Heron módszere

A matematika , a Heron módszer vagy babiloni módszer egy hatékony módszer a négyzetgyök kivonása , azaz megoldása egyenlet x 2 = a , a a pozitív. Az alexandriai Heron matematikus nevét viseli , aki csak 1896-ban felfedezett Metrica ( A metrikák ) című művének I. kötetében tárja fel, de bizonyos korábbi számítások, nevezetesen az egyiptomi, bizonyítják, hogy a módszer régebbi.

Héron így a Metrika I. kötetének 8. feladatában tárja fel módszerét . Eleinte részletesen leír egy módszert egy háromszög területének kiszámításához annak három oldalának ismeretében ( vö. Heron képlete ), példaként egy 7, 8 és 9 oldal háromszöget vesz fel. Ezután közbenső eredményként megkapja a 720-as számot, amelynek ki kell számolnia a négyzetgyöket, hogy elérje a végeredményt. Ezután a következő számítási módszert javasolja:

„Azóta a 720-nak nincs megfogalmazható oldala, mi is nagyon kis különbséggel állunk az oldal mellett. Mivel a 720-hoz legközelebb eső négyzet 729, és 27 van az oldala, ossza el a 720-at a 27-gyel: 26 és kétharmadot eredményez. Adjuk hozzá a 27-et: ennek eredménye 53 és kétharmada. Ebből a fele: 26 2 '3' eredmény. A 720 által megközelített oldal tehát 26 2 '3' lesz. Valóban 26 2 „3” önmagukban: az eredmény 720 36”, úgy, hogy a különbség a 36 th  része egységét. És ha azt akarjuk, hogy a különbség a 36'-nál kisebb résznél következzen be, 729 helyett, akkor a most talált 720-at és 36 '-ot helyezzük el, és ugyanazokat a dolgokat téve a kapott különbséget sokszor kisebbnek találjuk, 36 '-nál. "

-  Alexandria gém , Metrica , I. kötet, 8

A módszer bemutatása

Geometriai megközelítés

Érdekes kiemelni a módszer alapját képező geometriai alapelvet. A görög matematikusok számára az összeg négyzetgyökének kivonása egy olyan négyzet megtalálását jelenti, amelynek területe a . Ha tetszőleges x oldalú és azonos területű téglalapot veszünk , akkor a másik oldalnak a / x hosszúságúnak kell lennie . Ahhoz, hogy „kevesebb téglalap” legyen, elegendő egy új téglalapot figyelembe venni, amelynek hossza a két előző oldal számtani átlaga , azaz x+nál nél/x2{\ displaystyle {\ frac {x + a / x} {2}}} és amelynek területe továbbra is a .

A folyamat újra és újra megismétlésével a téglalap fokozatosan ugyanannak a térnek a négyzetévé válik. Ez a megfigyelés az alapja Heron módszerének.

Elv

Ahhoz, hogy meghatározzuk a négyzetgyökét (pozitív) szám egy , ezért szükséges figyelembe venni a szekvencia által definiált indukciós a következő: ∀nem∈NEMxnem+1=xnem+nál nélxnem2,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad x_ {n + 1} = {\ frac {x_ {n} + {\ frac {a} {x_ {n}}}} {2}}, } első ciklus választani, ha lehetséges, „elég közel”, hogy √ egy , általában a egész része az √ egy . x0>0{\ displaystyle x_ {0}> 0}

Az így kapott szekvencia olyan szekvencia, amely csökken a második tagtól, konvergálva √ a-ra .

Demonstráció

Először is az azonnali, hogy azóta , majd Sőt, mindenért  : x0>0{\ displaystyle x_ {0}> 0}nál nél>0,{\ displaystyle a> 0,}xnem>0.{\ displaystyle x_ {n}> 0.}nem∈NEM{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

xnem+12-nál nél=(xnem2+nál nél2xnem)2-nál nél=xnem4+nál nél2+2nál nélxnem24xnem2-nál nél=xnem4+nál nél2-2nál nélxnem24xnem2=(xnem2-nál nél2xnem)2≥0,{\ displaystyle x_ {n + 1} ^ {2} -a = \ balra ({\ frac {x_ {n} ^ {2} + a} {2x_ {n}}} \ jobbra) ^ {2} -a = {\ frac {x_ {n} ^ {4} + a ^ {2} + 2ax_ {n} ^ {2}} {4x_ {n} ^ {2}}} - a = {\ frac {x_ {n } ^ {4} + a ^ {2} -2ax_ {n} ^ {2}} {4x_ {n} ^ {2}}} = \ balra ({\ frac {x_ {n} ^ {2} -a } {2x_ {n}}} \ jobbra) ^ {2} \ geq 0,}

ami magában foglalja:

∀nem∈NEM∗xnem≥nál nél.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad x_ {n} \ geq {\ sqrt {a}}.}

Sőt, mindenünkért : nem∈NEM∗{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}

xnem+1-xnem=xnem2+nál nél2xnem-xnem=nál nél-xnem22xnem,{\ displaystyle x_ {n + 1} -x_ {n} = {\ frac {x_ {n} ^ {2} + a} {2x_ {n}}} - x_ {n} = {\ frac {a-x_ {n} ^ {2}} {2x_ {n}}},}

Most, mivel , mi van a következtetésekkel , a szekvencia ezért csökkenő pozitív, ezért konvergál egy olyan határ felé, amely igazolja , és ezért . xnem≥nál nél{\ displaystyle x_ {n} \ geq {\ sqrt {a}}}nál nél-xnem2≤0{\ displaystyle a-x_ {n} ^ {2} \ leq 0}∀nem∈NEM∗xnem+1≤xnem.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad x_ {n + 1} \ leq x_ {n}.}(xnem)nem∈NEM∗{\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}l≥0{\ displaystyle l \ geq 0}l=12(l+nál néll){\ displaystyle l = {\ frac {1} {2}} \ bal (l + {\ frac {a} {l}} \ jobb)}l=nál nél{\ displaystyle l = {\ sqrt {a}}}

Ha a szekvencia első tagja racionális szám , akkor egyértelmű, hogy az összes egymást követő kifejezés racionális szám lesz, ami lehetővé teszi az irracionális szám , például a kettő négyzetgyökének megközelítését racionális számok sorozatával.

Konvergencia

Azt is könnyű ellenőrizni, hogy ez a konvergencia másodfokú  : a különbség minden távon és a határérték √ egy fejlődik, mint a tér a korábbi különbség, sőt minden n > 0:

xnem+1-nál nél=(xnem-nál nél)22xnem,{\ displaystyle x_ {n + 1} - {\ sqrt {a}} = {\ frac {(x_ {n} - {\ sqrt {a}}) ^ {2}} {2x_ {n}}},}

vagy azóta  : xnem≥nál nél{\ displaystyle x_ {n} \ geq {\ sqrt {a}}}

|xnem+1-nál nél|≤|xnem-nál nél|22nál nél,{\ displaystyle \ left | x_ {n + 1} - {\ sqrt {a}} \ right | \ leq {\ frac {\ left | x_ {n} - {\ sqrt {a}} \ right | ^ {2 }} {2 {\ sqrt {a}}}},}

ami jól megfelel a másodfokú konvergencia definíciójának, vagyis hogy a pontos tizedesjegyek száma minden iterációban megduplázódik.

Az algoritmus minden lépésnél megköveteli az osztás létrehozását, ami maga is szükségessé teszi a műveletek sorozatát, amely annál hosszabb, mivel a szükséges pontosság nagy. Mindazonáltal az algoritmus robusztus, jól alátámaszt bizonyos közelítéseket (és még néhány hibát is, amelyek hatása késleltetni fogja az eredmény megszerzését, de nem akadályozza meg a megszerzését), ami lehetővé teszi a megosztással való elégedettséget ( nem is) hamis, legalábbis az elején.

Köszönhetően a gyors konvergencia, Heron módszer egy jó közelítést értékének √ a után is néhány számítás lépéseit.

Példa: √ 2 kiszámítása Bármelyik is következik: x0=1{\ displaystyle x_ {0} = 1}

x1=1+22=32=1,5.,{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {1 + 2} {2}} = {\ frac {3} {2}} = 1 {,} 5,} x2=3/2+4/32=17.12.=1,4166....,{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {3/2 + 4/3} {2}} = {\ frac {17} {12}} = 1 {,} 4166 \ ldots,} x3=17./12.+24./17.2=577408=1.4142156...,{\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {17/12 + 24/17} {2}} = {\ frac {577} {408}} = 1 {,} 4142156 \ ldots,} x4=577/408+816/5772=665857470832=1.4142135623745...,{\ displaystyle x_ {4} = {\ frac {577/408 + 816/577} {2}} = {\ frac {665857} {470832}} = 1 {,} 4142135623745 \ ldots,} x5.=886731088897627013566048=1.4142135623730950488016896...,{\ displaystyle x_ {5} = {\ frac {886731088897} {627013566048}} = 1 {,} 4142135623730950488016896 \ ldots,}

összehasonlítva azonban a √ 2 = 1,4142135623730950488016887… pontos értékkel , láthatjuk a másodfokú konvergenciát (a második számításban 2 pontos tizedesjegy, a harmadikban 5, a negyedikben 11, a negyedikben 23, az ötödikben 23). Mindössze három lépésben a √ 2 értékének relatív pontossága már 10–6 , ami kiváló, és négy lépésben kevesebb, mint 10–12 . Valójában az egyik fő probléma az, hogy "jó" értéket kell választani , ideális esetben annak az egész számnak, amelynek négyzete a legközelebb van az a-hoz , amit Héron maga javasolt a Metrica e kérdésnek szentelt részében . x0{\ displaystyle x_ {0}}

A módszer általánosítása

Racine n- edik szám

Egy analóg módszer létezik a kivonat a n -edik gyökér számos A , azt azután tanácsos fontolóra szekvenciájának általános kifejezés . ∀k∈NEMxk+1=1nem[(nem-1)xk+NÁL NÉLxknem-1]{\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} \ quad x_ {k + 1} = {\ frac {1} {n}} \ balra [{(n-1) x_ {k} + {\ frac { A} {x_ {k} ^ {n-1}}}} \ jobbra}}

Geometriai alapgondolata megegyezik meghatározó gyökér n th számos Egy az, hogy megtaláljuk az oldalán egy hiperkockák akinek „térfogat” A . Megfontoltabb visszatérés egy (hiper) párhuzamos oldalú oldalról , amelynek n dimenziója ( n -1) oldala egyenlő, az utóbbit úgy állítjuk be, hogy A-val egyenlő térfogatot kapjunk .

Összekapcsolás Newton módszerével

Heron módszere Newton módszerének speciális esete . Valójában Newton módszerében az f függvény nullájának megkeresése a következő megismétlődés használatával:

xnem+1=xnem-f(xnem)f′(xnem).{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}}.}

Figyelem

f(x)=x2-nál nél,{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -a,}

az ismétlődés válik

xnem+1=xnem-xnem2-nál nél2xnem=xnem2+nál nél2xnem=xnem+nál nélxnem2.{\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {x_ {n} ^ {2} -a} {2x_ {n}}} = {\ frac {x_ {n} ^ {2} + a} {2x_ {n}}} = {\ frac {x_ {n} + {\ frac {a} {x_ {n}}}} {2}}.}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Vö. Encyclopædia Universalis , 2008. évi kiadás, Thesaurus - III . Kötet , p.  2517 .
2. Marianne Michel, Az ókori Egyiptom matematikája. Számozás, metrológia, számtan, geometria és egyéb problémák , Brüsszel, Safran Bxl,2014, 608  p. ( ISBN  978-2-87457-040-7 ).
3. Bernard Vitrac idézete: „Euclide és Héron: Két megközelítés a matematika tanításához az ókorban? » , In Gilbert Argoud, Tudomány és szellemi élet Alexandriában (Kr. U. 1. – 3. Század) , a Saint-Étienne-i Egyetem publikációi,1995, 226  p. ( ISBN  2-86272-058-5 , online olvasás ) , p.  121-145.

Lásd is

• Egész négyzetgyök
• Csepegtető módszer

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">