Euler téglája

Az Euler-tégla ( Leonhard Euler matematikusról kapta a nevét ) egy téglalap alakú párhuzamos, amelynek oldalai és arcátlója teljes hosszúságú.

Számtani megfogalmazás

A méretei Egy Euler tégla, megfelelnek az megoldás, hogy a rendszert a diofantikus egyenletek :

{\ displaystyle {\ begin {cases} a ^ {2} + b ^ {2} = d ^ {2} \\ b ^ {2} + c ^ {2} = f ^ {2} \\ a ^ { 2} + c ^ {2} = e ^ {2} \ end {esetek}}}

Euler legalább két paraméteres megoldást talált erre a problémára, de nem adta meg az összes megoldást.

Ingatlan

Az oldalakból ( a , b , c ) adott Euler-tégla esetében a hármas ( bc , ac , ab ) szintén Euler-téglát alkot.

Bizonyítás - Mivel ( a , b , c ) egy Euler-téglát alkot, három d , e és f egész szám van, amelyek

{\ displaystyle {\ begin {cases} a ^ {2} + b ^ {2} = d ^ {2} \\ b ^ {2} + c ^ {2} = f ^ {2} \\ a ^ { 2} + c ^ {2} = e ^ {2} \ end {esetek}}}

Ha az első sort megszorozzuk c²-vel, a másodikat a²-vel, a harmadikat pedig b²-vel, megkapjuk

{\ displaystyle {\ begin {eset} (ac) ^ {2} + (bc) ^ {2} = (dc) ^ {2} \\ (ab) ^ {2} + (ac) ^ {2} = (fa) ^ {2} \\ (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} = (eb) ^ {2} \ end {esetek}}}

ahol dc , fa és eb egész számok.

Ez azt mutatja, hogy a hármas ( bc , ac , ab ) egy Euler-téglát alkot.

Példák

Euler legkisebb téglája, amelyet Paul Halcke (de) fedezett fel 1719-ben, oldalai vannak, az arcok átlója pedig 125, 244 és 267. ${\ displaystyle (a, b, c) = (44 117 240)}$

Íme 18 további megoldás, amelyekhez az oldalak hosszát triplettként adjuk meg (a, b, c):

(85, 132, 720) és az arcok átlója 157, 725 és 732
(140, 480, 693) és az arcok átlója 500, 707 és 843
(160, 231, 792), és az arcok átlója 281, 808 és 825
(187, 1020, 1584) és az arcok átlója 1037, 1595 és 1884
(195, 748, 6336), és az arcok átlója 773, 6339 és 6380
(240, 252, 275) és az arcok átlója 348, 365 és 373
(429, 880, 2340), és az arcok átlója 979, 2379, 2500
(495, 4888, 8160) és az arcok átlója 4913, 8175 és 9512
(528, 5796, 6325), és az arcok átlója 5820, 6347 és 8579
(780, 2475, 2992), az arcok átlója pedig 2595, 3092 és 3883
(828, 2035, 3120) és az arcok átlója 2197, 3228 és 3725
(832, 855, 2640), az arcok átlói pedig 1193, 2768 és 27758
(1008, 1100, 1155), és az arcok átlója 1492, 1533 és 1595
(1155, 6300, 6688) és az arcok átlója 6405, 6787 és 9188
(1560, 2295, 5984) és az arcok átlója 2775, 6184 és 6409
(1575, 1672, 9120) és az arcok átlója 2297, 9255 és 9272
(1755, 4576, 6732), és az arcok átlója 4901, 6957 és 8140
(2964, 9152, 9405) és az arcok átlója 9620, 9861 és 13123

Euler tökéletes téglája

A tökéletes Euler-tégla egy téglalap alakú párhuzamos, amelynek oldalai, arcátlója és a két átellenes csúcsot összekötő főátló teljes hosszúságú. Erre a tökéletes téglára a mai napig nincs példa.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) " Euler Brick " a Mathworld-en (hozzáférés: 2010. július 14. ) .

Kapcsolódó cikkek