Mutató funkció (konvex elemzés)

A matematikában , pontosabban a konvex elemzésben , a halmaz egy részének indikátorfüggvénye az a funkció, amely eltűnik és értéket ad az in komplementnek . P{\ displaystyle P}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}P{\ displaystyle P}+∞{\ displaystyle + \ infty}P{\ displaystyle P}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}

Meghatározás

A halmaz egy részének jelzőfüggvénye (vagy egyszerűen csak a mutatója ) az a funkció, amelyet megjegyez és meghatároz P{\ displaystyle P}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}énP{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {P}}

énP:E→R∪{+∞}:x↦énP(x)={0hax∈P+∞hax∉P.{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {P}: \ mathbb {E} \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}: x \ mapsto {\ mathcal {I}} _ {P } (x) = \ left \ {{\ begin {array} {lll} 0 & {\ mbox {si}} & x \ in P \\ + \ infty & {\ mbox {si}} & x \ notin P . \ end {tömb}} jobb.}

Ez a funkció abban különbözik a mutatószám vagy karakterisztikus függvénye egy sor közös más területeken a matematika, mint például elemzés (különösen méréselmélet ), és annak bevezetését konvex analízis és optimalizálása motiválja a következő megfontolások..

• A konvex elemzés során hasznos, ha ez a függvény domború, amikor a halmaz. Ha ez a helyzet az itt definiált indikátor funkcióval, akkor ez nem a szokásos jellegzetes funkcióval van, amely más motivációknak engedelmeskedik.
• Az optimalizálás során ez az indikátorfüggvény lehetővé teszi a funkció minimalizálásának problémáját is egy halmazon , a korlátozás nélküli minimalizálás egyenértékű problémájával .f{\ displaystyle f}P{\ displaystyle P}f+énP{\ displaystyle f + {\ mathcal {I}} _ {P}}

Konvexitás és zártság

Ha egy vektortér nem üres része , akkor P{\ displaystyle P}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}

• énP{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {P}}a tiszta akkor és csak akkor  ,P≠∅{\ displaystyle P \ neq \ lakkozás}
• énP{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {P}}akkor megfelelő és domború, ha nem üres és domború  ;P{\ displaystyle P}
• énP{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {P}}csak akkor tiszta és zárt, ha nem üres és zárt .P{\ displaystyle P}

Konjugátum

Feltételezzük, hogy ez egy euklideszi tér . E{\ displaystyle \ mathbb {E}}

A konjugátum az mutatószám egy részének a jelentése a támogató funkció  : P{\ displaystyle P}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}

énP∗=σP.{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {P} ^ {*} = \ sigma _ {P}.}

Különösen, ha egy kúp , a konjugátum az a mutatószám annak negatív kettős kúp  : K{\ displaystyle K}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}énK{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {K}} K-{\ displaystyle K ^ {-}}

énK∗=énK-.{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {K} ^ {*} = {\ mathcal {I}} _ {K ^ {-}}.}

Aldifferenciál

Mi itt feltételezzük, hogy egy euklideszi térben , és hogy egy konvex az . E{\ displaystyle \ mathbb {E}}VS{\ displaystyle C}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}

A sub-eltérés az a normális kúp a  : énVS{\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {C}} NEMVS{\ displaystyle N_ {C}}VS{\ displaystyle C}

∂énVS=NEMVS.{\ displaystyle \ részleges \, {\ mathcal {I}} _ {C} = N_ {C}.}

Bibliográfia

• (en) JM Borwein és AS Lewis, konvex elemzés és nemlineáris optimalizálás , New York, Springer ,2006, 2 nd  ed. ( 1 st  szerk. 2000) ( olvasott sort )
• J.-B. Hiriart-Urruty, optimalizálás és konvex elemzés , EDP ​​Sciences ,2009( 1 st  ed. 1998 PUF )
• en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty és Claude Lemaréchal, a domború elemzés alapjai , Berlin, Springer,2004( 1 st  szerk. 2001) ( olvasható online )
• (en) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , coll.  "Princeton Matematikai Series" ( n o  28),1970( online olvasás )