Sugár (geometria)

A geometria , a sugara egy kört , vagy egy gömb bármely szegmense bármely egyenes összekötő annak központja annak kerülete . Tágabb, a kör sugarát vagy gömb jelentése hossza minden egyes ilyen szegmensek. A sugár az átmérő fele . A tudományban és a műszaki tudományban a görbületi sugár kifejezést gyakran a sugár szinonimájában használják.

Még általánosabban - a geometria , a mérnöki , gráfelmélet és sok más összefüggésekben - a sugara egy tárgy (például egy henger , egy sokszög , egy grafikon vagy mechanikus része) a távolság a középponttól vagy szimmetriatengelye a legkülső felületi pontok. Ebben az esetben a sugár eltérhet az átmérő felétől (a tárgy két pontja közötti legnagyobb távolság értelmében).

Több konkrét meghatározása is lehet, amint az alábbiakban látni fogjuk az ellipszist.

Egy kör sugara

A kör sugara és kerülete közötti összefüggés az . $R$ $L$ ${\ displaystyle R = {\ frac {L} {2 \ pi}}}$

A három ponton áthaladó kör sugarának kiszámításához a következő képletet használhatjuk (lásd: Beírt szög tétele , Fél szögbe beírt szög és a szemközti ábra): $R$ $ABC$

${\ displaystyle R = {\ frac {a} {2 \ sin \ alpha}}}$ , ahol a szög hossza és mértéke . $nál nél$ $időszámításunk előtt$ $\ alfa$ $\ widehat {BAC}$

Ha a három pont által adott koordinátákat , és azt is használja a következő (lásd szinusztétel és háromszög területe ): $(x_1, y_1)$ $(x_2, y_2)$ $(x_3, y_3)$

${\ displaystyle R = {\ frac {\ sqrt {\ bal (\ bal (x_ {2} -x_ {1} \ jobb) ^ {2} + \ bal (y_ {2} -y_ {1} \ jobb) ^ {2} \ jobbra) \ balra (\ balra (x_ {2} -x_ {3} \ jobbra) ^ {2} + \ balra (y_ {2} -y_ {3} \ jobbra) ^ {2} \ jobbra) \ balra (\ balra (x_ {3} -x_ {1} \ jobbra) ^ {2} + \ balra (y_ {3} -y_ {1} \ jobbra) ^ {2} \ jobbra}}} { 2 \ balra | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} \ right |}}}$ .

Ellipszis sugarai

Több ellipszis sugárfogalmat definiálhatunk , a kör esetében megint megadhatjuk a klasszikus sugár fogalmát.

Az ellipszis féltengelyét úgy értelmezzük, mint az ellipszisre vagy főkörre körülírt kör sugarát , a félig-mellék tengelyt pedig a beírt kör vagy másodlagos kör sugaraként. Meghatározható: "átlagos sugár" , e két sugár átlagos aritmetikája . $nál nél$ ${\ displaystyle R_ {1} = (a + b) / 2}$

A terület sugara egy kör sugara, amelynek területe (területe) megegyezik az ellipszisével.

Ez megegyezik az ellipszis két féltengelyének szorzatának négyzetgyökével:

{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}}

ahol

e

az ellipszis excentricitása

Ezért a féltengelyek geometriai átlaga .

Egy másik figyelemre méltó sugara ellipszis átlagos távolság egy pont áthalad az ellipszis állandó sebesség a hangsúly ezen ellipszis. Ez a sugár, amely definíció szerint megegyezik, leegyszerűsödik a fél-fő tengely értékére . ${\ displaystyle R_ {3} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {(a (\ cos te) ^ {2} + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ felett {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}}$ ${\ displaystyle R_ {3} = a}$

Az átlagos távolság állandó sebességgel a központ az ellipszis: nem ad egy egyszerű értéket. ${\ displaystyle R_ {4} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2 } t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over { \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d } t}}}}$

Az ellipszis közepétől az átlagos távolság , az excentrikus anomália t állandójának sebessége : egyenlő, ahol az ellipszis hossza van. Ezért az ellipszisével megegyező hosszúságú kör sugara . ${\ displaystyle R_ {5} = {1 \ felett {2 \ pi}} {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle L \ felett {2 \ pi}}$ $L$
Másrészt az is úgy a szórása két pont közötti távolság a belső ellipszis :, vagyis amelyek egyszerűsített , négyzetes középértéke a félig tengely. ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ iint (M_ {1} M_ {2}) ^ {2} dM_ {1} dM_ {2}} {\ iint dM_ {1} dM_ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} ((ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2} + (ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2}) r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1} dt_ {2}} {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1 } dt_ {2}}}}}$ ${\ displaystyle R_ {6} = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}}}}$

Elipszoid sugarai

Több sugárfogalmat definiálhatunk a féltengelyek ellipszoidjára . ${\ displaystyle a \ geqslant b \ geqslant c}$

Átlagos sugár

Az " átlagos sugár " megegyezik a 3 féltengely számtani átlagával:

{\ displaystyle R_ {1} = {\ frac {a + b + c} {3}}}

Térfogati sugár

A térfogati sugár egy fiktív térfogat sugara, amely megegyezik az adott ellipszoidéval.

Ez megegyezik a féltengelyek geometriai átlagával:

{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt [{3}] {abc}}}

Autáli sugár

Az autális sugár egy fiktív terület (felület) gömbje, amely megegyezik a figyelembe vett ellipszoid területével . $S$ ${\ displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {S / 4 \ pi}}}$

Például egy hosszúkás fordulatszámú ellipszoid (az ellipszis forgása a fő tengelye körül) ${\ displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {{\ frac {b ^ {2}} {2}} + {\ frac {ab} {2}} {\ frac {\ arcsin e} {e}}} }}$

Sokszög sugara

A szabályos sokszög sugara olyan szakasz, amely összeköti ennek a sokszögnek a közepét az egyik csúcsával. Hossza tehát ennek a sokszögnek körülírt kör sugara .

A c és n oldalú sokszög sugara tehát egyenlő

${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ frac {c} {2 \ sin (\ pi / n)} }}$

vagy újra, attól függően, hogy a hossza a apothem H , hogy

${\ displaystyle {\ frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}}$ .

Földsugarak

Adat

Sugár	Érték kilométerben	Megjegyzés
maximális	6 384,4	Chimborazo tetején
minimális	6 352, 8
egyenlítői	6 378,8	a referencia ellipszoid féltengelye
poláris	6 356,8	a referencia ellipszoid fél-kisebb tengelye
út	6,371.009
autáliás	6 371,007 2
térfogat-	6 371 000 8

Történelmi

A Föld sugarának első mérését a csillagászatban Eratosthenes dolgozta ki . Számítása a következő: a Nap olyan messze van, hogy sugarai párhuzamosan érkeznek a Föld bármely pontjára . Azt olvasta, hogy a Syene- ben a sugarak függőlegesen zuhannak a kútba a nyári napforduló napján . Ez azt jelenti, hogy a Nap áthalad a zeniten , tehát nincs árnyék. Északabbra, ugyanabban a pillanatban a sugarak nem nulla szögben érik el Alexandriát , amelyet mér. A mért szög egy kör ötvenedik része. Ez azt jelenti, hogy a Föld kerülete ötvenszer nagyobb, mint a Syene-Alexandria távolság. Azt is olvastam, hogy a teve lakókocsik induló Syene Ötven nap alatt éri el Alexandria, amely száz stadionok naponta. Kiszámította, hogy a Nílus-völgy két városa közötti távolság 5000 stadion volt. A stadion 158 m-nek felel meg .

Azáltal, hogy megmérte ezeknek az ismert magasságú, két különböző szélességi fokon elhelyezkedő tárgyak által vetett árnyékot, a meridián hosszára, azaz a föld kerületére 250 000 stadion értékét találja meg . Ez a mérés 2% -on belül pontos. Levonta belőle a földi sugarat.

használat

A földi sugarat számos csillagászati számításhoz használják , például egy csillag napi parallaxisának kiszámításához :

Napi parallaxis: két megfigyelő a Föld két A és B pontjába kerül, amennyire csak lehetséges, és megjegyzik a megfigyelt csillag körüli csillagok konfigurációját. Így tehát számítani a szögek és , majd levezetni a parallaxis, amely lehetővé teszi, hogy megkapjuk a távolságot TP.

{\ displaystyle {\ widehat {ABP}}}

{\ displaystyle {\ widehat {BAP}}}

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Euklidész elemei

Bibliográfia

Michel Morin és Alain Roy, Geometry 4: kapcsolatok a körben , Mont-Royal (Quebec), Modulo, 1995 ( OCLC 32548158 )

Például egy törzs egy hengeres forgástest magassága h , és sugara r van egy átmérője egyenlő a H , ha h> 2 R , és ebben az esetben . ${\ displaystyle r \ neq h / 2}$