Gelfand-Mazur tétel
Az operátorelméletben a Gelfand-Mazur tétel (amelyet Izrael Gelfand és Stanisław Mazur bizonyított ) a következő:
Tétel - Bármely Banach algebra a komplexek mezőjén, amely egy mező , izomorf a komplexek mezőjéhez képest.
Demonstráció
Legyen x egy ilyen algebra nem nulla eleme, amelynek egységét e- vel jelöljük .
1=‖xnem.x-nem‖≤‖x‖nem‖x-nem‖{\ displaystyle 1 = \ | x ^ {n} .x ^ {- n} \ | \ leq \ | x \ | ^ {n} \ | x ^ {- n} \ |}
ebből kifolyólag
‖x-nem‖nem≥1‖x‖,{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ | x ^ {- n} \ |}} \ geq {\ frac {1} {\ | x \ |}},}
ami azt bizonyítja szerint a Cauchy-szabály , hogy a sugár a konvergencia az egész sorozatot
(x-ze)-1=x-1∑nem∈NEMznemx-nem{\ displaystyle (x-ze) ^ {- 1} = x ^ {- 1} \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} z ^ {n} x ^ {- n}}
befejeződött.
Ez a sorozat azonban konvergál bármely olyan lemezen, amelynek 0 középpontja szerepel a függvény meghatározási tartományában . Tehát létezik olyan λ komplex , hogy x - λ e nem invertálható, ezért x = λ e, mivel az algebra mezőnek számít, az egyetlen nem invertálható elem 0.
z⟼(x-ze)-1{\ displaystyle z \ longmapsto (x-ze) ^ {- 1}}![{\ displaystyle z \ longmapsto (x-ze) ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77f29e34a2960d07500af2e13b489e903e331166)
Megjegyzés .
Létezik egy komplex λ úgy, hogy x - λ e , mely nem invertálható, azaz a spektrális érték az x , akkor is levezethető, hogy a spektrum egy elemének egy algebra Banach Complex sohasem üres.
Történelem
Mazur 1938-ban a következő általánosabb tételt jelentette be:
Bármely
ℝ -
normált asszociatív osztási
algebra izomorf a ℝ,
ℂ vagy
ℍ .
Igazolása - bár nagyon tömör - túl hosszú volt ahhoz, hogy a kiadó elfogadja, de a részleteket továbbadta tanítványának, Wiesław Żelazko-nak (de) , aki 1968-ban publikálta azokat.
Ezért Gelfand adta 1941-ben az első publikált bizonyítékot az állításról, de egyszerűsített formában (a teljes ℂ-algebra esetében) lehetővé tette a holomorf funkciók elméletének használatát (értékekkel a dimenzió térében) végtelen, de a Hahn-Banach-tétel a szokásos esetre redukálódik ).
Megjegyzések és hivatkozások
-
S. Mazur, "Lineáris gyűrűkön", Annals of the Polish Mathematical Society , vol. 1938. június 17., p. 112
-
S. Mazur, "Lineáris gyűrűkön", CRAS , vol. 207., 1938. november, p. 1025-1027
-
Pierre Mazet , „ S. Mazur eredeti bizonyítéka a normalizált algebrákra vonatkozó tételéhez ”, Gazette de la SMF , vol. 111,2007. január( online olvasás )
-
Algebry Banacha (lengyelül) könyvében , amelyet 1973-ban fordítottak angolra
-
(de) I. Gelfand, „Normierte Ringe”, Mat. Sb. , repülés. 51, 1941, 3–24
-
Ráadásul az általa kommutatívnak tartott algebrák, de ennek az eredménynek a bizonyítékai nem használták ezt a tulajdonságot: ( fr ) James Michael Gardner Fell és Robert S. Doran , * -Algebras, Locally Compact Groups és Banach * képviseletei - Algebrai kötegek: A csoportok alapvető reprezentációs elmélete és Algebras , vol. 1, Academic Press ,1988, 746 p. ( ISBN 978-0-12-252721-0 , online olvasás ) , p. 375
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">