Rang (lineáris algebra)

A rangot a család vektorok a dimenzió a vektor altér által generált ennek a családnak. Például egy lineárisan független vektorcsalád esetében rangja a vektorok száma;
A rangot lineáris leképezés az itt van a dimenziójának kép , amely egy vektor altér . A rang tétel tárgya a dimenziója , a dimenziója a kernel a és a rangot ; ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$
A rangot mátrix a rangot a lineáris leképezés, hogy képvisel , vagy a rangot a család az oszlop vektorok;
a lineáris egyenletrendszer rangja az egyenértékű skálázott rendszerek egyenleteinek száma . Ez megegyezik a rendszer együtthatóinak mátrixának rangjával.

Mátrix rangja

A helyezés a mátrix (amelynek együtthatók tartoznak kommutatív területén a skaláris , ), jelöljük , a következő: $NÁL NÉL$ $\ mathbb {K}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A)}$

a lineárisan független sor (vagy oszlop) vektorok maximális száma;
a vektor (vagy oszlop) vektorai által generált vektoraltér dimenziója ; $NÁL NÉL$
a kivont invertálható négyzetmátrixok rendjeiből a legnagyobb ; $NÁL NÉL$
a nem nulla kiskorúak megrendelései közül a legnagyobb ; $NÁL NÉL$
a mátrixok méretei közül a legkisebb, és amelynek szorzata egyenlő , ezek a számok egyenlőek. $B$ $VS$ $NÁL NÉL$

A rang lehet meghatározni végző kiürülést a Gauss-Jordan módszer , és megvizsgálja a lépést alakja ily módon kapott.

Példa

Vegye figyelembe a következő mátrixot:

NÁL NÉL=(10232046.02201243){\ displaystyle A = {\ elején {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

{\ displaystyle A = {\ elején {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\\ end { pmatrix}}}

A négy vonal által alkotott vektorokat hívjuk . $l_ {1}, l_ {2}, l_ {3}, l_ {4}$ $NÁL NÉL$

Látjuk, hogy a 2 nd sor kétszerese az első sorban, így a rangot megegyezik a család . $NÁL NÉL$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$

Megjegyezzük továbbá, hogy a 4 -én sor lehet kialakítva összeadásával a vonalak 1. és 3. (azaz a ). Tehát a rangja megegyezik a . $l_ {4} = l_ {1} + l_ {3}$ $(l_ {1}, l_ {3}, l_ {4})$ $(l_ {1}, l_ {3})$

Az 1. és 3. sor lineárisan független (azaz nem arányos). Így a 2. rang is. $(l_ {1}, l_ {3})$

Végül a 2-es rangsor . $NÁL NÉL$

Egy másik módszer ennek a mátrixnak a méretarányos formáját számítani . Ennek az új mátrixnak ugyanaz a rangja, mint az eredeti mátrixnak, és a rang megfelel annak a sorának a számának, amely nem nulla. Ebben az esetben két olyan sorunk van, amely megfelel ennek a kritériumnak.

NÁL NÉL′=(1023011000000000){\ displaystyle A '= {\ eleje {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A '= {\ eleje {pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

Vegye figyelembe, hogy egy adott mátrix rangja megegyezik az átültetés rangjával . Például vegyük a fenti A mátrix átültetését:

tNÁL NÉL=(12010022242436.03){\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 és 3 \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle ^ {\ text {t}} A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 és 3 \\\ end {pmatrix}}}

Úgy látszik, hogy a 4 -én sor háromszor az első, és a harmadik sorban a második legalább kétszer az első.

A méretezés után tehát megkapjuk:

(1201001100000000){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {pmatrix} }}

és ennek a mátrixnak a rangja valóban 2.

Másodfokú forma rangja

A másodfokú forma rangja a társított mátrix rangja.

Lineáris térkép rangja

Adott két , vektor terek , ahol egy kommutatív test és a lineáris leképezés az a sorban az a méret a kép az . $K$ $E$ $F$ $K$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$

Ha és véges méretei, ez is a rang a mátrix társított két bázisok a és . Különösen a társított mátrix rangja nem függ az ábrázolásra kiválasztott bázisoktól . Tény, hogy a szorzás jobbra vagy balra egy invertálható mátrix nem változik a rangot, ami , ahol a mátrix képviseli az első pár bázisok és , az alapja a változás mátrix . $E$ $F$ $f$ $E$ $F$ $f$ $f$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} \ bal (P ^ {- 1} AQ \ jobb) = {\ text {rg}} (A)}$ $NÁL NÉL$ $f$ $P$ $Q$

A vektorcsalád rangja

Egy család esetében rangja megegyezik a vektorok maximális számával, amelyet e család szabad alcsaládja tartalmazhat.
Ligában is meghatározhatja egy család , mint: . $u$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (u) = \ dim ({\ text {Vect}} (u))}$

Megjegyzés: ha egy vektorcsaládot 1-től egész számig indexelünk , akkor a rangja a lineáris térkép rangja $(u_ {1}, \ pontok, u_ {n})$ $nem$ $u$

Knem→E:(r1,...,rnem)↦∑rénuén{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ jobb oldali E: (r_ {1}, \ pontok, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

{\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} \ jobb oldali E: (r_ {1}, \ pontok, r_ {n}) \ mapsto \ sum r_ {i} u_ {i}}

hol van a skalárok területe. Ennek oka: a lineáris alkalmazás képe.

\ mathbb {K}

{\ displaystyle {\ text {Vect}} (u)}

Tulajdonságok

Legyen A, B és C mátrix.

Frobenius- egyenlőtlenség : ${\ displaystyle {\ text {rg}} (AB) + {\ text {rg}} (BC) \ leq {\ text {rg}} (ABC) + {\ text {rg}} (B)}$

Demonstráció

Általánosabban, a három lineáris térképek (közötti vektor terek méretei nem feltétlenül véges) , és , van , mert a kanonikus morfizmus az a által indukált van szürjektıv . ${\ displaystyle c: E \ jobbra nyíl F}$ ${\ displaystyle b: F \ rightarrow G}$ ${\ displaystyle a: G \ jobb oldali H}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (a \ circ b) + {\ text {rg}} (b \ circ c) \ leq {\ text {rg}} (a \ circ b \ circ c) + { \ text {rg}} (b)}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (b)} {{\ text {im}} (b \ circ c)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ text {im}} (a \ circ b)} {{\ text {im}} (a \ circ b \ circ c)}}}$ $nál nél$

(Speciális eset) Sylvester egyenlőtlenség : ha van oszlopok és van sorok, majd $NÁL NÉL$ $nem$ $B$ $nem$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B) -n \ leq {\ text {rg}} (AB)}$

Rang tétel : lineáris térképét a , $f$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E) = {\ text {rg}} (f) + \ dim ({\ text {Ker}} (f))}$
Átültetett mátrix és átültetett térkép : és ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} A) = {\ text {rg}} (A)}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (^ {\ mathrm {t}} f) = {\ text {rg}} (f)}$
Mátrixok szorzata és lineáris alkalmazások összetétele : és ; különösen - a bal vagy a jobb oldalon lévő összetétel alapján identitás szerint - az in lineáris térkép rangja kisebb vagy egyenlő és ${\ displaystyle {\ text {rg}} (BA) \ leq \ min ({\ text {rg}} (B), {\ text {rg}} (A))}$ ${\ displaystyle {\ text {rg}} (g \ circ f) \ leq \ min ({\ text {rg}} (g), {\ text {rg}} (f))}$ $E$ $F$ ${\ displaystyle \ dim (E)}$ ${\ displaystyle \ dim (F)}$
Kiegészítés : , egyenlőséggel csak akkor, és csak akkor, ha a képek és csak nulla, és az átültetett és csak nulla kereszteződnek. ${\ displaystyle {\ text {rg}} (A + B) \ leq {\ text {rg}} (A) + {\ text {rg}} (B)}$ $NÁL NÉL$ $B$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} A}$ ${\ displaystyle ^ {\ mathrm {t}} B}$
A vektorcsalád rangja az elemi művelettel változatlan .
Két mátrix akkor és akkor egyenértékű, ha azonos rangúak.
Az in- tól származó rangsor-alkalmazás az alábbiakban félig folyamatos . ${\ displaystyle M_ {m, n} (\ mathbb {R})}$ $\ mathbb {R}$
A legnagyobb zárt konvex függvény , amely csökkenti a rangot a labdát , ahol (láttuk a vektor szinguláris értékei a ) a korlátozás a labdát a nukleáris norma . Pontosabban, ha meghatározzuk az adott a mutatószám az , akkor annak biconjugate van írva . Anélkül, hogy a rangot egy halmazra korlátoznánk , kevéssé használható identitást kapunk . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = \ {A \ in \ mathbb {R} ^ {m \ szor n = \ bal \ közepe \ | A \ jobb \ | \ leq 1 \}}$ ${\ displaystyle \ left \ | A \ right \ |: = \ max \ {\ left \ | Ax \ right \ | _ {2} \ left \ middle \ | x \ right \ | _ {2} \ leq 1 \ } = \ | \ sigma (A) \ | _ {\ infty}}$ $\ sigma (A)$ $NÁL NÉL$ $\ | \ cdot \ | _ {*}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m \ szorzat n} \ - {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle f = {\ operátornév {rg}} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ${\ displaystyle f ^ {**} = \ left \ | \ cdot \ right \ | _ {*} + {\ mathcal {I}} _ {\ mathcal {B}}}$ $\ operátornév {rg} ^ {{**}} = 0$

Eset, amikor a skalárok területe nem kommutatív

A fentiekben azt feltételeztük, hogy a skalárok területe kommutatív. Kiterjeszthetjük a mátrix rangjának fogalmát arra az esetre, amikor a skalárok területe nem feltétlenül kommutatív, de a meghatározás kissé kényesebb.

Legyen egy nem feltétlenül kommutatív mező és egy mátrix m sorokkal és n oszlopokkal, amelyek együtthatói vannak . Hívjuk rangot a (tekintettel ) dimenziója a altér által generált oszlopai az ellátva, amely szerkezetében , vektor tér jobb . Megmutatjuk, hogy a rangot is egyenlő méretű az altér által generált vonalak az ellátva, amely szerkezetében K-vektortér a bal oldalon . $K$ $M$ $\ mathbb {K}$ $M$ $K$ $M$ ${\ displaystyle K ^ {m}}$ $K$ $M$ $M$ ${\ mathbb {K}} ^ {n}$

Vegyünk például egy nem kommutatív K mezőt és a mátrixot , ahol és ahol két elem nem ingázik (ezek az elemek tehát nem nulla). $V: = {\ elején {pmatrix} a & 1 \\ ca & c \\\ vége {pmatrix}}$ $nál nél$ $vs.$ $K$

Ennek a mátrixnak a két vonala lineárisan összefügg a bal oldali vektortérben , mert . Hasonlóképpen, a két oszlop összefügg a jobb oldali vektortérben , mert . A mátrix rangja tehát 1-vel egyenlő. $K ^ {2}$ ${\ displaystyle c (a, 1) - (ca, c) = (0,0)}$ $K ^ {2}$ ${\ displaystyle (a, ca) - (1, c) a = (0,0)}$

Másrészt a két oszlop nincs összekapcsolva a bal oldali vektortérben . Valóban legyenek és legyetek skalárok . Ezután (első komponensek) , tehát (második komponensek) . Mivel és feltételezik, hogy nem kapcsolja, ez eredményezi (szorozza kap egy ellentmondás) és a mi eredmény van . Így bebizonyítottuk, hogy a mátrix két oszlopa lineárisan független a bal oldali vektortérben . $K ^ {2}$ $d$ $e$ ${\ displaystyle d (a, ca) + e (1, c) = (0,0)}$ ${\ displaystyle e = -da}$ ${\ displaystyle dca-dac = 0}$ $nál nél$ $vs.$ ${\ displaystyle d = 0}$ ${\ displaystyle d ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle e = -da}$ $e = 0$ $K ^ {2}$

Megjegyzések és hivatkozások

(a) G. Marsaglia és GPH Styan, " Mikor indul rangot ( A + B ) = rang ( A ) + rank ( B )? ” , Canadian Mathematical Bulletin , vol. 15,1972, P. 451-452 ( online olvasás ).
(in) Mr. Fázel, Mátrixrang minimalizálás alkalmazások PhD tézis. Villamosmérnöki Tanszék , Stanford University ,2002.
Ez a tulajdonság beavatkozik azokba a problémákba, amikor a rang minimálisra csökkentésével (például képek tömörítésével) próbálnak parsimonikus objektumokat szerezni. A rang egész számokkal rendelkező függvény, ezért nehezen minimalizálható. Néha inkább a probléma konvex közelítését vesszük figyelembe, amely a nukleáris normák minimalizálásában áll.
meghatározás megfelel N. Bourbaki, Algebra , I. rész, Párizs, Hermann, 1970, p. II.59, 7. meghatározás.
Lásd N. Bourbaki, Algèbre , I. rész, Párizs, Hermann, 1970, p. II.59, prop. 10. cikk és e javaslat bemutatását követő bekezdés.