Általánosított Frobenius-tétel

A matematikában az általánosított Frobenius- tételek különböző változatai fokozatosan kiterjesztették Frobenius 1877-es tételét . Ezek tételek az általános algebra , hogy osztályozza algebra unital részlege a dimenzió felett kommutatív ℝ az igazi . Bizonyos korlátozások mellett csak négy létezik: ℝ maga, ℂ ( komplexek ), ℍ ( kvaternionok ) és ? ( oktionok ).

A történelem töredékei

Minden algebráról itt implicit módon feltételezzük, hogy egységesek, és egyediségüket az izomorfizmusig értjük .

1877-ben Frobenius megmutatja, hogy a véges dimenziónak csak három alg- algebra asszociatív felosztása a ℝ, ℂ és a test nem kommutatív ℍ kvaternionja ( Hamilton 1843-ban fedezte fel ).
A Gelfand-Mazur-tétel , amelyet 1938-ban Mazur mutatott be , megállapítja, hogy a végesség hipotézise helyettesíthető egy algebrai norma létezésével : az egyetlen három asszociatív osztási normált ℝ-algebra még mindig ℝ, ℂ és ℍ.

Az oktionok eb algebra (amelyet 1845-ben épített Cayley ) egy osztási algebra, amely nem tartozik ebbe a kategóriába, mert nem asszociatív, hanem csak alternatív ( $x ( xy ) = x 2 y$ és $( yx ) x = yx 2$ ) .

1898-ban Hurwitz bebizonyította, hogy a multiplikatív normával ( $║$ $xy$ $║ = ║$ $x$ $║║$ $y$ $║$ ) csak négy végesdimenziós division- algebra $szont$ , ℂ, ℍ és ?. Hurwitz csak abban az esetben bizonyította tételét, ahol a norma inkább euklideszi . De a tételt a modern művekben gyakran emlegetik e hipotézis nélkül, mert ez feleslegesnek bizonyult, csakúgy, mint a végesség hipotézise ( lásd alább ).
1930-ban Zorn ugyanarra a következtetésre jutott, amikor a multiplikatív norma létezésének hipotézisét az algebra alternativitásának helyébe léptette.
1940-ben Hopf topológus kimutatta, hogy az osztott ℝ-algebra (alternatív vagy nem) dimenziója (végesnek feltételezve) csak 2-es hatvány lehet.
Kervaire és Milnor 1958-ban topográfiai megfontolásokon alapul (különösen Bott miatt ) Kervaire és Milnor pontosítja eredményét: a 2-nek csak négy lehetséges ereje az 1, 2, 4 és 8 ( többek között a már idézett négy algebra által megvalósítva ) .

Hurwitz tételének igazolása

Legyen A egyetlen osztású ℝ-algebra, amely ║ ║ multiplikatív normával van felruházva (nem célszerű azt eleve a véges dimenziónak feltételezni). Azt könnyen bizonyítani, hogy bármely két elem $x$ és $y$ a A norma $1$ , $║ x + y ║ 2 + ║ x - y ║ 2 \geq 4$ . Ebből következik, hogy ez a norma származik skalárszorzat , más szóval: Egy olyan composition- to-osztály algebra . Ezért rekonstruálhatjuk úgy, hogy megkétszerezzük ℝ-ből: vagy A- t redukáljuk ℝ-re, vagy pedig tartalmaz egy ℝ⊕ℝ $i$ formájú C összetételű alalgebrát, ahol $i$ 2 = –1 ( C izomorf a ℂ-vel). Ha A nem csökken, hogy a C , ismét tartalmaz egy részalgebra összetételének H az űrlap C ⊕ C $j$ a $j$ merőleges C és $J$ 2 = -1 ( H izomorf ℍ). Végül, ha egy nem csökken, hogy H , tartalmaz egy elemet $ℓ$ merőleges H és olyan, hogy $ℓ$ 2 = -1, de a részalgebra O = H ⊕ H $ℓ$ ezután izomorf ?, ezért a véges dimenzióban, és nem asszociatív, ezért egyenlő A egész számmal. Következtetés: A izomorf a ℝ, ℂ, ℍ vagy ?.

Zorn tételének igazolása

Legyen A alternatív egységes algebra, véges dimenziós osztással. By asszociativitását hatáskörök , a részalgebra által generált bármely elemét $x$ az A egy véges kiterjesztése a ℝ (izomorf ℝ vagy ℂ), amely lehetővé teszi, hogy meghatározza a norma $x$ mint a modulus ebben részalgebra (ez a norma csak attól függ, $x$ minimális polinomján . Szerint azonban egy Artin-tétel , az alternativitás az A garantál sokkal erősebb tulajdonság, mint az asszociatív hatáskörök: bármely részalgebra két elemmel generálható asszociatív. A vonzó, hogy Frobenius tétel 1877 (csatlakozott az a tény, hogy a kanonikus normák ℝ, ℂ és ℍ felelnek keresztül egymással zárványok), tudjuk következtetni, hogy már jól meghatározott a norma A és hogy ez egy multiplikatív ( és ráadásul euklideszi is), mivel a ℝ, ℂ és ℍ azok. Hurwitz tétele szerint A tehát izomorf a ℝ, ℂ, ℍ vagy ? vonatkozásában.

Megjegyzések és hivatkozások

(De) A. Hurwitz, " Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln " ["Egy tetszőleges számú változó kvadratikus formáinak összetételéről"], Nachr. Ges. Wiss. Göttingen ,1898, P. 309-316 ( zbMATH 29.0177.01 , online olvasás ).
(in) Eberhard Zeidler , Quantum Field Theory , vol. 3, Springer ,2011, 1126 p. ( ISBN 978-3-642-22420-1 , online olvasás ) , p. 178.
(de) Max Zorn , " Theorie der Alternativen Ringe " , ABH. Math. Hét Univ. Hamburg , vol. 8,1930, P. 123-147.
(in) HR Bruck és E. Kleinfeld , " A szerkezet alternatív ferdetest " , Proc. Keserű. Math. Soc. , vol. 2,1951, P. 878-890a végesség hipotézise nélkül megmutatta , hogy az alternatív osztású, de nem asszociatív egyetlen ℝ- algebra az oktionoké: (en) Kevin McCrimmon , A Jordan Algebras íze , Springer,2004, 563 p. ( ISBN 978-0-387-95447-9 , online olvasás ) , p. 154.
Hopf, Heinz a ChronoMath-on.
(a) Mr. Kervaire , " Non-parallelizability a $n$ -Sphere az $n > 7$ " , PNAS , vol. 44,1958, P. 280–283 ( online olvasás ).
(in) JW Milnor , " Néhány következményei tétele Bott " , Ann. of Math. , vol. 68,1958, P. 444-449 ( DOI 10.2307 / 1970255 ).
Ez az eredmény kiterjed a zárt valós mező bármely algebrájára : Hourya Sinaceur , Test és modellek: esszé a valós algebra történetéről , Vrin ,1991, 496 p. ( ISBN 978-2-7116-1038-9 , online olvasás ) , p. 350-351.
De vannak nem alternatív végesdimenziós osztott isional-algebrák, például such 2 szorzattal ( a , b ) ( x , y ) = ( ax + g yb , a y + xb ), ahol g bármely komplex nem tartozik a ℝ + -hoz . Ezt a konstrukciót javasolja (en) RD Schafer , „ On a construction for division algebras of order of 16 ” , Bull. Keserű. Math. Soc. , vol. 51, n o 8,1945, P. 532–534 ( online olvasás )A 2. megjegyzés, amely Richard H. Bruckra hivatkozik (in) , " Néhány eredmény a lineáris nem asszociatív algebrák elméletében " , Trans. Keserű. Math. Soc. , vol. 56,1944, P. 141-199 ( online olvasás ), 16C. Tétel, 1. következmény az általánosításhoz.
(a) Fred B. Wright , " Abszolút értékes algebrák " , PNAS , vol. 39,1953, P. 330-332 ( online olvasás ).
További részletekért lásd a végén a „algebra telepített készítmény és algebra készítmény osztály” részben a cikket a kompozíció algebra , amely összefoglalja (a) Tonny A. Springer (de) és a Ferdinand D. Veldkamp , Octonions, Jordan algebrák és a kivételes csoportok , a Springer,2000, 208 p. ( ISBN 978-3-540-66337-9 , online olvasás ) , p. 11-14.
A "kézi" és előfeltételek nélküli bemutatót lásd: ( On ) Angel Oneto, " Véges dimenziójú alternatív valós divízió algebrai " , Divulgaciones Matemáticas , vol. 10, n o 22002, P. 161–169 ( online olvasás ), vagy (en) Matthew Badger, "Osztály agebrai a valós számok felett" (2011. június 7-i verzió az internetes archívumban ) , 2006. április 14., amely átveszi és kiegészíti.

Külső hivatkozás

(en) Eric W. Weisstein , „ Division Algebra ” , a MathWorld- on