Csillagkép

A geometriában stellation egy olyan folyamat építésének új poligonok (a 2. dimenzió ), új poliéderek (3D), vagy általánosságban, az új politópok dimenzióban n , kiterjesztve az élek vagy a sík felületeire, általában oly módon szimmetrikus, amíg mindegyik újra találkozik. Az új, csillagos megjelenésű alakot az eredeti csillagképének nevezzük .

Kepler definíciója

A 1619 , Kepler meghatározott stellation a poligonok és poliéderek, mint a folyamat kiterjedésű peremek vagy felülete, amíg megfelelnek, hogy egy új sokszög vagy poliéder. Így csillaggal jelölte meg a dodekaédert , hogy kettőt kapjon a szabályos csillaggal jelzett poliéderekből (kettőt a négy Kepler-Poinsot szilárd anyagból ).

Csillag sokszögek

A szabályos sokszög csillagképe csillag-sokszög vagy összetett sokszög .

Meg lehet szimbólummal { N / m }, ahol n jelentése a csúcsok száma, és m , a pályán használt egymást követő élek körül ezeket csúcsokat. Ha m egyenlő eggyel, akkor nulla csillagkép és szabályos sokszög { n }. És így, a ( m -1) th stellation jelentése { n / m }.

Összetett sokszög akkor jelenik meg, ha n és m közös osztója> 1, és a teljes csillagkép több ciklikus komponensből áll. Például a {6/2} hexagram 2 háromszögből áll {3}, a {10/4} pedig 2 {5/2} pentagrammból áll.

Egy szabályos n- végűnek ( n - 4) / 2 csillagjegye van, ha n páros, és ( n - 3) / 2 csillagképe van, ha n páratlan.

A pentagramma , az {5/2} az egyetlen csillagkép az ötszögben .	A hatszög , {6/2}, stellation a hatszög egy vegyület két háromszög.	Az enneagone 3 enneagram formával rendelkezik  : {9/2}, {9/3}, {9/4}, {9/3} 3 háromszögből áll.
A heptagonnak két heptagrammás formája van  : {7/2}, {7/3}

Mint a heptagon , a nyolcszög is két octagrammic  stellations (a) , egy, {8/3} hogy egy csillagsokszög, és a másik, {8/2}, ahol a vegyület két négyzetek .

Csillagos poliéder

A poliéderek csillagképe csillag-poliéderekhez vezet . A poliéder sík felülete sok különálló sejtre osztja a teret. Szimmetrikus sokszög esetén ezek a sejtek konform sejtek csoportjait vagy halmazait alkotják - azt mondjuk, hogy az ilyen konform halmazokban lévő sejtek azonos típusúak. A stellációk megtalálásának általános módszere egy vagy több sejttípus kiválasztása.

Ez rengeteg lehetséges alakhoz vezethet, ezért gyakran előrehaladottabb kritériumokat írnak elő, hogy ezeket a csillagképeket valamilyen módon értelmessé és egyedivé lehessen csökkenteni.

Számos sejtet, amely magja körül zárt réteget képez, héjnak nevezzük. Szimmetrikus sokszög esetén a héj egy vagy több típusú sejtből állhat.

Ilyen elképzelések alapján több érdekes korlátozó kategóriát azonosítottak.

• Jobb jobb csillagképek ( fővonal ). Az egymást követő héjak hozzáadásával a poliéder magjához ez a fővonal csillagképek halmazához vezet.
• Teljesen támogatott csillagképek . A cella alsó oldalai külsőleg "túlnyúlásként" jelenhetnek meg. Teljesen megtámasztott stellációban nincsenek ilyen túlnyúlások, és az arc minden látható részét ugyanazon oldalról nézik.
• Monokrális csillagképek (egyetlen pont) . Ahol a csillagképben csak egyfajta pont vagy csúcs van (vagyis az összes csúcs egyetlen szimmetrikus pályának felel meg), a csillagkép monokrális. Minden ilyen típusú stelláció teljes mértékben támogatott.
• Elsődleges csillagképek. Ahol egy sokszögnek vannak tükörszimmetriasíkjai, az ezekre a síkokra eső éleket állítólag elsődleges vonalakba helyezik. Ha az összes él elsődleges vonalakba kerül, akkor a csillagkép elsődleges. Minden elsődleges stelláció teljes mértékben támogatott.
• Miller csillagképek. A The Fifty-Nine icosahedra  (in) című filmben Coxeter , Val  (in) , Flather és Petrie öt JCP Miller  (in) által javasolt szabályt rögzített . Bár ezek a szabályok kifejezetten az ikozaéder geometriájára utalnak , könnyen adaptálhatók tetszőleges poliéderekkel való munkára. Többek között biztosítják, hogy az eredeti poliéder forgásszimmetriája megmaradjon, és hogy mindegyik csillagkép más és más megjelenésű legyen. A négyféle, pontosan definiált stelláció mind a Miller-stellációk részhalmaza.

Más kategóriákat is azonosíthatunk:

• A részleges stellation , ahol nem terjed ki minden elemét egy adott dimenziószámcsökkentési.
• Egy al-szimmetrikus stellation ahol minden elem nem szimmetrikusan hosszabbítani.

Az archimédészi szilárd és kettős csillag is megjelölhető. Itt általában a következő szabályt adjuk hozzá: az összes eredeti arc síkjellemének jelen kell lennie a csillagképben, vagyis nem szabad figyelembe venni a részleges csillagképeket. Például a kocka nem tekinthető stellation a cuboctahedron . Létezik :

• A rombikus dodekaéder 4 csillagképe
• A triakitetraéder 187 csillagképe
• A rombikus triacontahedron 358 833 097 csillagképei
• 17 stellations a cuboctahedron (4 megjelennek a listát a modell poliéder Wenninger  (a) )
• az ikozidodekaéder csillagképei ismeretlen számban, de a fentinél jóval nagyobbak (19-et mutatnak a Wenninger-poliéderek listáján).

A nem konvex egységes poliéderek közül tizenhét archimedesi szilárd anyag csillagképe.

Miller szabályai

Miller szabályai szerint a következőket találjuk:

• Hogy nincs a tetraéder csillagképe , mert az összes arc szomszédos.
• Azt, hogy nincs kocka csillagkép , mivel a nem szomszédos felületek párhuzamosak, és így nem lehet meghosszabbítani, hogy új éleken találkozzanak.
• Hogy van egy csillagkép az oktaéderről , a csillag nyolcszögről
• Hogy a dodekaéder 3 csillagképe van  : a kis csillag alakú dodekaéder , a nagy dodekaéder és a nagy csillagképes dodekaéder , ezek mind Kepler-Poinsot szilárd anyagok .
• Hogy vannak 58 stellations a ikozaéder , beleértve a nagy ikozaéder (az egyik a Kepler-Poinsot szilárd anyagok), a 2 ND stellation, és a végső stellation az ikozaéder. A 59 th  modell Az ötvenkilenc icosahedra az eredeti ikozaéder is.

Sok „Miller-stellációt” nem lehet közvetlenül megszerezni Kepler módszerével. Például sok olyan üreges központ van, ahol a mag poliéder eredeti felületei és szélei teljesen hiányoznak: nincs semmi, amit csillaggal megjelölhetnénk. Erre a rendellenességre csak Inchbald (2002) került sor.

A csillagkép egyéb szabályai

Miller szabályai korántsem a "helyes" módja a csillagképek felsorolásának. Bizonyos módon a csillagképdiagram részeinek kombinációján alapulnak, és figyelmen kívül hagyják a kapott arcok topológiáját. Mint ilyen, van néhány meglehetősen ésszerű csillagkép az ikozaéderről, amelyek nem szerepelnek a listájukon - ezek egyikét James Bridge azonosította 1974-ben , míg egyes "Miller-csillagképek" kritikát élvezhetnek. az ikozaéderes halmazok egyike több, egymástól független, az űrben szimmetrikusan lebegő cellából áll.

Eddig nem alakult ki teljesen egy alternatív szabályrendszer, amely ezt figyelembe veszi. Az elért haladás nagy része azon a felfogáson alapul, hogy a csillagképezés a fazettálás kölcsönös folyamata , amelynek során az alkatrészek új csúcsok létrehozása nélkül eltávolíthatók a sokszögből. Egy bizonyos poliéder minden egyes csillagképéhez egy kettős poliéder kettős oldalazása van , és fordítva. A duál szempontjainak tanulmányozásával betekintést nyerhetünk az eredeti csillagképeibe. Híd úgy találta meg az ikozaéder új csillagképét, hogy tanulmányozta kettősének, a dodekaédernek az aspektusait.

Egyes poliéderek úgy vélik, hogy a csillagképezés kétirányú folyamat, oly módon, hogy bármely két, azonos síkfelülettel rendelkező poliéder egymás csillagképe. Ez érthető, ha egy általános algoritmust tervezünk, amely alkalmas egy számítógépes programban való használatra, de amiben egyébként nincs különösebb nagy segítség.

Számos példa található a csillagképekről a Wenninger-poliéder  (in) felsorolásában .

A csillagképek nómenklatúrája

John Conway kidolgozott terminológiát sokszögek , poliéder, és a csillag polychores (Coxeter 1974). Ebben a rendszerben a folyamat él kiterjesztése, hogy hozzon létre egy új szám az úgynevezett stellation , amely húzódik arcok hívják bővítés (növekedésének biztosítását), és milyen húzódik sejteket nevezik bővítés (gazdagodás) (az utóbbi nem nem alkalmazzák a poliéderek). Ez lehetővé teszi az olyan szavak szisztematikus használatát, mint a „csillag”, „nagy” és „nagy”, amikor a kapott ábrák nevét megtervezzük. Például Conway javasolt néhány kisebb változatot a Kepler-Poinsot polyhedra nevéhez .

Hivatkozások

• (fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia "  Stellation  " című cikkéből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .
• (en) NJ Bridge, „A dodekaéder szemléltetése”, Acta Crystallographica , vol. A30, 1974, p.  548-552
• (en) HSM Coxeter , Regular complex polytopes , 1974
• (en) HSM Coxeter, P. Du Val, HT Flather és JF Petrie, Az ötvenkilenc Icosahedra , Stradbroke  (en) , Tarquin Publications, 1999
• (en) G. Inchbald: „Az elveszett ikozaédrát keresve”, The Mathematical Gazette , vol. 86, 2002, p.  208-215.
• (en) P. Messer, „A rombikus triacontahedron stellációi és azon túl”, in Symmetry: culture and science , vol. 2000, 11. o.  201-230

Kapcsolódó cikkek

• A modellpolihedron Wenninger  (in) listája  : az oktaéder, a dodekaéder, az ikozaéder és az ikozidodekaéder 44 csillaggal jelölt formáját tartalmazza az 1974-ben megjelent Magnus Wenninger "Polyhedron Models" könyv.
• A sokszögű vegyületek  : a vegyületek 5 reguláris és 4 kettős szabályos vegyületet tartalmaznak.

Külső linkek

• (en) Az ikozaéder csillagozása és a dodekaéder szemléltetése.
• A szabályos ikozaéder 59 csillagképe
• (en) Stella: Polyhedron Navigator - Szoftver a poliéderek feltárásához és hálók nyomtatásához fizikai felépítésükhöz. Tartalmazza az egységes poliédereket, csillagképeket, vegyületeket, Johnson szilárd anyagokat stb.
• (en) Bulatov, V. Polyhedra Stellation.
• (en) Az ötvenkilenc ikozaéder - kisalkalmazás
• (en) Az Icosahedron 59 csillagképe, George Hart
• A GSolaar szoftver, amely lehetővé teszi csillag alakú, nem domború poliéderek készítését