Gauss alkalmazás

A hagyományos differenciál geometria , a Gauss térkép egy végrehajtási természetes differenciálható a felülete a megfelelő értékkel a készülék szférában , és amelynek eltérés lehetővé teszi a hozzáférést a második alapvető formája . Nevét Carl Friedrich Gauss német matematikustól kapta . R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} S2{\ displaystyle S ^ {2}}

Gauss alkalmazás

Vagy felületi orientált az osztály a . Σ{\ displaystyle \ Sigma} VSk+1{\ displaystyle C ^ {k + 1}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Az egy pont a , létezik egy egyedülálló egység normál vektor kompatibilis a tájékozódás . A Gauss alkalmazás az osztályalkalmazás  : P{\ displaystyle P}Σ{\ displaystyle \ Sigma} Γ(P){\ displaystyle \ Gamma (P)}Σ{\ displaystyle \ Sigma}VSk{\ displaystyle C ^ {k}}

Γ:Σ→S2{\ displaystyle \ Gamma: \ Sigma \ rightarrow S ^ {2}}.

Van egy természetes személyazonosító között érintő sík , hogy a és érintő sík a gömböt , mely a megfelelő ponton  : Σ{\ displaystyle \ Sigma}P{\ displaystyle P}S2{\ displaystyle S ^ {2}}Γ(P){\ displaystyle \ Gamma (P)}

TPΣ=TΓ(P)S2{\ displaystyle T_ {P} \ Sigma = T _ {\ Gamma (P)} S ^ {2}}.

Weingarten endomorfizmus

A differenciál a Gauss térképen, mint a lineáris üzemben az , egy szimmetrikus operátor (említett mint üzemeltető vagy endomorphism Weingarten), a kvadratikus alak társított a második alapvető formáját az a P . TPΣ{\ displaystyle T_ {P} \ Sigma} énénP{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} _ {P}}Σ{\ displaystyle \ Sigma}

Pontosabban, bármely érintő vektor esetében: w∈TPΣ{\ displaystyle w \ in T_ {P} \ Sigma}

énénP(w)=-⟨dΓ(P)w|w⟩{\ displaystyle \ mathrm {I} \! \ mathrm {I} _ {P} (w) = - \ langle d \ Gamma (P) w | w \ rangle}.

A Weingarten-féle endomorfizmus sajátértékei a felszín egy adott pontjában a felület fő görbületei ezen a ponton, és a sajátvektorok generálják a fő irányokat.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">