Szimptikus vektortér

Az algebrában a vektortér akkor szimplektikus, ha szimplektikus formával van ellátva, vagyis egy alternatív és nem degenerált bilinear formával . Ezeknek a vektortéreknek a vizsgálata mutat némi hasonlóságot a valódi prehilbertius terek tanulmányozásával, mivel meghatározzuk az ortogonalitás fogalmát is . De vannak erős különbségek, már csak azért is, mert minden vektor merőleges önmagára.

A szimplektikus vektorterek modellként szolgálnak a szimplektikus geometriában vizsgált szimplektikus sokaságok meghatározására . Ez utóbbiak a hamiltoni mechanika természetes keretei .

Egy komplex prehilberti vektorteret automatikusan szimplektikus szerkezettel ruháznak fel, mint valós vektorteret. A fajták tekintetében az analóg a Kähler fajta fogalma .

Meghatározás

Legyen egy vektortér a valós számok területén (az általános esetet alább mutatjuk be). A symplectic forma az egy váltakozó és nem degenerált bilineáris forma , azaz: V{\ displaystyle V}V{\ displaystyle V}ω:V×V→R{\ displaystyle \ omega: V \ szorozva V \ -nel \ mathbb {R}}

• megvan az alternatív karakter ω(u,u)=0,∀u∈V{\ displaystyle \ omega (u, u) = 0, \ quad \ forall u \ in V}

amelyet néha antiszimmetria vált fel : (ez a két tulajdonság egyenértékű);ω(u,v)=-ω(v,u),∀u,v∈V{\ displaystyle \ omega (u, v) = - \ omega (v, u), quad \ forall u, v \ in V}

• és nondegeneracy : .u≠0⟹ω(u,⋅)≠0{\ displaystyle u \ neq 0 \ implicit \ omega (u, \ cdot) \ neq 0}

A szimplektikus vektortér egy szimplektikus formával ellátott  vektortér . (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}V{\ displaystyle V}ω{\ displaystyle \ omega}

Két vektorról azt mondják, hogy (szimplektikusan) ortogonális, amikor . Váltakozó jellegű , bármely vektor a merőleges magát. u,v∈V{\ displaystyle u, v \ in V}ω(u,v)=0{\ displaystyle \ omega (u, v) = 0}ω{\ displaystyle \ omega}v{\ displaystyle v}V{\ displaystyle V}

Tétel: A véges dimenzió bármely szimplektikus vektortere egyenletes valós dimenzióval rendelkezik.

Demonstráció

Legyen véges dimenziós szimplektikus vektortér. Hagy egy igazi vektor alapján az . Hagy a reprezentatív mátrix az , vagyis az . Mivel nem degenerált, a mátrix megfordítható, és ezért nem nulla determinánsa van . Mivel az antiszimmetrikus, a mátrix van antiszimmetrikus . Tudjuk, hogy a páratlan sorrendű antiszimmetrikus mátrix meghatározója nulla, ami lehetetlen. Ezért egyenletes dimenziójú.(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}(v1,...,vnem){\ displaystyle (v_ {1}, ..., v_ {n})}V{\ displaystyle V}[ωén,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}ωén,j: =ω(vén,vj){\ displaystyle \ omega _ {i, j}: = \ omega (v_ {i}, v_ {j})}én,j=1,...,nem{\ displaystyle i, j = 1, ..., n}ω{\ displaystyle \ omega}[ωén,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}ω{\ displaystyle \ omega}[ωén,j]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}]}V{\ displaystyle V}◻{\ displaystyle \ square}

Megjegyzés  : a szimplektikus forma reprezentatív mátrixának fogalma nem azonos a szimplektikus mátrix fogalmával .

Szabványos szimplektikus vektortér

A referenciaszimplektikus vektortér az a tér, ahol kanonikus alapon a szimplektikus forma kielégíti az összefüggéseket (R2nem,ω){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}(e1,...,enem,f1,...,fnem){\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}, f_ {1}, \ ldots, f_ {n})}ω{\ displaystyle \ omega}

ω(eén,fj)=-ω(fj,eén)=δénj{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, f_ {j}) = - \ omega (f_ {j}, e_ {i}) = \ delta _ {ij} \,} ω(eén,ej)=ω(fén,fj)=0{\ displaystyle \ omega (e_ {i}, e_ {j}) = \ omega (f_ {i}, f_ {j}) = 0 \,}.

A mátrix ábrázolása a szabványos szimplektikus formát ezután:

[ωén,j]=[0énnem-énnem0]{\ displaystyle [\ omega _ {i, j}] = {\ elején {bmatrix} 0 és I_ {n} \\ - I_ {n} és 0 \ end {bmatrix}}}

ahol jelöli a méretet azonosító mátrix . énnem{\ displaystyle I_ {n}}nem×nem{\ displaystyle n \ alkalommal n}

Vannak valahogyan összekapcsolt irányok  : mindegyik merőleges az összes alapvektorra, kivéve . eén{\ displaystyle e_ {i}}fén{\ displaystyle f_ {i}}

A Gram-Schmidt ortonormalizációs folyamat egy változata lehetővé teszi annak kimutatását, hogy bármely véges dimenziójú szimplektikus vektortérnek van ilyen alapja, amelyet általában Darboux alapnak neveznek el .

Vektor alterek

Legyen egy szimplektikus vektortér. Legyen egy vektor altere . A merőleges (szimplektikus) a definíció szerint a vektor altér (V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}W⊂V{\ displaystyle W \ V részhalmaz}V{\ displaystyle V}W{\ displaystyle W}

Wω: ={v∈V|ω(v,w)=0,∀w∈W}{\ displaystyle W ^ {\ omega}: = \ {v \ in V | \ omega (v, w) = 0, \ w összes w \ -ban W \}}.

A vektoros alterületet így mondják: W{\ displaystyle W}

• szimpektikus, haW∩Wω={0}{\ displaystyle W \ cap W ^ {\ omega} = \ {0 \}}
• izotróp, haW⊂Wω{\ displaystyle W \ W ^ {\ omega}} részhalmaz
• koizotróp, haWω⊂W{\ displaystyle W ^ {\ omega} \ W részhalmaz
• Lagrangian siWω=W{\ displaystyle W ^ {\ omega} = W}

Bármilyen Lagrange-vektor altér az IS: W{\ displaystyle W}(V,ω){\ displaystyle (V, \ omega)}

• (maximális) izotrop
• (minimális) koizotróp
• dimenzió fele .V{\ displaystyle V}

Szimplektikus tér bármely testen

A szimplektikus terek meghatározása változatlanul kiterjed bármely olyan mezőre, amelynek jellemzője nem a 2. jellemző. A 2. jellemzőben már nincs ekvivalencia az alternatív és az antiszeizmikus karakterek között.

Hivatkozások

• Ralph Abraham és Jarrold E. Marsden, A mechanika alapjai , (1978) Benjamin-Cummings, London ( ISBN  0-8053-0102-X ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">