Kő-Čech tömörítés

A matematikában , pontosabban az általános topológiában a Stone-Čech kompaktifikáció (amelyet Marshall Stone és Eduard Čech fedezett fel 1937-ben ) egy kompakt tér kialakításának technikája, amely kiterjeszti az adott X topológiai teret ; pontosabban jön az építkezés egy univerzális alkalmazás származó X egy kompakt tér β X .

Meghatározás

A kő-Čech compactification, β X , egy topologikus tér X a legnagyobb kompakt "generált" által X . Szigorúbban:

Definíció - Legyen X topológiai tér. A kő-Čech compactification az X egy kompakt tér β X felruházva egy folytonos térképet i a X a β X úgy, hogy, bármely kompakt térben K és bármely folytonos térképet f a X , hogy K , létezik egy egyedi térképet folytatódik β f β X- től K-ig f = β f ∘ i igazolása .

A következő szakaszokban látni fogjuk, hogy az ( i , β X ) pár egy az egy izomorfizmus , és a választott axióma lehetővé teszi bármely X topológiai tér létezésének bemutatását . Másrészt, X lehet tekinteni, mint egy (sűrű) altér β X (más szóval i egy beágyazás) csak akkor, ha X jelentése Tychonov tér ; i nem is lehet injektív, akkor pontosan akkor, ha X egy Urysohn helyet .

Univerzális tulajdon és funkció

Az előző definíció egy univerzális tulajdonság példája : megerősíti, hogy létezik egyedi β f morfizmus, ami ellentétes kommutatívvá teszi a diagramot . Más szóval, X → β X jelentése eredeti a kompakt K ellátott morfizmus X → K . Mint minden univerzális tulajdonság, ez jellemzi a β X-et a homeomorfizmusig, és ez a homeomorfizmus egyedülálló.

Egyes szerzők továbbá előírják, hogy X egy Tychonov térben , vagy akár egy lokálisan kompakt tér , a következő okok miatt:

Az X- től a β X-ben lévő képéig tartó térkép akkor és csak akkor homeomorfizmus, ha X Tychonov-tér;
Ez a térkép csak akkor homeomorfizmus a β X nyílt alterületére, ha X helyileg kompakt.

A Stone-Čech konstrukció tetszőleges X térre elvégezhető , de az X → β X térkép ekkor még nem homeomorfizmus, sőt lehet, hogy nem is injektív.

A kiterjesztés tulajdonát alkalmazások teszi β egy funktorhoz megy a tetejére (a kategória topologikus terek) a Comp (a kompakt kategória terek). Ha U-val jelöljük az inklúziós functort (ami egy felejtő functor ) Comp- tól Top-ig , akkor a β X- től K- ig terjedő térképek ( K- ban Comp-ban ) jó irányban megfelelnek az X- től UK- ig terjedő térképeknek (figyelembe véve azok X-re történő korlátozását és β X univerzális tulajdonsága ). Más szavakkal, Hom (β X , K ) = Hom ( X , UK ), ami azt jelenti, hogy β az U baloldali helyettese . Ez azt jelenti, hogy a számítógépre egy reflexív alkategória (en) a Top , a β, mint egy reflektor.

Konstrukciók

Az előző szakasz a Stone-Čech kompakta egyediségét (homeomorfizmusig) mutatta be. A következő egyenértékű konstrukciók mindegyike megköveteli a választott axiómát ; csak az első kettő vonatkozik az általános X szóközökre .

Termékek használata

Egy kísérlet Kő-Čech compactification az épület X vesz a tapadás a kép X a Π C , ahol a terméket hozott a készlet minden folytonos leképezések X a kompakt terek C . Ez a konstrukció ebben a formában kudarcot vall, mert ez az alkalmazásgyűjtemény megfelelő osztály, és nem halmaz; ez azonban lehetséges, hogy az javítsa, például azáltal, hogy korlátozza a kompaktok C a párok halmaza ( Y , T), ahol Y = P ( P ( X )) (a készlet részei a készlet részei X ) , és ahol T az egyik topológia, amely Y kompakt. Y választjuk elég nagy ahhoz, hogy annak számossága nagy kiadók, hogy bármely kompakt C , amelyre létezik egy folytonos térképet X a C sűrű képet.

Az egység intervallumának használata

Tekintsük a térképen F a X [0, 1] C , által meghatározott

${\ displaystyle x \ mapsto F (x) = (f (x)) _ {f \ in C}}$

ahol C az összes folytonos térkép halmaza X- től [0, 1] -ig. Látjuk, hogy F folytonos, ha a [0, 1] C értéket felruházzuk a termék topológiájával . Tól Tychonov-tétel , tudjuk, hogy a [0, 1] C kompakt, mivel [0, 1], azaz a tapadás az F ( X ) a [0, 1] C egy compactification az X .

Annak bemutatására, hogy a Stone-Čech-et kompatibilizáljuk, ellenőriznünk kell az univerzális tulajdont. Először azt ellenőrizzük, hogy K = [0, 1], ahol a kért meghosszabbítása f : X → [0,1] az a vetülete a " f -én„koordináta [0, 1] C . hogy ezt bármilyen kompakt K- ra általánosítsuk , észrevesszük, hogy K- t (mint bármely teljesen szabályos teret ) el lehet meríteni egy kockában ([0, 1] I alak szorzata ), kiterjesztjük, mint az egyes koordinátafüggvények előtt, és ezeknek a kiterjesztéseknek a szorzatát vesszük.

Ez a konstrukció sikeres, mert az egység intervallum egy cogenerator a kategória kompakt terek: ez azt jelenti, hogy ha az f és g két különböző (folyamatos) térképek két tömöríti A és B , létezik egy térképet H a B , hogy a [0,1 ] oly módon, hogy a hf és a hg különbözik egymástól. Bármely más kapcsolt energiatermelő alkalmazható ugyanahhoz a konstrukcióhoz.

Ultraszűrők használata

Ha X jelentése diszkrét , tudjuk építeni β X , mint a készlet minden ultraszűrőkön az X , feltéve, a topológia úgynevezett Kő topológia . X- et a triviális ultraszűrők által létrehozott β X részhalmazával azonosítjuk .

Annak ellenőrzésére, az egyetemes ingatlan ebben az esetben azt látjuk, hogy az f : X → K és K kompakt és F egy ultraszűrőn a X , van egy ultrafilter f ( F ) a K , amely konvergál egy (egyedi) elem x , mivel K kompakt; ezután meghatározzuk a β f ( F ) = x értéket , amely Stone folytatódása az f folytatása .

Ez a konstrukció a Stone a Boole algebra sajátos esete , amelyet itt alkalmazunk az X összes részének algebrájára . Ez általánosítható tetszőleges Tychonov terek felhasználásával maximális szűrők készlet nullák folyamatos funkciók X az ℝ, vagy egyszerűen csak a maximális szűrők zár, ha a tér normális .

C * -algebras használatával

Abban az esetben, ha X jelentése egy Tychonov tér, a Kő-Čech compactified lehet azonosítani a spektrum (en) a C * -algebra C b ( X ) folytonos függvények korlátos X , felruházva a sup norma .

A természetes számok esete

A természetes-egész számok kő-čech kompaktálása

Abban az esetben, ha X jelentése lokálisan kompakt , például ℕ (a diszkrét topológia ), vagy ℝ, ez egy nyitott altér β X , sőt, bármilyen compactification (ez a feltétel is szükséges, mert minden nyitott d „kompakt helyileg kompakt). Ebben az esetben gyakran érdekel bennünket a β X \ X további hely . Ez a készlet a β X zárt egysége , és ezért kompakt. A diszkrét topológiával ellátott ℕ esetében βℕ \ ℕ = ℕ * -val jelöljük (de ezt a jelölést egy általános X esetében nem használjuk ).

Láthatjuk a βℕ-t a ℕ ultraszűrők halmazaként , felruházva a topológiával, amelyet a { F | U ∉ F } U ⊂ ⊂ esetén. ℕ megfelel a triviális ultraszűrők és ℕ * a szabad ultraszűrők halmazának ; ezt a konstrukciót (és tetszőleges Tychonov-szóközökre általánosítva) a fenti # Ultrafilterek használata részben ismertettük .

A βℕ, különösen a ℕ * vizsgálata a modern általános topológia fontos területe . A tanulmányt motiváló fő eredmények a Parovicenko-tételek, amelyek többnyire ℕ * -ot jellemzik, ha elismerjük a kontinuumhipotézist ; ezek a következő tételek:

Bármilyen kompakt bevallja bázis képződik legfeljebb ℵ 1 nyitott (lásd Aleph ) egy kép ℕ * egy folytonos függvény (ez az eredmény nem használja a folytonosság hipotézist, de kevésbé érdekes annak hiányában).
Ha feltételezzük a kontinuum hipotézist, a ℕ * (az izomorfizmusig) az egyetlen Parovicenko-tér (be) .

Ezeket az eredményeket először a logikai algebrák figyelembevételével és a Stone kettősség (in) felhasználásával mutatták be .

Alkalmazás: a behatárolt valós szekvenciák térének kettős tere

A tömörített βℕ felhasználható a ℓ ∞ (ℕ) ( valós vagy komplex értékű, korlátozott szekvenciákból képzett Banach-tér , a sup sup normával ellátva ), valamint topológiai duáljának jellemzésére .

Adott egy korlátos szekvenciát egy ∈ liter ∞ (ℕ), létezik egy zárt labdát B (a mező a skalár ℝ vagy ℂ), amely tartalmazza a kép egy ; a has egy alkalmazás a ℕ B-hez . Mivel ℕ diszkrét, az a folytonos. Mivel a B kompakt, létezik (az univerzális tulajdonság) egyetlen nyúlvány β jelentése : βℕ → B , amely nem függ a választott B .

Ez a kiterjesztés tehát a behatárolt szekvenciák (skalárok) térének térképe a folytonos függvények teréhez, amely a βℕ-tól a skalárig halad, ℓ ∞ (ℕ) → C (βℕ).

Ez a térkép surjektív , mivel a C (βℕ) bármely térképe be van kötve, és ezért korlátozható egy korlátozott szekvenciára. Ráadásul injektív, mert ha a két teret megadjuk a sup normával , akkor az még izometria is ; valóban, az előző konstrukcióban a lehető legkisebb B gömböt véve azt látjuk, hogy a kiterjesztett szekvencia normája nem nőhet (ennek a funkciónak a képe, bár tartalmazhat skalárokat, amelyek nem részei a szekvenciának, továbbra is benne maradnak a golyóban ).

Így ℓ ∞ (ℕ) azonosítható C (βℕ) -val. Ez lehetővé teszi számunkra Riesz reprezentációs tételének használatát , amely azt mutatja, hogy a ℓ ∞ (ℕ) topológiai kettőse a ℕℕ-n lévő véges Borel-mérések térében azonosítható.

Végül meg kell jegyezni, hogy ez a technika lehet általánosítani a tér L ∞ egy térben mért önkényes X . Azonban, ahelyett, hogy csak figyelembe véve a helyet β X a ultraszűrőkön a X , a megfelelő építési használja a Kő tér Y az algebra intézkedések X : a terek C ( Y ) és L ∞ ( X ) izomorfak, mint A C * -algebrák mindaddig, amíg X eleget tesz annak a feltételnek (teljesül, amint a mérték σ-véges ), hogy a pozitív mérték bármelyik halmaza tartalmazzon egy véges pozitív mérték részhalmazát.

Összeadás a Stone-Čech-ben egész számokkal

Az egész számok (pozitív) monoidot alkotnak az összeadáshoz. Kiderült, hogy ez a művelet kiterjeszthető (de nem egyedülállóan) a ℕℕ-re, átalakítva ezt a teret monoiddá is, bár meglehetősen meglepő módon nem kommutatív monoiddá.

Bármely A ⊂ ℕ és n n ∈ sub részhalmaz esetén legyen

${\ displaystyle An = \ {k \ in \ mathbb {N} \ k közepe + n \ in A \}.}$

Ha két F és G ultraszűrőt ℕ-n adunk meg, ezek összegét definiáljuk

${\ displaystyle F + G = {\ Nagy \ {} A \ részhalmaz \ mathbb {N} \ közepe \ {n \ be \ mathbb {N} \ közepe An \ -ban F \} \ G {\ Nagy \}} ~;}$ ez a halmaz még mindig ultraszűrő, és a + művelet asszociatív (de nem kommutatív) a βℕ-ra és meghosszabbítja ℕ hozzáadását; 0 (vagy pontosabban a triviális ultraszűrő, amely {0} -ot tartalmaz) semleges eleme a + -nak βℕ-n Ez az összeadás jobb oldalon is folyamatos, abban az értelemben, hogy bármely F ultraszűrő esetében a G ↦ F + G által definiált βℕ-ról βℕ-ra folyamatos az alkalmazás.

Megjegyzések és hivatkozások

(a) Marshall kő , „ Applications az elmélet a Boole-gyűrűk az általános topológia ” , Trans. Keserű. Math. Soc. , vol. 41,1937, P. 375–481 ( DOI 10.2307 / 1989788 )
(in) Eduard Čech , " Ez kétirányú tömörítést jelent " , Annals of Mathematics , vol. 38,1937, P. 823-844 ( DOI 10.2307 / 1968839 )
Valóban, ha i : X → Y és j : X → Z , az X két folytonos térképe Y és Z kompakt terekben megvan ez a tulajdonság, akkor a β j : Y → Z morfizmus és a β i : Z → Y morfizmus egymás inverzei.
részletes leírása megtalálható a Russell C. Walker, The Stone-Čech compactification , Springer,1974, 332 p. ( ISBN 978-3-540-06699-6 ), P. 13.

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az angol Wikipedia cikkéből származik, amely a „ Kő - Čech kompaktifikáció ” címet viseli ( lásd a szerzők felsorolását ) .

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Alexandroff kompenzálta

Külső hivatkozás

(en) Dror Bar-Natan (en) , „ Ultrafilters, Compactness and the Stone - Čech compactification ” , Torontói Egyetem