A valószínűségek axiómái

A valószínűségszámítás , valószínűségi axiómák , más néven Kolmogorov-axiómák elnevezett Andrei Nikolaievich Kolmogorov alakult ki őket, kijelölik a tulajdonságokat, hogy egy alkalmazás ellenőriznie kell hivatalossá tétele érdekében az ötlet valószínűsége . P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

Ezek a tulajdonságok a következőkben foglalhatók össze: ha egy intézkedés több mint egy mérhető tér , akkor kell lennie egy valószínűségi mező . P{\ displaystyle \ mathbb {P}} (Ω,NÁL NÉL){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}} \ right)}(Ω,NÁL NÉL,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}

A Cox-tétel egy másik megközelítést kínál a Bayes-féle által preferált valószínűségek formalizálására .

A következőkben egy törzs melletti nem üres készletet tekintünk . Ω{\ displaystyle \ Omega}NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Első axióma

Eseményeknek hívjuk az elemeket . NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}

Minden eseményre  :  NÁL NÉL{\ displaystyle \ A}

0≤P(NÁL NÉL)≤1.{\ displaystyle 0 \ leq \ mathbb {P} (A) \ leq 1.}

Vagyis egy esemény valószínűségét 0 és 1 közötti valós szám képviseli.

Második axióma

 Ω{\ displaystyle \ \ Omega}a véletlenszerű kísérlethez kapcsolódó univerzum kijelölése ,

P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1},

Ez azt jelenti, hogy az adott esemény valószínűsége, vagy az univerzumból bármilyen eredmény elérése valószínűsége egyenlő 1-vel. Más szavakkal, az elemi események egyikének vagy másikának végrehajtásának valószínűsége egyenlő 1-vel.

Harmadik axióma

Bármely megszámlálható család , kettő-kettő disszjunkt esemény (mi is mondjuk: kettő-kettő inkompatibilis ) kielégíti: NÁL NÉL1,NÁL NÉL2,...{\ displaystyle A_ {1}, \, A_ {2}, \ dots}

P(NÁL NÉL1∪NÁL NÉL2∪⋯)=∑én=1+∞P(NÁL NÉLén){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ csésze A_ {2} \ csésze \ cdots) = \ sum _ {i = 1} ^ {+ \ infty} \ mathbb {P} (A_ {i}) }.

Vagyis egy esemény valószínűsége, amely az események diszjunkt ( megszámlálható ) egyesülése , megegyezik ezen események valószínűségének összegével. Ezt σ-additivitásnak vagy megszámlálható additivitásnak nevezzük (ha az események nem kettő-kettő széthúzódnak, akkor ez a kapcsolat általában már nem igaz).

Következmények

Az axiómákból számos olyan tulajdonság mutatható ki, amelyek hasznosak a valószínűségek kiszámításához, például:

• P(∅)=0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyyset) = 0.}

Demonstráció

A 3 th  axióma az összes kapunk NÁL NÉLk=∅ {\ displaystyle A_ {k} = \ emptyyset}k. {\ displaystyle k. \}

P(∅)=∑k≥1P(∅),{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyyset) = \ sum _ {k \ geq 1} \ mathbb {P} (\ emptyyset),}

reláció, amely nem teljesül, ha azóta a jobboldali kifejezés érdemes. Tehát csak az marad meg, amely ráadásul alkalmas. P(∅)∈]0,1], {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyyset) \ in] 0,1], \}+∞. {\ displaystyle + \ infty. \}P(∅)=0, {\ displaystyle \ mathbb {P} (\ emptyyset) = 0, \}

Megjegyzés: ez különösen tiltja az univerzum attól, hogy üres, a második axióma amely előírja, hogy az intézkedés 1 (és ezért nem nulla még inkább ).

• Ha , két összeférhetetlen (vagy diszjunkt) események, akkorNÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(NÁL NÉL∪B)=P(NÁL NÉL)+P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ csésze B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B).}

• Általánosabban, ha a 2–2. Eseménycsalád összeegyeztethetetlen, akkor(NÁL NÉLk)1≤k≤nem{\ displaystyle (A_ {k}) _ {1 \ leq k \ leq n}}

P(⋃1≤k≤nemNÁL NÉLk)=∑1≤k≤nemP(NÁL NÉLk).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} \ right) = \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} \ mathbb {P} (A_ {k}).} Demonstráció

Használja a 3 e  axiómát a mindenki számára, ha a 2–2. Összeférhetetlen események eredményét eredményezi, mint pl NÁL NÉLk=∅ {\ displaystyle A_ {k} = \ emptyyset}k≥nem+1. {\ displaystyle k \ geq n + 1. \}

⋃1≤k≤nemNÁL NÉLk=⋃k≥1NÁL NÉLk,{\ displaystyle \ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} = \ bigcup _ {k \ geq 1} A_ {k},}

ebből kifolyólag

P(⋃1≤k≤nemNÁL NÉLk)=P(⋃k≥1NÁL NÉLk),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {1 \ leq k \ leq n} A_ {k} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {k \ geq 1} A_ { k} \ jobbra),}

hanem a harmadik axióma alapján

P(⋃k≥1NÁL NÉLk)=∑k≥1P(NÁL NÉLk){\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {k \ geq 1} A_ {k} \ right) = \ sum _ {k \ geq 1} \ mathbb {P} \ left (A_ {k} \ jobb)}

és végül, mivel mindenhez elértük a kívánt eredményt. k≥nem+1, {\ displaystyle k \ geq n + 1, \} P(NÁL NÉLk)=P(∅)=0, {\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (A_ {k} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ emptyyset \ right) = 0, \}

• P(B∖NÁL NÉL)=P(B)-P(NÁL NÉL∩B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B \ setminus A) = \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B)};

Ez a kapcsolat azt jelenti, hogy a B bekövetkezésének valószínűsége, de A nem, megegyezik a különbséggel . Ez a kapcsolat abból a tényből következik, hogy B a és a P(B)-P(NÁL NÉL∩B){\ displaystyle \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B)}B∖NÁL NÉL{\ displaystyle B \ setminus A}NÁL NÉL∩B.{\ displaystyle A \ cap B.}

• Különösen, ha , akkorNÁL NÉL⊂B{\ displaystyle A \ B részhalmaz}

P(NÁL NÉL)≤P(B){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) \ leq \ mathbb {P} (B)}

Ez a valószínűség növekedésének tulajdonsága . Valóban, abban az esetben, ha az előző tulajdonság meg van írva NÁL NÉL⊂B{\ displaystyle A \ B részhalmaz}

P(B∖NÁL NÉL)=P(B)-P(NÁL NÉL), {\ displaystyle \ mathbb {P} (B \ setminus A) = \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A), \} ahol az első kifejezés egyértelműen pozitív vagy nulla.

• Abban a speciális esetben, ha ez ad arra, hogy bármilyen esemény ,B=Ω,{\ displaystyle B = \ Omega,}NÁL NÉL{\ displaystyle A}

P(Ω∖NÁL NÉL)=1-P(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega \ setminus A) = 1- \ mathbb {P} (A)}

Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem fog bekövetkezni, egyenlő 1 mínusz annak valószínűségével, hogy bekövetkezik; ezt a tulajdonságot akkor alkalmazzák, amikor könnyebb meghatározni az ellenkező esemény valószínűségét, mint maga az esemény.

• Minden esemény , ,NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

P(NÁL NÉL∪B)=P(NÁL NÉL)+P(B)-P(NÁL NÉL∩B) ≤ P(NÁL NÉL)+P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cup B) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) - \ mathbb {P} (A \ cap B) \ \ leq \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B).}

Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik esemény vagy bekövetkezik egyenlő az összege az valószínűségek, hogy , és hogy előfordul, mínusz a valószínűsége, hogy és egyidejűleg megy végbe. Hasonlóképpen, NÁL NÉL{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B}NÁL NÉL{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}NÁL NÉL{\ displaystyle A} B{\ displaystyle B}

P(NÁL NÉL∪B∪VS)=P(NÁL NÉL)+P(B)+P(VS)-P(B∩VS)-P(VS∩NÁL NÉL)-P(NÁL NÉL∩B)+P(NÁL NÉL∩B∩VS).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ csésze B \ csésze C) = \ mathbb {P} (A) + \ mathbb {P} (B) + \ mathbb {P} (C) - \ mathbb {P} (B \ cap C) - \ mathbb {P} (C \ cap A) - \ mathbb {P} (A \ cap B) + \ mathbb {P} (A \ cap B \ cap C).}

• Ez utóbbi két képlet a befogadás-kizárás elvének különleges esete (n = 2,3), amely néha a " Poincaré rostaképlet " nevet viseli :

P(⋃én=1nemNÁL NÉLén)=∑k=1nem((-1)k-1∑1≤én1<én2<...<énk≤nemP(NÁL NÉLén1∩NÁL NÉLén2∩...∩NÁL NÉLénk)),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (\, \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \, \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ( (-1) ^ {k-1} \ sum _ {1 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ ldots <i_ {k} \ leq n} \ mathbb {P} \ balra (A_ {i_ { 1}} \ cap A_ {i_ {2}} \ cap \ ldots \ cap A_ {i_ {k}} \ right) \ right),}

amely megadja az n egyesülésének valószínűségét, nem feltétlenül diszjunkt halmazok .

• Indukcióval az n = 2 esetén kapott egyenlőtlenség általánosítja:

P(⋃én=1nemNÁL NÉLén)≤∑k=1nemP(NÁL NÉLk).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\, \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \, \ right) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} \ bal (A_ {k} \ jobb).}

Növekvő és csökkenő határok, vagy a monoton folytonosság tulajdonsága

• Bármilyen növekvő eseménysor kielégíti:NÁL NÉL1⊂NÁL NÉL2⊂NÁL NÉL3⊂...{\ displaystyle A_ {1} \, \ subset \, A_ {2} \, \ subset \, A_ {3} \, \ subset \, \ dots}

P(NÁL NÉL1∪NÁL NÉL2∪⋯)=limnemP(NÁL NÉLnem).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ csésze A_ {2} \ csésze \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

Vagyis az események növekvő sorrendjének határértékének valószínűsége (amely ebben az esetben ennek a sorrendnek az összes eseménye - megszámlálható - egyesülése) megegyezik ezen események valószínűségének numerikus sorrendjének határával.

Demonstráció

Mi pózolunk

B1=NÁL NÉL1és∀nem≥2, Bnem=NÁL NÉLnem∖NÁL NÉLnem-1.{\ displaystyle B_ {1} = A_ {1} \ quad {\ text {és}} \ quad \ forall n \ geq 2, \ B_ {n} = A_ {n} \ visszavágó A_ {n-1}.}

Tehát a szétválasztottak és igazolják Bén{\ displaystyle B_ {i}}

⋃nem≥1Bnem=⋃nem≥1NÁL NÉLnemés∀nem≥1, ⋃k=1nemBk=NÁL NÉLnem.{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ quad {\ text {és}} \ quad \ forall n \ geq 1, \ \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} B_ {k} = A_ {n}.}

A σ-additivitás és az additivitás tulajdonságai azt jelentik

∑nem≥1P(Bnem)=P(⋃nem≥1NÁL NÉLnem)és∀nem≥1, ∑k=1nemP(Bk)=P(NÁL NÉLnem).{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (B_ {n}) = \ mathbb {P} \ bal (\ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} \ jobb) \ quad {\ text {et}} \ quad \ összes n \ geq 1, \ \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}) = \ mathbb {P} (A_ {n }).}

Ekkor nem más, mint egy sorozat összegének meghatározása részösszegének határaként. P(NÁL NÉL1∪NÁL NÉL2∪⋯)=limnemP(NÁL NÉLnem){\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ csésze A_ {2} \ csésze \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n})}

• Bármilyen csökkenő eseménysor kielégíti:NÁL NÉL1⊃NÁL NÉL2⊃NÁL NÉL3⊃...{\ displaystyle A_ {1} \, \ supset \, A_ {2} \, \ supset \, A_ {3} \, \ supset \, \ dots}

P(NÁL NÉL1∩NÁL NÉL2∩⋯)=limnemP(NÁL NÉLnem).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ cdots) = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}).}

Vagyis egy csökkenő eseménysor korlátjának valószínűsége (amely ebben az esetben a szekvencia összes eseményének metszéspontja - megszámlálható) megegyezik ezen események valószínűségének numerikus szekvenciájának határértékével .

• Boole-i egyenlőtlenség . Bármely elégedett eseménysorozat :B1,B2,B3,...{\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, \ dots}

P(B1∪B2∪⋯)≤∑nemP(Bnem).{\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {1} \ csésze B_ {2} \ csésze \ cdots) \ leq \ sum _ {n} \ mathbb {P} (B_ {n}).} Demonstráció

Mi pózolunk

NÁL NÉLnem=B1∪B2∪⋯∪Bnem=⋃k=1nemBk.{\ displaystyle A_ {n} = B_ {1} \ csésze B_ {2} \ csésze \ pontok \ csésze B_ {n} = \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} B_ {k}.}

Ezután formáljon nekik egy növekvő sorrendet és NÁL NÉLén{\ displaystyle A_ {i}}

⋃nem≥1NÁL NÉLnem=⋃nem≥1Bnem.{\ displaystyle \ bigcup _ {n \ geq 1} A_ {n} = \ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n}.}

Sőt, fentebb láttuk

P(NÁL NÉLnem)≤∑k=1nemP(Bk),{\ displaystyle \ mathbb {P} (A_ {n}) \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}),}

ebből kifolyólag

P(⋃nem≥1Bnem)=P(⋃nem≥1NÁL NÉLnem)=limnemP(NÁL NÉLnem)≤limnem∑k=1nemP(Bk)=∑nem≥1P(Bnem).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1} B_ {n} \ right) = \ mathbb {P} \ left (\ bigcup _ {n \ geq 1 } A_ {n} \ right) & = \ lim _ {n} \ mathbb {P} (A_ {n}) \\ & \ leq \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ mathbb {P} (B_ {k}) \\ & = \ sum _ {n \ geq 1} \ mathbb {P} (B_ {n}). \ end {igazítva}}}

• Rámutassunk a logikai egyenlőtlenség két fontos következményére:
  • Az elhanyagolható halmazok véges vagy megszámolható egyesülése önmagában elhanyagolható;
  • A szinte biztonságos halmazok véges vagy megszámlálható kereszteződése önmagában szinte biztonságos.

Megfogalmazás a mérés elméletéből

Ekvivalensen, az egyik egyszerűen beállítja a triplett képviselő valószínűségi mezőn , mint például egy mért tér , amelynek mértéke , az a sajátossága, hogy egy teljes tömeg egyenlő 1: (Ω,NÁL NÉL,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}

P(Ω)=1.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1.}