Lineáris egyenletrendszer
A matematika és különösen a lineáris algebra , a rendszer lineáris egyenletek egy egyenletrendszer alkotja lineáris egyenletek , amelyek kapcsolódnak az azonos ismeretlenek. Például :
{2x1+3x22+x3=-1x12+x2+3x3=42x1+3x2+x34=3{\ displaystyle {\ begin {cases} 2x_ {1} + {\ frac {3x_ {2}} {2}} + x_ {3} = - 1 \\ {\ frac {x_ {1}} {2}} + x_ {2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {esetek}}}![{\ begin {esetben} 2x_ {1} + {\ frac {3x_ {2}} {2}} + x_ {3} = - 1 \\ {\ frac {x_ {1}} {2}} + x_ { 2} + 3x_ {3} = 4 \\ 2x_ {1} + 3x_ {2} + {\ frac {x_ {3}} {4}} = 3 \ end {esetek}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb528ec5922636ee0f54bb061c2f787546c4c7a)
A probléma az, hogy megtaláljuk az értékeket az ismeretlenek , és amelyek megfelelnek a három egyenlet egyszerre.
x1{\ displaystyle x_ {1}}
x2{\ displaystyle x_ {2}}
x3{\ displaystyle x_ {3}}![x_ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766d09a498699be10e276ad49145c921f8cbe335)
A lineáris egyenletrendszerek megoldása a matematika legrégebbi problémáihoz tartozik, és ezek számos területen megjelennek, például a digitális jelfeldolgozásban , a lineáris optimalizálásban vagy a nemlineáris problémák közelítésében a numerikus elemzés során . A lineáris egyenletrendszer megoldásának hatékony módját a Gauss-Jordan elimináció , a Cholesky-bontás vagy az LU-bontás adja . Egyszerű esetekben a Cramer-szabály is alkalmazható.
Matematikai meghatározások
Általában n ismeretlen m lineáris egyenletrendszer a következő formában írható fel:
{nál nél1,1x1+nál nél1,2x2+⋯+nál nél1,nemxnem=b1nál nél2,1x1+nál nél2,2x2+⋯+nál nél2,nemxnem=b2⋮⋮nál nélm,1x1+nál nélm,2x2+⋯+nál nélm,nemxnem=bm{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ pont + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ pont + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ pontok + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {mátrix} } \ jobb.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} a_ {1,1} x_ {1} + a_ {1,2} x_ {2} + \ pont + a_ {1, n} x_ {n} = b_ {1} \\ a_ {2,1} x_ {1} + a_ {2,2} x_ {2} + \ pont + a_ {2, n} x_ {n} = b_ {2} \\\ vdots \ \\ vdots \\ a_ {m, 1} x_ {1} + a_ {m, 2} x_ {2} + \ pontok + a_ {m, n} x_ {n} = b_ {m} \ end {mátrix} } \ jobb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41fcc0309300dbdc4aa63e8b57893c0448ea883)
Hol vannak az ismeretlenek és a számok a rendszer együtthatói.
x1,...,xnem{\ displaystyle x_ {1}, \ pontok, x_ {n}}
nál nélén,j{\ displaystyle a_ {i, j}}![a_ {i, j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb5a346f58c6568306a02596dd318d1b7e6b2c2)
Példa
2 lineáris egyenletből álló rendszer 2 ismeretlennel a forma rendszere
(S){nál nélx+by=evs.x+dy=f{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8653b94dbe62f10b6e9cfcc478a08f6fa491a76)
Megoldása megtalálni az összes értéket, hogy meg kell adni az egyes ismeretlen egyidejűleg az összes a egyenlőségek, hogy igaz legyen.
(S){\ displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
Lineáris egyenletrendszert írhatunk mátrix formában is :
NÁL NÉLx=b{\ displaystyle Ax = b}![Ax = b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c294fb03a23c833d5b3cc6b3cbe40f25f0005745)
val vel:
NÁL NÉL=(nál nél1,1nál nél1,2⋯nál nél1,nemnál nél2,1nál nél2,2⋯nál nél2,nem⋮⋮⋱⋮nál nélm,1nál nélm,2⋯nál nélm,nem);x=(x1x2⋮xnem)ésb=(b1b2⋮bm){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & \ cdots & a_ {1, n} \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} & \ cdots & a_ {2, n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m, 1} & a_ {m, 2} & \ cdots & a_ {m, n} \ end { pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} quad {\ text {és}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ {m} \ end {pmatrix}}}![A = {\ kezdődik {pmatrix} a _ {{1,1}} és egy _ {{1,2}} és \ cdot, valamint egy _ {{1, n}} \\ a _ {{2,1} } és egy _ {{2, 2}} & \ cdots és egy _ {{2, n}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a _ {{m, 1}} & a _ {{m, 2}} & \ cdots és a_ {{m, n}} \ end {pmatrix}}; \ qquad x = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\\ vdots \\ b_ { m} \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae9b1fb986c109dd901905dca4adb0b9dd526152)
Homogén rendszer
Az űrlap rendszere:
NÁL NÉLx=0{\ displaystyle Ax = 0}![{\ displaystyle Ax = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65b554c665205ea91902f56fc1836086c1fbeaf)
homogén lineáris egyenletrendszernek nevezzük. Minden homogén rendszer legalább egy megoldást elfogad:
x1=0 ; x2=0 ; ... ; xnem=0{\ displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ pontok \; \ x_ {n} = 0}![{\ displaystyle x_ {1} = 0 \; \ x_ {2} = 0 \; \ \ pontok \; \ x_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079cb7edca58ab0524e2e2bf2d7d6404d945b66f)
Ez a megoldás semleges vagy triviális megoldás .
Egy egyenletrendszer megoldásainak száma
Ha a mező végtelen (akárcsak a valós számokhoz és a komplex számokhoz ), akkor az n ismeretlen lineáris egyenletrendszer bármelyik rendszerére csak a következő három eset lehetséges :
- a rendszernek nincs megoldása (homogén rendszer esetén ez az eset lehetetlen);
- a rendszer egyedi n -uplet megoldással rendelkezik;
- A rendszerben van egy végtelen n -tuples megoldások (a homogén rendszer, amely szigorúan kisebb, mint n egyenletek, mi mindig ebben a 3 rd esetben).
Nincs olyan szabály, pontosabb, mint a rendszer független lineáris egyenletek és n ismeretlen. Akkor vannak:
- nincs megoldás, ha az egyenletek száma szigorúan nagyobb, mint n ;
- egyedi megoldás, ha az egyenletek száma megegyezik n-vel ;
- megoldások végtelensége (egy végtelen mezőn), amikor az egyenletek száma szigorúan kisebb, mint n (például a szekáns sík két derékszögű egyenletéből álló rendszer megoldása egy n = 3 dimenziós affin térben , egy paraméteres egyenlet az egyenes metszéspontja a két sík).
Példa 2 ismeretlen egyenletére, amelyeknek végtelen a megoldása
Az egyenletnek végtelen megoldása van. Ha figyelembe vesszük az értéket , akkor a következőket kapjuk:
4x+2y=-1{\ displaystyle 4x + 2y = -1}
x{\ displaystyle x}
1{\ displaystyle 1}![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
-
4×1+2y=-1{\ displaystyle 4 \ alkalommal 1 + 2y = -1}
;
-
4+2y=-1{\ displaystyle 4 + 2y = -1}
;
-
2y=-5.{\ displaystyle 2y = -5}
;
-
y=-5.2{\ displaystyle y = {\ dfrac {-5} {2}}}
.
Általánosságban ez az egyenlet határozza meg a következő értékek bármely választásának értékét :
y{\ displaystyle y}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
4x+2y=-1⇔2y=-1-4x⇔y=-1-4x2⇔y=-0,5.-2x.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 4x + 2y = -1 & \ Balra mutató 2y = -1-4x \\ & \ Balra egyenes y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Balra egyenes y = -0 {,} 5-2x. \ Vége {igazítva}}}![{\ displaystyle {\ begin {aligned} 4x + 2y = -1 & \ Balra mutató 2y = -1-4x \\ & \ Balra egyenes y = {\ dfrac {-1-4x} {2}} \\ & \ Balra egyenes y = -0 {,} 5-2x. \ Vége {igazítva}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec87e393160d3be7b5bd479cd0a737fcda2c39e)
2 lineáris egyenlet rendszere 2 ismeretlennel
A legegyszerűbb lineáris rendszer két egyenletet és két változót foglal magában:
(S){nál nélx+by=evs.x+dy=f{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle (S) \ quad \ left \ {{\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8653b94dbe62f10b6e9cfcc478a08f6fa491a76)
Egy ilyen rendszert helyettesítéssel lehet megoldani .
Grafikus értelmezés
Ez lehetővé teszi számunkra, hogy hasznos tételeket állítsunk fel az alábbiakhoz.
A rendszer minden egyenlete meghatározza az affin függvényt , ezért egy koordináta-rendszerben egyenes vonallal ábrázolva. Arany :
(S){\ displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
- a két vonal metszéspontjának koordinátái a megoldását jelentik ;(S){\ displaystyle (S)}
![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
- két sor:
- vagy egyetlen metszéspont;
- vagy nincs metszéspont;
- vagyis a metszéspontok végtelensége.
Ezért a következő tétel:
1. tétel : A rendszernek :
(S){\ displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
- vagy egyetlen megoldás;
- vagy nincs megoldás;
- vagyis a megoldások végtelensége.
A következő tételt is bebizonyítjuk:
2. tétel : A rendszer csak egy megoldást enged meg , és csak akkor, ha a szám nem nulla.
(S){\ displaystyle (S)}
nál néld-bvs.{\ displaystyle ad-bc}![{\ displaystyle ad-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a02216ef47ba00ea58970ca8a10da5b62aa648)
Hívjuk a meghatározó a rendszer .
nál néld-bvs.{\ displaystyle ad-bc}
(S){\ displaystyle (S)}![(S)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7fcd27e8d01fdf5fe00da4f97045f079cd97bff)
Példa grafikus felbontásra : Vagy a rendszer
{4x+2y=-13x-y=2.{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ end {mátrix}} \ jobb.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2. \ end {mátrix}} \ jobb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdd80b57733f60ef6cda312c6292577e4bf208e7)
Az első egyenlet ekvivalens ( lásd fent ).
y=-0,5.-2x{\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}![{\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ef5fca9f55a076e0b74422921a0d347aafccdf)
A második egyenlet ekvivalens:
-
3x-y=2{\ displaystyle 3x-y = 2}
;
-
-y=2-3x{\ displaystyle -y = 2-3x}
;
-
y=-(2-3x)=3x-2{\ displaystyle y = - (2-3x) = 3x-2}
.
Megrajzolva a megfelelő egyenletek vonalait, és látjuk, hogy metszéspontjuk az . A rendszer megoldása és .
y=-0,5.-2x{\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}
y=3x-2{\ displaystyle y = 3x-2}
(0,3,-1,1){\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}
x=0,3{\ displaystyle x = 0 {,} 3}
y=-1,1{\ displaystyle y = -1 {,} 1}![{\ displaystyle y = -1 {,} 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b662ca43b224e48fdf571b324ecc005f23cb2fe8)
Algebrai felbontás
A fent említett Gauss-Jordan elimináció ezekre a rendszerekre vonatkozik, még akkor is, ha az együtthatók tetszőleges mezőből származnak.
Két eleve különböző módszer létezik, amelyek azonban ugyanazon az alapelven alapulnak: egy ismeretlen kiküszöbölése. Részletezzük őket egy példán.
Helyettesítési módszer
Vegyük például a rendszert:{4x+2y=-13x-y=2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x-y = 2 \ end {mátrix}} \ right.}
Az első egyenlet lehetővé teszi számunkra, hogy kifejezzük a függvényében . Pontosabban, ez egyenértékű a ( lásd fent ). Tehát cseréljük le a második egyenletre. Nekünk van :
y{\ displaystyle y}
x{\ displaystyle x}
y=-0,5.-2x{\ displaystyle y = -0 {,} 5-2x}
y{\ displaystyle y}
-0,5.-2x{\ displaystyle -0 {,} 5-2x}![{\ displaystyle -0 {,} 5-2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6904bf25319e11552fdad73c624854b77b3a1169)
3x-(-0,5.-2x)=2⇔3x+0,5.+2x=2⇔5.x+0,5.=2⇔5.x=1,5.⇔x=1,5.5.=0,3.{\ displaystyle {\ begin {aligned} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Balra mutató nyíl 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Balra mutató nyíl 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {aligned}}}![{\ displaystyle {\ begin {aligned} 3x - (- 0 {,} 5-2x) = 2 & \ Balra mutató nyíl 3x + 0 {,} 5 + 2x = 2 \\ & \ Balra mutató nyíl 5x + 0 {,} 5 = 2 \\ & \ Leftrightarrow 5x = 1 {,} 5 \\ & \ Leftrightarrow x = {\ dfrac {1 {,} 5} {5}} = 0 {,} 3. \ end {aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6320d83ee5711a267d322de04821008f42c72f)
A rendszer tehát egyenértékű :
{y=-0,5.-2xx=0,3.{\ displaystyle {\ begin {esetben} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ end {eset}}.}![{\ displaystyle {\ begin {esetben} y = -0 {,} 5-2x \\ x = 0 {,} 3 \ end {eset}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3c0af1013429356d3685fb3371a96dcaee449c)
Cseréje által az első egyenletben kapjuk: .
x{\ displaystyle x}
0,3{\ displaystyle 0 {,} 3}
y=-0,5.-2×0,3=-0,5.-0,6.=-1,1{\ displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ szor 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}![{\ displaystyle y = -0 {,} 5-2 \ szor 0 {,} 3 = -0 {,} 5-0 {,} 6 = -1 {,} 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea10f1af5fa122517350f5fe59b6653b677f6db4)
A rendszernek tehát egyetlen megoldása van: a pár .
(x,y)=(0,3,-1,1){\ displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}![{\ displaystyle (x, y) = (0 {,} 3, -1 {,} 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65172e2fcc6f07f9ced24c459f7c2532ff5e39c8)
Kombinációs vagy eliminációs módszer
Ezt a módszert "lineáris kombinációs módszernek" is nevezik.
Példa : Vegyük a rendszert
{4x+2y=-13x-y=2{\ displaystyle {\ begin {eset} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ vége {esetek}}}![{\ displaystyle {\ begin {eset} 4x + 2y & = - 1 \\ 3x-y & = 2 \ vége {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c75d4efa9501b8d30d2f958e30a19f232b351b4)
Egy ekvivalens rendszert kapunk által tartva az első sor és megszorozzuk a második 2, majd hozzáadásával az első rá, úgy, hogy megszűnjön . A rendszer:
y{\ displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
{4x+2y=-12×3x-2×y=2×2{\ displaystyle {\ elején {esetek} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ 3x-2 \ x y x = 2 \ szor 2 \ end {esetek}}}![{\ displaystyle {\ elején {esetek} 4x + 2y & = - 1 \\ 2 \ 3x-2 \ x y x = 2 \ szor 2 \ end {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad44f62b17400d13bc00beb61b941124e95faa8)
, vagyis
{4x+2y=-16.x-2y=4{\ displaystyle {\ begin {eset} 4x + 2y & = - 1 \\ 6x-2y & = 4 \ vége {esetek}}}
majd (hozzáadással):
{4x+2y=-110.x=3{\ displaystyle {\ begin {esetben} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x & = 3 \ end {esetek}}}![{\ displaystyle {\ begin {esetben} 4x + 2y & = - 1 \\ 10x & = 3 \ end {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e49ebdf54749e12db2d37066dd442b94b6978da)
, vagyis
{4x+2y=-1x=310..{\ displaystyle {\ begin {eset} 4x + 2y & = - 1 \\ x & = {\ dfrac {3} {10}}. \ end {esetek}}}
Az első sorban helyettesítsük a következővel : Ő lesz:
x{\ displaystyle x}
310.=0,3{\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}![{\ displaystyle {\ dfrac {3} {10}} = 0 {,} 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b302fff30388d59553d74d83babaf96e821c964d)
-
4×0,3+2y=-1{\ displaystyle 4 \ alkalommal 0 {,} 3 + 2y = -1}
;
-
1,2+2y=-1{\ displaystyle 1 {,} 2 + 2y = -1 \,}
;
-
2y=-1-1,2=-2,2{\ displaystyle 2y = -1-1 {,} 2 = -2 {,} 2}
;
-
y=-2,22=-1,1{\ displaystyle y = {\ dfrac {-2 {,} 2} {2}} = - 1 {,} 1}
.
A kezdeti rendszer tehát ekvivalens a
{y=-1,1x=0,3{\ displaystyle {\ elején {esetek} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ vége {esetek}}}![{\ displaystyle {\ elején {esetek} y & = - 1 {,} 1 \\ x & = 0 {,} 3 \ vége {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6a6305121b1d959687a5b6870190fd9166fd2d)
Így azt tapasztaljuk, hogy egyedülálló megoldása van: a pár .
(0,3,-1,1){\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}![{\ displaystyle (0 {,} 3, -1 {,} 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62bbd593d6abb52baab260b1b6f3ad8894e6a004)
Általános eset
Általában a forma rendszere
{nál nélx+by=evs.x+dy=f{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix}} \ right.}![\ left \ {\ begin {mátrix} ax + by = e \\ cx + dy = f \ end {mátrix} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ce8fcd6f7db2a02814a77b192195b089f91eaf)
amelynek meghatározója nem nulla, az egyetlen megoldás:
nál néld-bvs.{\ displaystyle ad-bc}![{\ displaystyle ad-bc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7a02216ef47ba00ea58970ca8a10da5b62aa648)
x=|ebfd||nál nélbvs.d|=ed-bfnál néld-bvs.,y=|nál nélevs.f||nál nélbvs.d|=nál nélf-evs.nál néld-bvs..{\ displaystyle x = {{\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {ed-bf \ over ad- bc}, \ quad y = {{\ begin {vmatrix} a & e \\ c & f \ end {vmatrix}} \ over {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}}} = {af-ec \ over ad-bc}.}![x = {\ begin {vmatrix} e & b \\ f & d \ end {vmatrix} \ over \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = {ed - bf \ over hirdetés - bc}, \ quad y = {\ elején {vmatrix} a & e \\ c & f \ vége {vmatrix} \ felett \ kezdete {vmatrix} a & b \\ c & d \ vége {vmatrix}} = { af - ec \ over ad - bc}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99b4339bb25d8680ccb4408bdd0baf64aa9f43d)
3 egyenlet rendszere 3 ismeretlennel
Három egyenlet és 3 ismeretlen rendszere szintén így oldódik meg:
Helyettesítési módszer
{x+10.y-3z=5.[1]2x-y+2z=2[2]-x+y+z=-3[3]{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {mátrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} x + 10y-3z = 5 \ quad [1] \\ 2x-y + 2z = 2 \ quad [2] \\ - x + y + z = -3 \ quad [3] \ end {mátrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d32b15666ccfe3fa57023dcfc3b730ef6f9f21)
.
Ennek a 3 egyenletnek a 3 ismeretlennel való megoldására az egyik egyenletben izolálunk egy ismeretlenet. Ebben a rendszerben az ismeretlen x-et izoláljuk az [1] egyenletben
[1] .
x=-10.y+3z+5.{\ displaystyle x = -10y + 3z + 5}![{\ displaystyle x = -10y + 3z + 5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b14b7581e355750b9473167a37721594600d504)
Most az [2] és [3] egyenletben kicseréljük az ismeretlent , amely 2 egyenletből álló rendszert ad 2 megoldhatatlan ismeretlennel.
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
{2(-10.y+3z+5.)-y+2z=2[2]-(-10.y+3z+5.)+y+z=-3[3]{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {mátrix}} jobb.}![{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {mátrix} 2 (-10y + 3z + 5) -y + 2z = 2 [2] \\ - (- 10y + 3z + 5) + y + z = -3 [ 3] \ end {mátrix}} jobb.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af03c76dd205fbb6fc7c00921301fb83de70c76a)
.
A és megtalálása után az [1] egyenletben helyettesítjük őket a kereséshez .
y{\ displaystyle y}
z{\ displaystyle z}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Eliminációs módszer
{x-3y+10.z=5.[1]2x+2y-z=2[2]-x+y+z=-3[3]{\ displaystyle {\ elején {esetek} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ 2x & + & 2y & - & z & = 2 & [2] \\ - x & + & y & + & z & = - 3 és [3] \ vég {esetek}}}![{\ displaystyle {\ elején {esetek} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ 2x & + & 2y & - & z & = 2 & [2] \\ - x & + & y & + & z & = - 3 és [3] \ vég {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1c99adb82d751ab2f9b718217a86de7a71829e)
Ennek a rendszernek a megoldása érdekében ki lehet küszöbölni például a [2] és [3] egyenleteket, ha helyettesítjük őket a [2 '] egyenletekkel: = –2 × [1] + [2] és [3']: = [1] + [3]. Mivel ez az átalakítás reverzibilis ([2] = [2 '] + 2 × [1] és [3] = [3'] - 1), a kezdeti rendszer ekvivalens az új rendszerrel
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
{x-3y+10.z=5.[1]8.y-21z=-8.[2′]-2y+11.z=2[3′]{\ displaystyle {\ elején {esetek} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ && - 2y & + & 11z & = 2 & [3 '] \ end {esetek}}}![{\ displaystyle {\ elején {esetek} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ && - 2y & + & 11z & = 2 & [3 '] \ end {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edab1a6ab4391b9a5de899418ab2a6347887fb56)
Ezután elegendő egy másik ismeretlen tényező kiküszöbölése, például a [3 '] egyenletben, az utóbbi (ismét, reverzibilis) 4 × [3'] + [2 '] -re történő cseréjével. A rendszer tehát egyenértékű a következő lépcsőzetes (sőt háromszög alakú ) rendszerrel:
y{\ displaystyle y}![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
{x-3y+10.z=5.[1]8.y-21z=-8.[2′]23.z=0[3″]{\ displaystyle {\ begin {esetben} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {esetek}}}![{\ displaystyle {\ begin {esetben} x & - & 3y & + & 10z & = 5 & [1] \\ && 8y & - & 21z & = - 8 & [2 '] \\ &&&& 23z & = 0 & [3 ''] \ end {esetek}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c804407b3205ed288a7c20016a066a586a71e04)
A [3 "] egyenlet meghatározza , hogy ki határozza meg a [2 '] egyenletben . Ez a két érték, amelyet az [1] egyenlet helyettesít, meghatározza .
z{\ displaystyle z}
y{\ displaystyle y}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Ezt a módszert több egyenletet és több ismeretlent tartalmazó rendszerekre általánosítják, és a Gauss-féle pivot módszer nevét veszi fel .
Megjegyzések és hivatkozások
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">