentése a hányadosa H p ( M ) a tér zárt számok a altér pontos formák. Ezért akkor és csak akkor nulla, ha bármilyen zárt forma pontos.
A topologikus tér M mondják összehúzó ha homotopically egyenértékű egy olyan pontra, vagyis, ha az identitás térkép van homotóp egy folyamatos alkalmazása a M az M , vagy ha M egy visszahúzott deformáció egy pontot. Ez egy olyan állapot erősebb, mint a trivialitása minden homotopy csoportok az M , de ekvivalens, ha M egy differenciál sokrétű. Sőt, ebben az esetben a hivatkozott homotópiák, amelyek eleve csak folytonosak , valójában simán választhatók .
Bármilyen kontraktilis tér egyszerűen összekapcsolódik, de vannak egyszerűen összekapcsolt fajták, amelyek nem kontraktilisak, például a gömb . Sőt, a határ nélküli kompakt fajta soha nem kontraktilis.
Bármilyen nyitott U a ℝ n egy differenciál sokrétű. Ha U van csillagosított akkor összehúzó és még inkább egyszerűen csatlakoztatva. Lássuk, ebben a konkrét esetben, hogy bármely zárt 1-formában ω on U jelentése pontos, azaz ez a differenciál egy 0-formában (a funkció).
Tegyük fel, U van szerepelt köré egy , határozza meg a függvény f on U által görbe vonalú integrálok on szegmensek :
és azt mutatják, hogy d f = ω bármely pontján x a U , azaz (az x rögzített és az összes x + v egy labdát a központ x tartalmazza U ):
Szerint a Green-tétel alkalmazható a háromszög ( a , x , x + v ) , van (mivel ω zárva)
Most az ω folytonossága szerint az x pontban ,
Ezért:
(Ahhoz, hogy ezt a bizonyítást kiterjesszük bármilyen egyszerűen összekapcsolt sokaságra, elegendő a szegmenseket utakra cserélni, és Green tételét Stokes-ra .)