A euklideszi geometria , egy szabályos test egy szabályos és a konvex poliéder . Míg a síkgeometria szabályos és konvex sokszögeinek száma végtelen, csak öt platon szilárd anyag van.
Az öt szabályos konvex polihedra (platoni szilárd anyag) | ||||
---|---|---|---|---|
Tetraéder |
Hexahedron vagy Kocka |
Oktaéder | Dodekaéder | Icosahedron |
A szilárd anyag arcainak száma, 4, 6, 8, 12 vagy 20 a szilárd anyag nevének előtagjában található: tetra- négy, hexa- hat - egy kocka szabályos hexaéder -, okta- nyolc, dodeka- tizenkét, icosa- húsz. Ezen az oldalon gyakran utalni fog a "regular" jelzőre.
A görög matematika óta a platoni szilárd anyagokat esztétikájuk és szimmetriájuk miatt tanulmányozzák a geometrák számára . Platon görög filozófus tiszteletére kapott nevük felidézi egyik elméletét, amelyek közül négyet összekapcsol az ókori fizika négy elemével .
Egy tanulmány szerint Skócia újkőkori népei legalább 1000 évvel Platón előtt építették az "öt szilárd anyag" kőmodelljét (Atiyah és Sutcliffe 2003). Ezek a modellek tartanak az Ashmolean Museum in Oxford . De ez a következtetés elhamarkodott.
Az ókori Görögország matematikatörténetében a következő időrendet követhetjük nyomon. A pythagoreusiak empirikus ismeretekkel rendelkeztek három szilárd anyagról: a tetraéderről (a piramis), a hexaéderről (a kocka), a dodekaéderről (tizenkét arc). Szerint Proclos , Püthagorasz magát (versKr. E. 530 J.-C.) ismerte volna ezeket a szilárd anyagokat. De lehet, hogy tanítványa, Hippase, Metapont (aki megépítette volna az első dodekaédert), vagy valószínűbb, hogy a tarantói Archytas (Kr. E. 360 körül).
Nincs szó a Krisztus előtt 430 körül aktív Demokritosz (155. töredék) előtti piramisról. J. - C. Archytas lenne az első, aki megépítené a kockát, hogy megoldja a tér duplikációjának problémáját. Az első, Platón megemlíti a dodekaédert a Phaedóban (110 b), amely kb.Kr. E. 383 J.-C.Theetetus athéni matematikus (meghalt 395 - ben vagy 2003 - ban)Kr. E. 360 J.-C.) felfedezte a másik két szilárd anyagot: az oktaédert és az ikozaédert; mindenekelőtt ő építette őket, az elsőt, mind az ötöt.
Platóni testek döntő szerepet játszanak a filozófia a Platón , ahonnan ők nevezték. Platón, a Tímea párbeszédben (kb.Kr. E. 358 J.-C.), mind a négy elemet ( föld , levegő , víz és tűz ) szabályos szilárd anyaggal társítva .
Föld a Kepler Harmonice mundiban .
Víz a Kepler Harmonice mundiban .
Levegő a Kepler Harmonice mundiban .
Tűz a Kepler Harmonice mundiban .
Éter a Kepler Harmonice mundiban .
A Föld társult a kockával ( Tímea , 55 d), a levegővel az oktaéderrel, a vízzel az ikozaéderrel és a Tűzzel a tetraéderrel. Ezeknek az asszociációknak volt igazolása: a Tűz hője élesnek tűnik, és olyan, mint egy tőr (mint egy kicsit a tetraéder). A levegőt az oktaéder alkotja; apró alkatrészei olyan puhák, hogy alig érzed az illatukat. A víz, az ikozaéder kiszabadul a kézből, amikor megragadják, mintha apró kis gömbökből állna. A legstabilabb szilárd anyag, a hexaéder (kocka) képviseli a Földet. Ezek a kis szilárd anyagok porok keletkeznek, amikor összetörnek, és megrepednek, ha megragadják őket, nagy különbség van a víz egyenletes áramlásában. Az ötödik szilárd anyagra , a dodekaéderre Platon homályosan megjegyzi: „az isten az Univerzum számára használta, amikor megtervezte a végleges rendszert. »Platón a dodekaédert az egész egészéhez kapcsolta ( Phaedo , 110 b; Timaeus , 55 c), mert ez a szilárd anyag hasonlít leginkább a gömbhöz. Arisztotelész nevezte ezt az ötödik elem, aithêr ( éteren latin, „éter” franciául), és feltételezték, hogy a világegyetem készült ez az elem, és hogy jelentős a többieknek, hogy benne őket.
Speusippus , Platón utóda az Akadémián (Kr. E. 348-ban) újragondolta a pitagorasi hagyományt az öt testen (Pythagoras, Hippasius, Archytas).
Euclid adott egy teljes matematikai leírását platóni testek a Elements (kb.Kr. E. 300 J.-C.); az utolsó könyvet (XIII. könyv) tulajdonságaiknak szentelik. A XIII. Könyv 13–17. Javaslata a tetraéder, az oktaéder, a kocka, az ikozaéder és a dodekaéder felépítését írja le ebben a sorrendben. Minden szilárd anyag esetében az Euclid megtalálja az átmérő és a gömb arányát, amelyet az élek hossza szab körül. A 18. javaslatban azzal érvel, hogy nincs több szabályos domború poliéder. A szabályosság érdekében a sokszögnek minden csúcsában azonos számú szabályos sokszögnek kell lennie, és a szabályos sokszögek csúcsán lévő szögek összegének szigorúan kisebbnek kell lennie 360 ° -nál (lásd a bemutatást). A XIII. Könyv információinak nagy része valószínűleg Theaetétosz munkájából származik . A XVI . Században a német csillagász, Johannes Kepler megpróbált kapcsolatot keresni az akkor ismert öt bolygó (a Föld kivételével) és az öt platoni szilárd anyag között. Az 1596-ban megjelent Mysterium Cosmographicumban Kepler bemutatta a Naprendszer modelljét, amelyben az öt szilárd anyag egymásba volt rögzítve, és felírt és körülírt gömbök sora választotta el őket. A hat gömb egyenként megfelelt a bolygóknak ( Merkúr , Vénusz , Föld , Mars , Jupiter és Szaturnusz ). A szilárd anyagokat belülről kifelé rendezték, az első az oktaéder , majd az ikozaéder , a dodekaéder , a tetraéder és végül a kocka . Ily módon a naprendszer felépítését és a bolygók közötti távolságviszonyokat a platoni szilárd anyagok diktálták. A vége felé Kepler eredeti elképzelését elvetették, de ebből a kutatásból kiderült Kepler szilárd anyagai , annak megállapítása, hogy a bolygók pályája nem kör, és Kepler bolygómozgási törvényei, amelyekről ma már híres.
Mindegyik platon szilárd anyag reagál az Euler-képletre, amelyet 1752-ben mutatott be Leonhard Euler svájci matematikus , és amelynek F számát arcok, A éleit és S csúcsait kapta: F + S - A = 2
A konvex poliéder platóni szilárd anyag akkor és csak akkor
Mindegyik platóni szilárd anyagot tehát { p , q } szimbólummal jelölhetünk , ahol
p = az egyes oldalak oldalainak száma (vagy az egyes arcok csúcsainak száma) és q = az egyes csúcsokban találkozó arcok száma (vagy az egyes csúcsokban találkozó élek száma).A Schläfli szimbólumnak nevezett { p , q } szimbólum a sokszög kombinatorikus leírását adja . Az öt platoni szilárd anyag Schläfli szimbóluma az alábbi táblázatban található.
Poliéder | Csúcspontok | Élek | Arcok | Schläfli szimbólum | Konfigurációs csúcs (en) | |
---|---|---|---|---|---|---|
Tetraéder | 4 | 6. | 4 egyenlő oldalú háromszög | {3, 3} | 3.3.3 | |
Kocka | 8. | 12. | 6 négyzet | {4, 3} | 4.4.4 | |
Oktaéder | 6. | 12. | 8 egyenlő oldalú háromszög | {3, 4} | 3.3.3.3 | |
Dodekaéder | 20 | 30 | 12 szabályos ötszög | {5, 3} | 5.5.5 | |
Icosahedron | 12. | 30 | 20 egyenlő oldalú háromszög | {3, 5} | 3.3.3.3.3 |
Az összes többi kombinatorikus információ ezekről a szilárd anyagokról, például a csúcsok ( S ), élek ( A ) és felületek ( F ) teljes száma p és q alapján határozható meg . Mivel bármely él összeköt két csúcsot, és két szomszédos oldala van, rendelkeznünk kell a következőkkel:
Ezen értékek másik kapcsolatát Euler képlete adja :
Ez a nem triviális tény nagyon sokféle módon bizonyítható (az algebrai topológiában az következik, hogy a gömb Euler-karakterisztikája 2). Ez a három összefüggés együttesen meghatározza S , A és F értékeit :
Megjegyzés: átszivattyúzá p és q swap F és S elhagyó A változatlanul (a geometriai értelmezése ezt a tényt, lásd a kettős poliéderek alább).
Klasszikus eredmény, hogy csak öt szabályos konvex poliéder létezik. Az alábbiakban két általános érvet adunk meg. Mindkettő csak azt mutatja, hogy nem lehet több, mint öt platoni szilárd anyag. Az, hogy mind az öt létezik-e, különálló kérdés, amelyre kifejezett konstrukcióval lehet válaszolni.
A következő geometriai argumentum nagyon hasonlít az Euclid által az Elements által megadotthoz :
Tisztán topológiai bizonyítást csak a szilárd anyagokra vonatkozó kombinatorikus információk felhasználásával lehet megadni. A kulcs az Euler megfigyelés , hogy , és az a tény, hogy a . Ezen egyenletek kombinálásával megkapjuk az egyenletet
Ha osztjuk, akkor jön
Mivel szigorúan pozitív, meg kell tennünk
Azt a tényt használva, hogy p és q mindkettőnek legalább egyenlőnek kell lennie 3-mal, könnyen beláthatjuk, hogy a { p , q } számára csak öt lehetőség van :
Minden egyes platoni szilárd anyaghoz számos szög tartozik . A kétágú szög a két sík felülete közötti belső szög. A szilárd { p , q } dihedrális szögét, θ, a képlet adja meg
Ez néha kifejezett kényelmesebben szempontjából a tangens által
A h mennyiség a tetraéder, a kocka, az oktaéder, a dodekaéder és az ikozaéder esetében 4, 6, 6, 10 és 10 .
A sokszög tetején lévő szöghiba (in) az arc és 2π szögeinek összege közötti különbség . Az alapértelmezett érték, δ , a platóni csúcsok bármely csúcsán { p , q }
Ezzel Descartes-tétel , ez egyenlő a 4p osztva a csúcsok száma (azaz a teljes alapértelmezett összes csúcsok 4π ).
A sík szög háromdimenziós analógja folytonos szög . A szilárd szöget, Ω , a platoni szilárd anyag csúcsánál kétdimenziós szögben adjuk meg
Ez a származik a gömb alakú feleslegben képlet egy gömb alakú sokszög , és az a tény, hogy a csúcs alakja a poliéder { p , q } egy szabályos q -gone.
Az alábbiakban a platoni szilárd anyagokkal kapcsolatos különféle szögeket adjuk meg. A szilárd szögek numerikus értékeit szteradiánokban adjuk meg . Az állandó az aranyarány .
Poliéder |
Dihedrális szög |
szögeltolás (be) | Szögletes szög | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Tetraéder | 70,53 ° | |||||
Kocka | 90 ° | |||||
Oktaéder | 109,47 ° | |||||
Dodekaéder | 116,56 ° | |||||
Icosahedron | Olvadáspont: 138,19 ° |
A szabályosság másik erénye, hogy a platoni szilárd anyagoknak mind három koncentrikus szférája van:
A sugarak e golyók nevezzük körülírt sugarak , a közepes sugarak és a belső sugarak . Ezek a távolságok a poliéder középpontjától a csúcsokig, az élek középpontjáig és az arc középpontjáig. A körülírt sugara R , és a belső sugara r a szilárd { p , q } egy élhosszúságú egy adják
ahol θ a kétágú szög. A ρ átlagsugarat a
ahol h a fentiekben használt mennyiség a kétágú szög meghatározásához ( h = 4, 6, 6, 10 vagy 10). Vegye figyelembe, hogy a körülírt sugár és a belső sugár aránya p és q szimmetrikus :
A terület A szilárd Plato { p , q } könnyen kiszámítható, hogy az a terület, egy p rendszeres -gone alkalommal az arcok száma F . Vagyis :
A térfogatot úgy számolják, hogy F- szerese annak a piramisnak a térfogatának, amelynek alapja szabályos p- elment és magassága az r belső sugár . Vagyis :
A következő táblázat felsorolja a különböző szilárd ray Plato és azok terület A és térfogat V , és a két töltési arány: a kapcsolat a térfogatok V , és azok, V S = 4π R 3 /3, körülírt gömb és V s = 4π R 3 / 3., A beírt gömb. A teljes méretet úgy rögzítjük, hogy az élhosszt a , egyenlő 2-vel.
Poliéder ( a = 2) |
r | ρ | R | NÁL NÉL | V | V / V S | V s / V |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetraéder | |||||||
Kocka | |||||||
Oktaéder | |||||||
Dodekaéder | |||||||
Icosahedron |
A fenti φ és ξ állandókat a
A platoni szilárd anyagok közül a dodekaéder vagy az ikozaéder tekinthető a gömb legjobb közelítésének. Az ikozaédernek a legnagyobb az arcszáma, a legnagyobb a kétoldalas szöge, és burkolata a legközelebbi a beírt gömbhöz. A dodekaédernek viszont a legkisebb szöghibája van, a tetején a legnagyobb szilárd szög van, és leginkább kitölti körülírt gömbjét.
Mindegyik poliédernek van egy kettős sokszöge, amelyeknek az arcai és csúcsa fel vannak cserélve. Minden egyes platoni szilárd anyag kettős egy másik platoni szilárd anyag, vagyis az öt szilárd anyagot kettős párban rendezhetjük el.
Ha egy poliédernek van Schläfli szimbóluma { p , q }, akkor kettősének { q , p } szimbóluma van . Valójában a platoni szilárd anyag egyes kombinatorikus tulajdonságai a kettős másik kombinatorikus tulajdonságaként értelmezhetők.
A matematikában a szimmetria fogalmát egy matematikai csoport fogalmával tanulmányozzák . Minden egyes poliéderhez tartozik egy szimmetriacsoport , amely az összes transzformáció ( euklideszi izometriák ) halmaza, amelyek elhagyják a poliédert. A szimmetriacsoport sorrendje a poliéder szimmetriáinak száma. Gyakran különbséget tesznek a teljes szimmetriacsoport , amely magában foglalja a tükröződéseket , és a megfelelő szimmetriacsoport között , amely csak forgatásokat tartalmaz .
A platoni szilárd testek szimmetriai csoportjai sokszögű (en) csoportokként ismertek (amelyek a háromdimenziós pontcsoportok (en) speciális osztálya ). A platoni szilárd anyagok nagyfokú szimmetriája sokféleképpen értelmezhető. A legfontosabb, hogy az egyes csúcsok csúcsai egyenértékűek a szimmetriacsoport hatása alatt, csakúgy, mint az élek és az arcok. Azt mondjuk, hogy az intézkedés a szimmetria csoport tranzitív a csúcsok, élek és arcok. Valójában ez egy másik módja annak, hogy meghatározzuk a sokszög szabályosságát: a sokszög akkor és csak akkor szabályos, ha egységes csúcsa, egyenletes éle és egyenletes arca van.
A platoni szilárd anyagokkal csak három szimmetriacsoport van, nem pedig öt, mivel bármely poliéder szimmetriacsoportja egybeesik kettősével. Ez könnyen látható a kettős poliéder felépítésének vizsgálatával. Az eredeti bármely szimmetriájának a kettős szimmetriájának kell lennie, és fordítva. A három sokszögű csoport:
Az eigeng csoportok (forgások) sorrendje 12, 24, illetve 60 - pontosan kétszerese az adott poliéder éleinek számának. A teljes szimmetriacsoportok sorrendje ismét kétszerese az előző sorrendeknek (24., 48. és 120.). E tényekből levonást lásd (Coxeter 1973).
Az alábbi táblázat a platoni szilárd anyagok különböző szimmetriai tulajdonságait sorolja fel. A felsorolt szimmetriacsoportok az összes csoportot tartalmazzák, zárójelben megadva a forgatás alcsoportjait (a szimmetriák számához hasonlóan). A Wythoff kaleidoszkópos konstrukció egy módszer a poliéderek építésére közvetlenül a szimmetriacsoportokból. Felsoroljuk a Wythoff szimbólum hivatkozást minden egyes platoni szilárd anyagra.
Poliéder | Schläfli szimbólum | Wythoff szimbólum | Kettős poliéder | Szimmetriák | Szimmetria csoport |
---|---|---|---|---|---|
Tetraéder | {3, 3} | 3 | 2 3 | Tetraéder | 24. cikk (12) bekezdés | T d ( T ) |
Kocka | {4, 3} | 3 | 2 4 | Oktaéder | 48 (24) | O h ( O ) |
Oktaéder | {3, 4} | 4 | 2 3 | Kocka | ||
Dodekaéder | {5, 3} | 3 | 2 5 | Icosahedron | 120 (60) | Én h ( I ) |
Icosahedron | {3, 5} | 5. | 2 3 | Dodekaéder |
A tetraéder, a kocka és az oktaéder természetes módon jelenik meg a kristályszerkezetekben . Ezek semmiképpen sem merítik ki a kristályok lehetséges formáinak számát. Azonban sem a szabályos ikozaéder, sem a szabályos dodekaéder nincs közöttük. Az egyik ilyen alak, amelyet pyritohedronnak hívnak ( a jellemző ásványi anyagok csoportjáról kapta a nevét ) tizenkét ötszög alakú arccal rendelkezik, ugyanazzal a mintázattal elrendezve, mint a szabályos dodekaéder. A pyritohedron arcai azonban nem szabályosak, így a pyritohedron sem szabályos.
A XX . Század elején Ernst Haeckel számos Radiolaria- fajt írt le , amelyek közül néhány csontvázat tartalmaz különböző szabályos poliéderek formájában. Példái közé tartozik a Circoporus octahedrus , a Circogonia icosahedra , a Lithocubus geometricus és a Circorrhegma dodecahedra , ezeknek a lényeknek az alakjai nyilvánvalóak a nevükből .
Sok vírus , például a herpeszvírus , szabályos ikozaéder alakú. A vírusstruktúrák ismétlődő azonos fehérje- alegységekre épülnek, és az ikozaéder a legegyszerűbb forma ezen alegységek felhasználásával. A szabályos poliédert azért használják, mert a korlátlanul használt bázikus fehérjeegységből felépíthető, ez rést okoz a vírusgenomban .
A meteorológiában és a klimatológiában a légköri fluxusok globális numerikus modelljei egyre nagyobb érdeklődést mutatnak. Olyan rácsokat alkalmaznak, amelyek egy ikozaéderen alapulnak ( háromszögeléssel finomítva ) a leggyakrabban használt hosszúsági / szélességi rács helyett . Ennek az az előnye, hogy egyenlően elosztott térbeli felbontás van szingularitások (azaz földrajzi pólusok ) nélkül egy bizonyos nagyobb numerikus nehézség rovására.
A térszerkezetek geometriája gyakran a platoni szilárd anyagokra épül. A MERO rendszerben a platon szilárd anyagokat használják a különféle térerősítési konfigurációk elnevezési konvenciójára. Például a ½O + T egy fél oktaéderből és egy tetraéderből álló konfigurációra utal.
Ezenkívül a platonikus szilárd anyagokat gyakran használják kockák készítéséhez . A hatoldalas kocka nagyon gyakori, de a többi számot általában a szerepjátékokban használják . Az ilyen kockákat gyakran d n-nek nevezik, ahol n az arcok száma (d8, d20 stb.).
Az 1960-as években a háborús játékok játékosai úgy érezték, hogy véletlenszerű értékeket kell kapniuk 1 és 6 közötti tartományon belül, miközben az egységes tömegfunkció ("lapos valószínűség") megmarad , míg ha több kockát adunk hozzá, akkor egy " harangot " kapunk ” Valószínűség , előnyben részesítve a medián eredményeket ( központi határtétel következménye ). Már beszéltünk az ikozaéder használatáról, de nehéz volt megszerezni őket, és drágák voltak. A 1971 , Gary Gygax használ token rendszer felhívni egy dobozban, hogy eredményt 1 és 20 között a játék Tractics (in) . Gary Gygax felfedezte a műanyag platon szilárd anyagokat tartalmazó oktatási anyagokat, hogy számokat rakjon rájuk, és felhasználta azokat a Dungeons and Dragons ( 1974 ) számára.
Ezek a formák gyakran jelennek meg más játékokban vagy rejtvényekben. A Rubik-kockához hasonló rejtvények jelentek meg minden formájában - lásd a Puzzle-kombinatorika (-ban) .
Négy szabályos polihedra van, amelyek nem domborúak, ezeket Kepler-Poinsot szilárd anyagoknak nevezik . Ezek mindegyike ikozaéderes szimmetriával rendelkezik, és a dodekaéder és az ikozaéder csillagképével kaphatók.
Cuboctahedron |
Ikosidodekaekaéder |
A platonikus szilárd anyagok után a következő legszabályosabb konvex polihedra a Cuboctahedron , a kocka és az oktaéder korrekciója (in) és az ikozidodekaekaéder , a dodekaéder és az ikozaéder helyesbítése (az önkettős sokszög, a tetraéder helyesbítése szabályos oktaéder) . Mindkettő kvázi szabályos, ami azt jelenti, hogy egyenletes csúcsa és éle van, és szabályos arcuk van, de az arcok nem mind izometrikusak (két különböző osztályból származnak). A tizenhárom archimédészi test közül kettőt alkotnak , amelyek egyenletes domború, poliéderes szimmetriájú poliéderek.
Az egységes poliéderek a poliéderek sokkal nagyobb osztályát alkotják. Ezeknek a szilárd anyagoknak egységes csúcsuk van, és egy vagy több típusú szabályos sokszögük van (domború vagy csillag) az arcok számára. Ide tartozik az összes fent említett polyhedra, a végtelen prizmás halmaz , a végtelen antiprizmák halmaza , valamint 53 egyéb nem domború forma.
A Johnson szilárd anyagok domború poliéderek, amelyek szabályos arcok, de nem egyenletesek.
A sík három szabályos burkolata szorosan összefügg a platoni szilárd anyagokkal. Valójában a gömb öt szabályos burkolataként tekinthetünk a platoni szilárd anyagokra . Ez úgy történik, hogy minden szilárd anyagot egy koncentrikus gömbre vetítenek. Az arcok szabályos gömb alakú sokszögekre vetülnek, amelyek pontosan elfedik a gömböt. Megmutathatjuk, hogy a gömb minden szabályos tessellációját egy egész számpár jellemzi { p , q } 1 / p + 1 / q > 1/2 értékkel. Hasonlóképpen, a sík szabályos tessellációját az 1 / p + 1 / q = 1/2 feltétel jellemzi . Három lehetőség van:
Hasonló módon figyelembe vehetjük a hiperbolikus síkon történő szabályos csempézést is . Az 1 / p + 1 / q <1/2 feltétel jellemzi őket . Végtelen sok ilyen burkolás van.
Ha háromnál több dimenzió van, a poliéderek a polipokra általánosítanak . A XIX . Század közepén a svájci matematikus, Ludwig Schläfli felfedezte a platoni szilárd anyagok négydimenziós analógjait, amelyeket szabályos 4-politopoknak konvexnek neveztek . Pontosan hat ilyen szám van; öt analóg a platoni szilárd anyagokkal, míg a hatodiknak, a 24 cellának nincs alacsonyabb dimenziójú analógja.
Négynél nagyobb dimenziókban csak három szabályos konvex politop van: a szimplex , a hiperkocka és a hiperoktaéder . Három dimenzióban ezek egybeesnek a tetraéderrel, a kockával és az oktaéderrel.