Öt négyzetgyök
A négyzetgyök az öt megjegyezte √ 5 vagy 5 1/2 , egy valós szám figyelemre méltó a matematika és megközelítőleg egyenlő 2.236.
Ez másodfokú irracionális és másodfokú egész szám .
Bevezető elemek
Definíció, jelölés és kiejtés
-
√ 5 kiejtése "négyzetgyök ötből"; "ötös radikálisnak" is kimondták.
-
√ 5 szintén 5 1/2 ( Unicode jelölés : 5 ½ ).
Hozzávetőleges érték
√ 5 körülbelül
Folyamatos frakció
Fejlesztési lánctörtes a √ 5 jelentése [2, 4 ] (folytatás A040002 a OEIS-ben ). Az egymást követő csökkentések tehát
21,9.4,3817.,682305,28891292...{\ displaystyle {\ frac {2} {1}}, {\ frac {9} {4}}, {\ frac {38} {17}}, {\ frac {682} {305}}, {\ frac {2889} {1292}} \ ldots}
Egy hozzávetőleges érték kiszámítása
Általános módszerek
Közelítés Heron módszerével
Az eljárás Heron lehet számítani a közelítő értéke négyzetgyöke a nagy pontosság és kevés számítás; az 5 négyzetgyökére alkalmazható.
Tekintsük a egész része a √ 5 , x 0 = 2 .
Heron módszere abból áll, hogy a megismétlődés képletével kiszámoljuk az √ 5- höz közeledő szekvencia egymást követő feltételeit :
xnem+1=xnem+NÁL NÉLxnem2.{\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + {\ frac {A} {x_ {n}}}} {2}}.}itt, A = 5 . Az egymást követő iterációkkal a következőket kapjuk:
- x1=2+5.22=9.4=2,25{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {2 + {\ tfrac {5} {2}}} {2}} = {\ frac {9} {4}} = 2,25}
- x2=9.4+5.49.2=16172≈2,2361{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {{\ tfrac {9} {4}} + 5 {\ tfrac {4} {9}}} {2}} = {\ frac {161} {72}} \ kb 2,2361}
- x3=16172+5.721612=5184123184≈2,2360679779.{\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {{\ tfrac {161} {72}} + 5 {\ tfrac {72} {161}}} {2}} = {\ frac {51841} {23184}} \ kb 2,2360679779.}
Specifikus módszer
Fibonacci szekvencia
A következő képlet, kezdetben bizonyítja Paul Erdős , vonatkozik a inverzeinek a feltételeket a Fibonacci-sorozat , amelynek index 2 hatványa:
5.{\ displaystyle {\ sqrt {5}}}
∑k=0∞1F2k=7-5.2{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} = {\ frac {7 - {\ sqrt {5}}} {2 }}}Ez adja a formula , hogy konvergál gyorsan, mivel az első 6 szó így 13 helyes tizedes, és a 7 -én meghozta a következő 13.
5.=7-2(∑k=0∞1F2k){\ displaystyle {\ sqrt {5}} = 7-2 \ balra (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2 ^ {k}}}} \ jobbra) }
Kapcsolat az aranyaránnyal
Az 5 négyzetgyöke az aranyarány kifejezésére szolgál φ=1+5.2.{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}.}
Tehát megtaláljuk5.=2φ-1et5.=φ+1φ.{\ displaystyle {\ sqrt {5}} = 2 \ varphi -1 \ quad {\ rm {és}} \ quad {\ sqrt {5}} = \ varphi + {\ frac {1} {\ varphi}}. }
Az irracionalitás igazolása
Tegyük fel, √ 5 ésszerű, és írni, hogy a formájában kiküszöbölhetetlen frakció m / n (azaz, hogy m és n jelentése relatív prím : GCD ( m , n ) = 1). Az √ 5 = m / n hipotézis 5 n 2 = m 2 -re vezet . Tehát 5 oszt m 2 , így oszt m szerint az euklideszi lemma . Írhatunk m = 5 r , vagy 5 n 2 = (5 r ) 2 = 25 r 2 , n 2 = 5 r 2 , vagy 5 osztja n . Ez abszurditáshoz vezet, mivel a GCD ( m , n ) ekkor osztható 5-tel, ellentmondásban a GCD ( m , n ) = 1 feltételezéssel.
Trigonometria
A √ 2 és √ 3-hoz hasonlóan az 5-ös négyzetgyöke is szerepel a pontos trigonometrikus állandók képleteiben, beleértve a szögeket 3-ban osztható fokban, de nem 15-tel. A legegyszerűbbek:
bűnπ10.=bűn18.∘=14(-1+5.),{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} \ balra (-1 + {\ sqrt {5}} \ jobb),}bűnπ5.=bűn36∘=142(5.-5.),{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {5}} = \ sin 36 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 - {\ sqrt {5} })}},}bűn3π10.=bűn54.∘=14(1+5.),{\ displaystyle \ sin {\ frac {3 \ pi} {10}} = \ sin 54 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} (1 + {\ sqrt {5}}),}bűn2π5.=bűn72∘=142(5.+5.).{\ displaystyle \ sin {\ frac {2 \ pi} {5}} = \ sin 72 ^ {\ circ} = {\ tfrac {1} {4}} {\ sqrt {2 (5 + {\ sqrt {5 }})}}.}Ramanujan képletek
A négyzetgyöke 5 jelen van több képletek által adott Srinivasa Ramanujan bevonásával generalizált lánctörtekkel :
1∣∣1+e-2π∣∣1+e-4π∣∣1+e-6.π∣∣1+⋯=(5.+5.2-5.+12)e2π/5.=e2π/5.(φ5.-φ).{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac { {\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ \ rm {e}} ^ {- 6 \ pi} \ mid} {\ mid 1} } + \ cdots = \ left ({\ sqrt {\ frac {5 + {\ sqrt {5}}} {2}}} - {\ frac {{{\ sqrt {5}} + 1} {2}} \ jobb) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} = {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / 5} \ balra ({\ sqrt {\ varphi {\ sqrt {5}} }} - \ varphi \ right).}1∣∣1+e-2π5.∣∣1+e-4π5.∣∣1+e-6.π5.∣∣1+⋯=(5.1+[5.3/4(φ-1)5./2-1]1/5.-φ)e2π/5..{\ displaystyle {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ közepes 1 }} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {- 4 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {{\ rm {e}} ^ {-6 \ pi {\ sqrt {5}}} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots = \ balra ({{\ sqrt {5}} \ több mint 1+ \ balra [5 ^ {3/4 } (\ varphi -1) ^ {5/2} -1 \ jobb] ^ {1/5}} - \ varphi \ right) {\ rm {e}} ^ {2 \ pi / {\ sqrt {5} }}.}4∫0∞xe-x5.kényelmesxdx=1∣∣1+12∣∣1+12∣∣1+22∣∣1+22∣∣1+32∣∣1+32∣∣1+⋯.{\ displaystyle 4 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x {\ rm {e}} ^ {- x {\ sqrt {5}}}} {\ cosh x}} \, {\ rm {d}} x = {\ frac {1 \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {1 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {2 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + {\ frac {3 ^ {2} \ mid} {\ mid 1}} + \ cdots.}Kapcsolódó cikkek
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy teljes egészében kivett
angol Wikipedia cikket
„ négyzetgyöke 5 ” ( lásd a szerzők listáját ) .
Megjegyzések
-
A konvergencia sebessége abból adódik, hogy a sorozat általános tagja csökken a kettős exponenciális függvény inverzével .
-
A gyakorlatban azonban ennek a módszernek az a hátránya, hogy nagy egész számokat kell kezelnie.
Hivatkozások
-
(in) Catalin Badea , " [ http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf A tétel a végtelen sorok és alkalmazások irracionalitása " , Acta Arithmetica , vol. 63,1993, P. 313-323.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">