Normális endomorfizmus
A normál endomorphism egy operátor egy Hilbert-tér , amely ingázik annak kiegészítéseként .
Meghatározás
Hadd H lesz a Hilbert-tér (valós vagy komplex) és u egy endomorphism a H , a szomszédos u *. Azt mondjuk, hogy u nem normális , ha
u∘u∗=u∗∘u.{\ displaystyle \ u \ circ u ^ {*} = u ^ {*} \ circ u.}
Példák
Tulajdonságok
- Amikor a Hilbert H véges dimenzióval rendelkezik (más szóval, ha euklideszi vagy hermitikus térről van szó ), akkor az u akkor normális, ha ortormális alapú mátrixa normális mátrix .
- Ha H egy hermitikus tér, egy endomorphism a H normális (ha és) csak akkor, ha diagonalizable egy ortonormált bázis .
- Ha H euklideszi tér, akkor a H endomorfizmusa normális (ha és) csak akkor, ha a homotetikák és a síkbeli hasonlóságok közvetlen ortogonális összege.
- Ha H véges dimenziójú, ha az F vektor altér stabil egy normál u operátor által, akkor annak ortogonálisa is stabil (vagy ami ugyanannyit jelent: F u * által stabil ).
-
u normális, ha, és csak akkor, ha bármely vektor x a H , ║ u ( x ) ║ = ║ u * ( x ) ║.
- Az u normál operátor , a λ sajátérték esetén bármely sajátvektor az u *, a λ sajátérték esetében pedig sajátvektor .
- A normál operátor spektrális sugara megegyezik az operátor normájával .
- A kompakt operátor u egy komplex Hilbert tér H normális (ha és), ha H elismeri a megfelelő Hilbert alapján az u .
- A valódi H Hilbert tér fölötti kompakt u operátor csak akkor normális (ha és), ha u a homotetikák és a síkbeli hasonlóságok Hilbert összege.
Pontról pontra kommentek:
- abból a tényből ered, hogy ortonormált bázis, a mátrix a járuléka u az adalékanyag -a az u . Euklideszi esetben a mátrix valós, ezért kiegészítő mátrixa az átültetett mátrixa .
- a H dimenziójának indukciója bizonyítja , 6-ot használva: ha λ az u sajátértéke, akkor H az u -λid H magjának és annak derékszögének közvetlen összege , és u ezen az ortogonálon normális operátorra korlátozódik.
- 2-ből "a komplexek átmenésével" következtetik. Figyelem, egy euklideszi térben a normális endomorfizmus nem mindig átlósítható (gondoljunk csak a síkfordulásokra ). Akkor és csak akkor, ha minden sajátértéke valós, vagyis akkor és csak akkor, ha nemcsak normális, hanem önálló is .
- bebizonyosodik például az u mátrixának megfelelő ortonormális alapon történő megírásával , négy blokk formájában, beleértve egy nullát, az u normalitásának megmagyarázásával ezeken a blokkokon lévő egyenletekkel, és felhasználva, hogy az x blokk nulla, amint mivel xx * nyoma az. Más szóval, hagyja p lehet a merőleges vetülete a H az F , X = pu (1 - p ) és y = up = pup ; akkor x = 0, mert tr ( xx *) = 0, mivel xx * = pu (1 - p ) u * p = puu * p - pupu * p = pu * fel - yy * = y * y - yy *.
- azonnal válik, amikor észrevesszük, hogy a feltétel egyenértékű az u * u és az uu * -hoz társított két másodfokú alak egyenlőségével .
- a normál u -λid operátorra alkalmazott 5-ből származik: ugyanaz a kernel van, mint a mellékanyaga. Ez a tulajdonság hamis egy nem normális operátor esetében: véges dimenzióban csak azt tudjuk megerősíteni, hogy az adjunktus sajátértékei az operátor sajátértékeinek konjugátumai, de különböző sajátvektorokkal, és végtelen dimenzióban még ez a megfelelés is a sajátértékek között már nem ellenőrzik.
- A spektrális sugár normával történő növelése könnyű általános tulajdonság. Az egyenlőséget (normál operátor esetében) az operátor spektrális sugárának kifejezése alapján vonják le hatalmainak normáiból. Valóban, beállításával v = u * u , van (ha u normális) , vagy az összes n , v n magától hozzá, így a norma a négyzete egyenlő a négyzetével norma, különösen a n , amely a 2 hatványai, így a fenti utolsó korlátban a megfelelő alszekvencia állandó és ║ v ║ 1/2 = ║ u ║ értékű . Véges dimenzióban egy elementárisabb bizonyítást vezetünk le a 2-ből (ill. 3): ρ ( u ) = k itt egyenlő az u (komplex) sajátértékeinek modulusainak legnagyobbjával , mivel bármelyik x vektor a összege vektorok x i merőleges kettesével, és akinek a képe is ortogonális, győznie , van , ezért ║ u ║ ≤ k .ρ(u)=limnem→∞‖unem‖1/nem=limnem→∞‖(unem)∗unem‖1/(2nem)=limnem→∞‖vnem‖1/(2nem),{\ displaystyle \ rho (u) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | u ^ {n} \ | ^ {1 / n} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | (u ^ {n}) ^ {*} u ^ {n} \ | ^ {1 / (2n)} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | v ^ {n} \ | ^ {1 / (2n) },}‖u(xén)‖≤k‖xén‖{\ displaystyle \ | u (x_ {i}) \ | \ leq k \ | x_ {i} \ |}‖u(x)‖2=∑‖u(xén)‖2≤∑k2‖xén‖2=k2‖x‖2{\ displaystyle \ | u (x) \ | ^ {2} = \ sum \ | u (x_ {i}) \ | ^ {2} \ leq \ sum k ^ {2} \ | x_ {i} \ | ^ {2} = k ^ {2} \ | x \ | ^ {2}}
- általánosítson 2-t és inspirálódjon belőle: az u kompakt operátor nullától eltérő spektrális értéke (legfeljebb) megszámolható és sajátérték. Ha ráadásul u normális, akkor a 2-es iterációval bebizonyítjuk, hogy H a társított saját alterek és ennek az összegnek az ortogonális F Hilbert- összege. Az u és F közötti korlátozás ekkor a 0 spektrális sugár normál operátora, tehát a 7 szerint nulla.
- levezethető 8-3 levezethető 2 (és ugyanúgy létezik egy valós Hilbert Hilbert alapján H illendő u akkor és csak akkor, ha a kompakt operátor u nemcsak normál, hanem autoadjoint).
Kapcsolódó cikkek
-
Folyamatos funkcionális számítás (en)
-
Fuglede tétel (en)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">