Kettő hatalma

A számtani , a teljesítménye két számot jelöl jegyezni formájában $2 n$ , ahol $n$ egy természetes szám . Ez a termék a szám $2$ ismételt $n$ -szer önmagával, azaz: . $\ underbrace {2 \ times \ cdots \ times 2} _ {{n \ {\ mathrm {faktorok}}}}$

Ez a kettő egész hatványainak konkrét esete általánosít a valós számok halmazában , a 2 alap exponenciális függvény által , amelynek reciprok függvénye a bináris logaritmus .

Megállapodás alapján és ennek a bázis 2 exponenciális függvénynek a folytonossága érdekében a 2 nulla teljesítményét 1-nek, azaz $2 0 = 1-nek$ vesszük .

Mivel a $2$ a bináris rendszer alapja, a számítógépes tudományban kettő hatványai általánosak . Bináris formában mindig "10000… 0" feliratot írnak, ahogyan ez a tízes hatvány esetén is a tizedes rendszerbe van írva .

Szokásos jelölések

A tevékenységi területtől függően kettő ereje figyelhető meg:

2 n
2 ^ n
2 ** n
2 [3] n
2 ↑ n ( Knuth iterált erőinek jelölése )
teljesítmény (2, n)
teljesítmény (2, n)
1 << n
$H 3 (2, n )$
$2 \to n \to 1$ ( Conway lánc nyilak jelölése )

Számos kiejtés létezik:

2 n kitevő
2 teljesítmény n
2 az n erejéig
2 az n teljesítményre emelve
n-edik hatványa

Számítástechnika

A számítógép a bináris rendszeren alapszik, mindig kettő hatványait használja. Pontosabban, 2 n megadja az n hosszúságú bináris egész szám bitjeinek elrendezési módjainak számát . Például egy bájt 8 bitet tartalmaz, ezért 2 8 különböző értéket tud tárolni (azaz 256).

Ezenkívül egy kibibyte 1024 (2 10 ) bájtot tartalmaz.

A számítás összes dimenziója a 2-es hatványösszeg, függetlenül attól, hogy a memória mérete (2, 4, 8 vagy 12 gigabájt), a videó felbontása (14 hüvelykes képernyőn általában 640/480 képpont, ahol 640 = 512 + 128 és 480 = 256 + 128 + 64 + 32) vagy tömeges emlékek méretezése .

Kettő első ereje

Kettő első 33 ereje:

2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024
2 11 = 2048
2 12 = 4096
2 13 = 8 192
2 14 = 16 384
2 15 = 32 768
2 16 = 65 536
2 17 = 131 072
2 18 = 262 144
2 19 = 524 288
2 20 = 1 048 576
2 21 = 2 097 152
2 22 = 4 194 304
2 23 = 8 388 608
2 24 = 16 777 216
2 25 = 33 554 432
2 26 = 67 108 864
2 27 = 134 217 728
2 28 = 268 435 456
2 29 = 536 870 912
2 30 = 1 073 741 824
2 31 = 2 147 483 648
2 32 = 4 294 967 296

Kettő hatalma, amelynek kitevője kettő hatványa

A modern memóriacellák és regiszterek gyakran számos bitet manipulálnak, ami kettő hatványa. Leggyakrabban azok az erők jelennek meg, amelyek kitevője szintén kettő hatalma.

A jelölés ${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} \ quad {\ rm {jelentése}} \ quad 2 ^ {(2 ^ {n})}}$ (és nem (2 2 ) n , utóbbi kifejezés valójában 4 n ).

Példák

n = 6: 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616
n = 7: 2 128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Másik figyelemre méltó hatalma

2 24 = 16 777 216, a valódi színben megjeleníthető egyedi színek száma , amelyet a legtöbb számítógépes monitor használ . Ez a szám a háromcsatornás RGB rendszer használatának eredménye, minden csatornánál 8 bit, vagy összesen 24 bit.
2 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615, az a búzaszem száma, amelyet Sissa , a sakkjáték legendás feltalálója matematikai problémán keresztül kérdezett meg urától : egy (2 0 ) az első fretten, kettő (2 1 ) a második fretten, majd négy (2 2 ), nyolc (2 3 ), tizenhat (2 4 ) stb. 263- ig, mert egy sakktáblának 64 négyzete van. Így 2,64 - 1 gabonát kellett volna kapnia , olyan nagy számot, hogy még 2012-ben is az éves búzatermelés 1000-szerese .

Tételek

A összege első $N$ 2 hatványai egyenlő a következő bekapcsolási 2 mínusz 1: $S_ {n} = \ összeg _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} 2 ^ {i} = 2 ^ {n} -1$ vagy ismét: a 2 bármelyik hatványa megegyezik a 2 plusz 1 összes alsó hatványának összegével: ${\ displaystyle 2 ^ {n} = S_ {n} +1.}$ A 2 hatványai tehát szinte tökéletes számok .
Egy egész akkor és akkor osztható 2 n- rel, ha az utolsó n bináris számjegye nulla.
A 2 hatványai az egyetlen számok, amelyek nem oszthatók meg 1-n kívüli páratlan számmal.
A 2 egymás utáni hatványainak számjegyei periodikus sorrendet alkotnak (2, 4, 8 és 6).
Minden 2-es hatvány binomiális együtthatók összege : ${\ displaystyle 2 ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ select k}.}$
A valódi 0.12481632641282565121024… szám, amelyet később kialakítottunk (2 n ) n 2 a 2 hatványából , egy univerzum szám .

Mersenne főszáma

Egy elsődleges Mersenne száma egy prímszám a forma 2 N - 1. Például, a prímszám 31 , ami meg van írva, mint 2 5 - 1.

Mivel 2 N - 1 elsődleges, szükséges, hogy N legyen, de ez a feltétel nem elegendő . A legkisebb ellenpélda a
2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89.

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket angolul című „ Teljesítmény két ” ( lásd a szerzők listáját ) .

A kettő első 1000 teljesítményének listája megtalálható az OEIS A000079 csomagjának külső linkjein .
A listát akár megtalálható $2 ^ {2 ^ n}$ ${\ displaystyle n = 13}$ a külső linkek a OEIS-ben suite A001146 .
könyvében követése automatikus ANT és matematikai feltárásai , David Gale ad bemutató, és idéz egy ötsoros program Stephan Heilmayr írt Mathematica nyelv , amely a legkisebb 2 kitevőjét akarta adva a sorozat akart.