Támogatási funkció

A matematikai analízis , és még inkább a konvex analízis , a támogató funkcióját egy része $a P$ egy valós normált teret $E$ jelentése a konvex , amely bármely folytonos lineáris formában $s$ az $E$ társítja a felső kötött a $s ( P )$ a ℝ .

Meghatározás

Az $E$ normalizált tér $P$ részének támogatási függvénye a $σ$ $P$ jelölésű és az által definiált függvény

${\ displaystyle \ sigma _ {P}: E '\ - {\ overline {\ mathbb {R}}}: s \ mapsto \ sigma _ {P} (s) = \ sup _ {x \ in P} \, \ langle s, x \ rangle,}$

ahol $E '$ jelentése a topológiai kettős az $E$ és az értéke a folytonos lineáris formában $s$ az $x$ . ${\ displaystyle \ langle s, x \ rangle}$

Különösen: ( $sup (\emptyset) = -\infty$ ). ${\ displaystyle \ sigma _ {\ lakkozás} (s) = - \ infty}$

A támogató függvény természetesen előfordul bizonyos számú konstrukcióban az elemzésben és a konvex elemzésben.

A funkció kapcsolt a indikátor függvénye egy részének $P$ az $E$ a támogató funkcióját $P$ .
A támogató funkcióját egység végez az $E$ a kanonikus norma a kettős $E '$ .
Ha $E$ jelentése egy euklideszi teret , és ha $f$ egy megfelelő konvex függvény definiált $E$ értékeiket , annak irányított származékát egy ponton $x$ a relatív belsejében annak domén a támogató funkcióját al-eltérés az $F$ a $x$ (lásd: „ Max Formula ”). $\ R \ csésze \ {+ \ infty \}$ $f '(x; \ cdot)$

Bármely alkatrész támasztó funkciója konvex, szublináris .
Inkább „zárt”, vagyis alább félig folytonos .
Bármely $P$ résznek ugyanolyan $tartófunkciója$ van, mint zárt konvex burok $co-jának ( P )$ . Pontosabban : ${\ displaystyle \ sigma _ {P} \ leqslant \ sigma _ {Q} \ Balra mutató nyíl {\ overline {\ operatornév {co}}} (P) \ részhalmaz {\ overline {\ operátornév {co}}} (Q)}$ .
A fortiori, bármely alkatrésznek ugyanolyan tartófunkciója van, mint tapadásának és domború burkolatának : ${\ displaystyle \ sigma _ {P} = \ sigma _ {\ overline {P}} = \ sigma _ {\ operátor neve {co} (P)}}$ .

A halmazok súlyozott összege Minden alkatrész

a P , Q

E

és az összes pozitív valós számok

a- , β

{\ displaystyle \ sigma _ {\ alpha P + \ beta Q} = \ alpha \ sigma _ {P} + \ beta \ sigma _ {Q}}

. Átalakítás lineáris térképpel Legyen

F

egy másik normált tér, egy lineáris folytonos függvény , annak asszisztense és

P

egy

E

része .

{\ displaystyle A: E \ - F}

{\ displaystyle A ^ {*}: F '\ - E'}

Így van írva

{\ displaystyle \ sigma _ {A (P)}: F '\ - {\ overline {\ mathbb {R}}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {A (P)} = \ sigma _ {P} \ circ A ^ {*}}

en) Charalambos D. Aliprantis és Kim C. Border, Végtelen dimenziós elemzés: A stoppos útmutató , Springer ,2007, 3 e . ( 1 st szerk. 1999) ( olvasható online )
(en) JM Borwein és AS Lewis, konvex elemzés és nemlineáris optimalizálás , New York, Springer,2006, 2 nd ed. ( 1 st szerk. 2000) ( olvasott sort )
en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty és Claude Lemaréchal, a konvex elemzés alapjai , Springer,2004( 1 st ed. 2001), 259 p. ( ISBN 978-3-540-42205-1 , online olvasás )
(en) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , coll. "Princeton Matematikai Series" ( n o 28),1970( online olvasás )