A mátrix determinánsának kiszámítása

A számítás a determináns egy négyzetes mátrix egy szükséges eszköz, mind a lineáris algebra , hogy ellenőrizze az inverzió vagy kiszámításához inverz egy mátrix , és a vektor analízis , például, a fogkő egy Jacobi .

Ha van egy általános képlet a determináns kiszámítására, annak összetettsége megnehezíti a technikát a nagy mátrixok esetében. Ezután előnyben részesítjük az egyszerűbb számítási módszereket, például a Gauss-féle forgatós technikát .

Bizonyos meghatározott alakú mátrixok már vizsgálták a meghatározó tényezőket.

Bemutatás

A meghatározója a négyzetes mátrix adja Leibniz formulaNÁL NÉL=(nál nél1;1⋯nál nél1;nem⋮⋱⋮nál nélnem;1⋯nál nélnem;nem){\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1; 1} & \ cdots & a_ {1; n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n; 1} & \ cdots & a_ {n; n} \ vég {pmatrix}}}

det(NÁL NÉL)=|nál nél1;1⋯nál nél1;nem⋮⋱⋮nál nélnem;1⋯nál nélnem;nem|=∑σ∈Snemε(σ)∏én=1nemnál nélσ(én),én{\ displaystyle \ det (A) = {\ kezdődik {vmatrix} a_ {1; 1} & \ cdots & a_ {1; n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n; 1} & \ cdots & a_ {n; n} \ end {vmatrix}} = \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ varepsilon (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i), i}}

ahol halmazát jelöli permutációk a és az aláírás permutációs . Snem{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}{1,⋯,nem}{\ displaystyle \ {1, \ cdots, n \}}ε(σ){\ displaystyle \ varepsilon (\ sigma)}σ{\ displaystyle \ sigma}

Ez tehát az összes lehetséges termék végrehajtásának kérdése, ha egy elemet soronként és oszloponként veszünk a mátrixba, ezeket szorozzuk néha +1-vel, néha –1-gyel, és megkapjuk az n összegét ! az így kapott kifejezések. Ez a hozzárendelés (+1 vagy –1) magában foglalja a permutáció inverzióinak számát, vagyis a termék azon tagjai közötti párok számát, amelyekben a mátrix bal oldali eleme alacsonyabb, mint a jobb oldali elem. Ha ez a szám páratlan, akkor a szorzatot megszorozzuk –1-el, különben +1-gyel.

Számítsuk ki például a determinánsát

NÁL NÉL=(-22-3-11340-1){\ displaystyle A = {\ elején {pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \ vége {pmatrix}}}.

Hat termék kiszámításához soronként és oszloponként egy kifejezést kell használni:

1. A (–2) (1) (- 1) szorzatot megelőzi a +, mert minden párban a bal oldalon lévő kifejezés a jobb oldalon levő kifejezés fölött van;
2. a (–2) (0) (3) szorzatot a jel előzi meg - mert csak egy pár van, a {0; 3} pár, ahol a bal tag a jobb kifejezés alatt van;
3. a (–1) (2) (- 1) szorzatot megelőzi - mert csak egy pár van, {–1; 2}, ahol a bal oldali kifejezés a jobb oldali kifejezés alatt van;
4. a (–1) (0) (- 3) szorzat + előtt áll a {–1; –3} és a {0; –3} pár miatt;
5. a (4) (2) (3) szorzat + előtt áll a {4; 2} és {4; 3} párok miatt;
6. és a (4) (1) (- 3) szorzatot megelőzi - a három pár {4; ​​1}, {4; –3} és {1; –3} miatt.

det(NÁL NÉL)=+((-2)⋅(1)⋅(-1))-((-2)⋅(0)⋅(3))-((-1)⋅(2)⋅(-1))+((-1)⋅(0)⋅(-3))+((4)⋅(2)⋅(3))-((4)⋅(1)⋅(-3)){\ displaystyle \ det (A) = + ((- 2) \ cdot (1) \ cdot (-1)) - ((- 2) \ cdot (0) \ cdot (3)) - ((- 1) \ cdot (2) \ cdot (-1)) + ((- 1) \ cdot (0) \ cdot (-3)) + ((4) \ cdot (2) \ cdot (3)) - ((4) ) \ cdot (1) \ cdot (-3))} =2-0-2+0+24.-(-12.)=36{\ displaystyle = 2-0-2 + ​​0 + 24 - (- 12) = 36}.

Azt is kiszámítja a determinánsát méretű mátrix n felhasználásával n meghatározói mátrixok mérete n - 1 eltávolításával kapunk egy sor és egy oszlop a kiindulási mátrix. Ha A a mátrix, akkor minden i és j esetében azt a mátrixot jelöljük, amely A-ból az i- edik és a j -edik oszlop eltávolításával kapott . NÁL NÉLén,j{\ displaystyle A_ {i, j}}

NÁL NÉLén,j=(nál nél1,1...nál nél1,j-1nál nél1,j+1...nál nél1,nem⋮⋮⋮⋮nál nélén-1,1...nál nélén-1,j-1nál nélén-1,j+1...nál nélén-1,nemnál nélén+1,1...nál nélén+1,j-1nál nélén+1,j+1...nál nélén+1,nem⋮⋮⋮⋮nál nélnem,1...nál nélnem,j-1nál nélnem,j+1...nál nélnem,nem){\ displaystyle A_ {i, j} = {\ kezdődik {pmatrix} a_ {1,1} és \ pontok és a_ {1, j-1} és a_ {1, j + 1} és \ pontok és a_ {1 , n} \\\ vdots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {i-1,1} & \ dots & a_ {i-1, j-1} & a_ {i-1, j + 1 } & \ pontok & a_ {i-1, n} \\ a_ {i + 1,1} és \ pontok & a_ {i + 1, j-1} és a_ {i + 1, j + 1} és \ dots & a_ {i + 1, n} \\\ vdots && \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ a_ {n, 1} & \ dots & a_ {n, j-1} & a_ {n, j + 1} & \ pontok és a_ {n, n} \ vége {pmatrix}}}

Mi lehet majd fejleszteni a számítás meghatározója A mentén egy sor vagy egy oszlop.

Fejlesztési vonalát követve i  : . det(NÁL NÉL)=∑j=1nemnál nélén;j(-1)én+jdet(NÁL NÉLén,j){\ displaystyle \ det (A) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i; j} (- 1) ^ {i + j} \ det (A_ {i, j})}

És a fejlesztés következő oszlop j  : . det(NÁL NÉL)=∑én=1nemnál nélén;j(-1)én+jdet(NÁL NÉLén,j){\ displaystyle \ det (A) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i; j} (- 1) ^ {i + j} \ det (A_ {i, j})}

A kifejezés az úgynevezett kofaktor kifejezés és a kifejezés az úgynevezett minor kifejezés . Ez a módszer a fejlesztés nevét viseli egy sor (vagy oszlop), a Laplace-módszer vagy a kofaktorok vagy kiskorúak módszere szerint. (-1)én+jdet(NÁL NÉLén,j){\ displaystyle (-1) ^ {i + j} \ det (A_ {i, j})}nál nélén,j{\ displaystyle a_ {i, j}}det(NÁL NÉLén,j){\ displaystyle \ det (A_ {i, j})}nál nélén,j{\ displaystyle a_ {i, j}}

Így, mivel a fenti két fejlemény (az i vagy a j oszlop mentén ) végül azonos, még mindig egyszerűsíteni lehet a determináns számítását. Például a mátrix nulla együtthatójának helyét vizsgálva ésszerűbb az i vagy j jó értékét választani annak érdekében, hogy az egyik kofaktor nulla együtthatója töröljön egy kifejezést, és így egyszerűsítse az összeget, mint az alábbi példában. nál nélén;j{\ displaystyle a_ {i; j}}

Példa: az előző mátrix meghatározója könnyen kidolgozható a második oszlop szerint, amely a nullák elrendezéséhez a legelőnyösebb.

det(-22-3-11340-1)=2⋅(-1)1+2⋅det(-134-1)+1⋅(-1)2+2⋅det(-2-34-1){\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \ end {pmatrix}} = 2 \ cdot (-1) ^ { 1 + 2} \ cdot \ det {\ begin {pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & -1 \ end {pmatrix}} + 1 \ cdot (-1) ^ {2 + 2} \ cdot \ det {\ kezdet {pmatrix} -2 & -3 \\ 4 & -1 \ end {pmatrix}}} =(-2)⋅((-1)⋅(-1)-4⋅3)+1⋅((-2)⋅(-1)-4⋅(-3))=(-2)(-11.)+14=36{\ displaystyle = (- 2) \ cdot ((-1) \ cdot (-1) -4 \ cdot 3) +1 \ cdot ((-2) \ cdot (-1) -4 \ cdot (-3) ) = (- 2) (- 11) + 14 = 36}.

Kétdimenziós mátrix meghatározója

|nál nélbvs.d|=nál néld-bvs.{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = ad-bc}.

Háromdimenziós mátrix meghatározója

|NÁL NÉL|=|nál nélbvs.defghén|=nál nél|◻◻◻◻ef◻hén|-b|◻◻◻d◻fg◻én|+vs.|◻◻◻de◻gh◻|=nál nél|efhén|-b|dfgén|+vs.|degh|=nál néleén+bfg+vs.dh-vs.eg-bdén-nál nélfh.{\ displaystyle {\ begin {aligned} | A | = {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} = a \, {\ kezdet {vmatrix} \ Box & \ Box & \ Box \\\ Box & e & f \\\ Box & h & i \ end {vmatrix}} - b \, {\ begin {vmatrix} \ Box & \ Box & \ Box \\ d & \ Box & f \\ g & \ Box & i \ end {vmatrix}} + c \, {\ begin {vmatrix} \ Box & \ Box & \ Box \\ d & e & \ Box \\ g & h & \ Box \ end {vmatrix}} & = a \, {\ begin {vmatrix} e & f \\ h & i \ end {vmatrix}} - b \, {\ begin {vmatrix} d & f \\ g & i \ end {vmatrix}} + c \, {\ begin {vmatrix} d & e \\ g & h \ end {vmatrix}} \\ & = aei + bfg + cdh-ceg-bdi -afh. \ end {igazítva}}}

Valójában 6féle módon választhatunk három kifejezést soronként és oszloponként, tehát 6 szorzó van a 3. sorrendben; 3 előtt a + és 3 előtt a - előjel áll.

A Sarrus szabály ( Pierre Frédéric Sarrus nevét viseli ) egy vizuális folyamat, amely megtarthatja a 3. képlet meghatározóinak sorrendjét. A Sarrus szabály magában foglalja a mátrix három oszlopának megírását, és a mátrix alatti első két sor sorrendjének megismétlését. Ezután elegendő elvégezni az egyes átlósok együtthatóinak szorzatait, és hozzáadni azokat, ha az átló csökken, vagy a különbség, ha az átló növekszik.

nál nél b vs. d e f g h én nál nél b vs. d e f	és	nál nél b vs. d e f g h én nál nél b vs. d e f
pozitív jel befolyásolja		negatív előjel befolyásolja

Ez azonban nem mindig a legegyszerűbb vagy leggyorsabb módszer. A determináns linearitási tulajdonságain alapuló megközelítés gyakran lehetővé teszi kevesebb művelet végrehajtását, vagy egy érdekesebb faktoriált forma megszerzését.

Technikák a determináns számításának egyszerűsítésére

Az n dimenziós négyzetmátrix determinánsának kiszámításához annyi szorzat kiszámítását kell elvégezni, ahány n elemű permutáció van, vagyis n! elvégzendő termékek, azaz 2 a 2. dimenzió mátrixához, 6 a 3. dimenzió mátrixához és 24 a 4. dimenzió mátrixához. Ezenkívül kérdés az egyes permutációk aláírásának megtalálása. A sor vagy oszlop szerinti fejlesztés lehetővé teszi a számítások egyértelműbb szervezését, de semmiképpen sem csökkenti az elvégzendő termékek számát.

Ne feledje azonban, hogy a nulla jelenléte a mátrix egyik mezőjében lehetővé teszi (n-1) eltűnését! számítások. Az ötlet tehát olyan technikák megtalálása, amelyek egy mátrix determinánsának számítását felváltják egy sok nullát tartalmazó mátrixéval, az úgynevezett lyukakkal rendelkező mátrixok . Ehhez számos működési tulajdonság és néhány technika áll rendelkezésre.

Alapvető működési tulajdonságok

A determináns az oszlopvektorok vagy a sorvektorok váltakozó n- lineáris alakja . Ennek a tulajdonságnak a következő következményei vannak:

• ha az egyik két sort vagy két oszlopot áthat, a meghatározó megváltoztatja a jelet;
• ha két sor vagy két oszlop megegyezik, akkor a determináns nulla;
• egy másik oszlop (vagy egy másik sor) többszörösét hozzáadhatjuk egy oszlophoz (vagy sorhoz) anélkül, hogy megváltoztatnánk a determináns értékét;
• ha ugyanazon sor vagy ugyanazon oszlop összes tagját megszorozzuk k valós számmal , akkor a determinánst szorozzuk k-val  ;
• ezért ha egy sor vagy oszlop nulla, akkor a determináns nulla.

Végül a determináns jól viselkedik a mátrixok szorzatával:

det ( A × B ) = det ( A ) × det ( B ).

Háromszög vagy háromszög mátrix blokkonként

• A háromszög alakú mátrix meghatározója az átlós együtthatók szorzata: |m1;1m1;2⋯m1;nem-1m1;nem0m2;2⋯⋯m2;nem⋮0⋱⋮⋮⋱mnem-1;nem-1mnem-1;nem00⋯0mnem;nem|=∏én=1én=nemmén;én{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} m_ {1; 1} & m_ {1; 2} & \ cdots & m_ {1; n-1} & m_ {1; n} \\ 0 & m_ {2; 2 } & \ cdots & \ cdots & m_ {2; n} \\\ vdots & 0 & \ ddots && \ vdots \\\ vdots && \ ddots & m_ {n-1; n-1} & m_ {n-1 ; n} \\ 0 & 0 & \ cdots & 0 & m_ {n; n} \ end {vmatrix}} = \ prod _ {i = 1} ^ {i = n} {m_ {i; i}}}.Indukcióval bizonyíthatjuk: elegendő Laplace képletét alkalmazni az első oszlopra, hogy az n méretű mátrixról az n - 1 méretű mátrixra redukáljuk .
• A háromszög alakú blokkmátrix meghatározója az átlós blokkok determinánsainak szorzata:det(NÁL NÉLB0VS)=detNÁL NÉLdetVS{\ displaystyle \ det {\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 & C \ end {pmatrix}} = \ det A \ det C}vagy NÁL NÉL∈Mo,B∈Mo,nem-o,VS∈Mnem-o,0∈Mnem-o,o{\ displaystyle A \ in M_ {p}, B \ in M_ {p, np}, C \ in M_ {np}, 0 \ in M_ {np, p}}.

Két tüntetés Demonstráció egymást követő fejlesztésekkel

Először a helyzet egyszerűsítésével kezdjük a következő blokktermék használatával

(NÁL NÉLB0VS)=(én00VS).(NÁL NÉLB0én).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 & C \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} I & 0 \\ 0 & C \ end {pmatrix}}. {\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 és I \ end {pmatrix}}.}

Akkor csak annak bizonyítására, hogy az első mátrix determinánsa det C , a második det A . De ehhez ismét a háromszög mátrixokhoz használt demonstrációs módszert vesszük figyelembe. Így az első tömbnél egymást követő fejlesztéseket hajtanak végre az első sorok tekintetében, amelyek nagyon egyszerűek: csak a C meghatározója marad . A második mátrix esetében hasonló módszert követünk az utolsó sorokkal.

Bizonyítás Leibniz képletével

jegyzet M=(NÁL NÉLB0VS).{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} A&B \\ 0 & C \ end {pmatrix}}.}

Így det(M)=∑σ∈Snemϵ(σ)∏j=1nemmσ(j),j.{\ displaystyle \ det (M) = \ sum _ {\ sigma \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ epsilon (\ sigma) \ prod _ {j = 1} ^ {n} m _ { \ sigma (j), j}.}

Ahhoz azonban, hogy egy termék nem nulla legyen, feltétlenül stabilnak kell lennie, és mivel önmagába való visszatekintés van, akkor a készlet akkor is stabil. Ebből kifolyólag ∏j=1nemmσ(j),j{\ displaystyle \ prod _ {j = 1} ^ {n} m _ {\ sigma (j), j}}{1,...,o}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, p \}}σ{\ displaystyle \ sigma}σ{\ displaystyle \ sigma}{1,...,nem}{\ displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}{o+1,...,nem}{\ displaystyle \ {p + 1, \ ldots, n \}}

det(M)=∑α∈So∑γ∈Snem-oϵ(α)ϵ(γ)∏j=1omα(j),j∏j=1nem-omo+γ(j),o+j =(∑α∈Soϵ(α)∏j=1onál nélα(j),j)(∑γ∈Snem-oϵ(γ)∏j=1nem-ovs.γ(j),j) =det(NÁL NÉL)det(VS).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ det (M) & = \ sum _ {\ alpha \ in {\ mathfrak {S}} _ {p}} \ sum _ {\ gamma \ in {\ mathfrak {S} } _ {np}} epsilon (\ alpha) epsilon (\ gamma) \ prod _ {j = 1} ^ {p} m _ {\ alpha (j), j} \ prod _ {j = 1} ^ {np} m_ {p + \ gamma (j), p + j} \\\ & = {\ Biggl (} \ sum _ {\ alfa \ in {\ mathfrak {S}} _ {p}} \ epsilon ( \ alpha) \ prod _ {j = 1} ^ {p} a _ {\ alpha (j), j} {\ Biggr)} {\ Biggl (} \ sum _ {\ gamma \ in {\ mathfrak {S} } _ {np}} epsilon (\ gamma) \ prod _ {j = 1} ^ {np} c _ {\ gamma (j), j} {\ Biggr)} \\\ & = \ det (A) \ det (C). \ end {igazítva}}}

Gauss-Jordan pivot módszer

Ez a módszer abból áll, hogy a mátrixot háromszög alakú mátrixra cseréljük, csak a sorok vagy oszlopok permutációit és egy másik sor többszörösének sorait tartalmazó kiegészítéseket használva, hogy maximálisan nullák jelenjenek meg.

Az elv a következő:

• a mátrixban egy nem nulla tagot választunk , általában az első tagot a bal felső sarokban, amelyet pivotnak hívunk;nál nélén,j{\ displaystyle a_ {i, j}}
• ha a választott kifejezés nem , akkor az 1. és i. sor, valamint az 1. és j. oszlop permutálásával a megfelelő helyzetbe tudjuk hozni. Ezután olyan A 'mátrixot kapunk, amely  ;nál nél1,1{\ displaystyle a_ {1,1}}det(NÁL NÉL)=(-1)én+jdet(NÁL NÉL′){\ displaystyle \ det (A) = (- 1) ^ {i + j} \ det (A ')}
• az egyik kiküszöböli a forgás alatt elhelyezkedő összes kifejezést, hozzáadva a k egyeneshez az 1 egyenesét szorozva . Ez a művelet nem változtatja meg a determináns értékét;nál nél1,1{\ displaystyle a_ {1,1}}-nál nélk,1nál nél1,1{\ displaystyle - {\ frac {a_ {k, 1}} {a_ {1,1}}}}
• ugyanezt a folyamatot ezután újra elindítják az almátrixban, az első sorától és az első oszlopától megfosztva;
• ezután az utolsó lépésben kapunk egy háromszög alakú mátrixot, amelynek meghatározója a jel kivételével megegyezik a kezdő mátrix determinánsával.

Így a mátrixban kiválaszthatjuk a –2 elemet első forgatásként, és így hozzáadhatjuk a második sorhoz, az elsőt megszorozva –1/2-vel, és a harmadik sorhoz hozzáadva az első sort: NÁL NÉL=(-22-3-11320-1){\ displaystyle A = {\ elején {pmatrix} -2 & 2 & -3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \ vége {pmatrix}}}

|-22-3-11320-1|=|-22-3009./202-4|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -2 & 2 & -3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 9/2 \\ 0 & 2 & -4 \ end {vmatrix}}}.

Ha a 2-t választjuk második pivotnak, és a 2-es és a 3-as vonalat permutáljuk, ami ahhoz vezet, hogy a determinán szorozódik –1-gyel, akkor közvetlenül háromszög alakú mátrixot kapunk.

|-22-3-11320-1|=(-1)1|-22-302-4009./2|=18.{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -2 & 2 & -3 \\ - 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \ end {vmatrix}} = (- 1) ^ {1} {\ begin {vmatrix} -2 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 9/2 \ end {vmatrix}} = 18}.

A determináns speciális esetei

Vandermonde meghatározó

A Vandermonde determináns egy olyan mátrix meghatározója, amelyben minden sor azonos szám első hatványaiból áll. Ha az együtthatók egy mezőben (vagy egy integrált gyűrűben vannak), akkor ezt a meghatározót akkor és csak akkor töröljük, ha két egyenes azonos.

|1nál nél1nál nél12...nál nél1nem-11nál nél2nál nél22...nál nél2nem-11nál nél3nál nél32...nál nél3nem-1⋮⋮⋮⋮1nál nélnemnál nélnem2...nál nélnemnem-1|=∏1≤én<j≤nem(nál nélj-nál nélén){\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 1 & a_ {1} és {a_ {1}} ^ {2} & \ dots & {a_ {1}} ^ {n-1} \\ 1 & a_ {2} & {a_ {2}} ^ {2} & \ pontok és {a_ {2}} ^ {n-1} \\ 1 & a_ {3} és {a_ {3}} ^ {2} és \ pontok & {a_ {3}} ^ {n-1} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots && \ vdots \\ 1 & a_ {n} és {a_ {n}} ^ {2} & \ dots & {a_ {n}} ^ {n- 1} \ end {vmatrix}} = \ prod _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {j} -a_ {i})}

Keringő determináns

A jobb oldali keringő determináns annak a mátrixnak a meghatározója, amelynek sorait az első sor elemeinek kör alakú permutációival kapjuk. Tegyük fel, hogy a komplexek családja : α=(nál nélén)én=1⋯nem{\ displaystyle \ alpha = (a_ {i}) _ {i = 1 \ cdots n}}

detα=|nál nél1nál nél2nál nél3...nál nélnemnál nélnemnál nél1nál nél2...nál nélnem-1nál nélnem-1nál nélnemnál nél1...nál nélnem-2⋮⋮⋮⋱⋮nál nél2nál nél3nál nél4...nál nél1|{\ displaystyle {\ det} _ {\ alpha} = {\ kezdődik {vmatrix} a_ {1} & a_ {2} és a_ {3} & \ pontok és a_ {n} \\ a_ {n} & a_ { 1} & a_ {2} & \ pontok & a_ {n-1} \\ a_ {n-1} és a_ {n} és a_ {1} & \ pontok és a_ {n-2} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {2} & a_ {3} & a_ {4} & \ dots & a_ {1} \ end {vmatrix}}}.

Legyen az a polinom, amelynek együtthatóit a család adja meg  : Pα{\ displaystyle P _ {\ alpha}}α{\ displaystyle \ alpha}

Pα(x)=∑én=1nemnál nélénxén-1{\ displaystyle P _ {\ alpha} (X) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} X ^ {i-1}}

és legyen az egység első n- edik gyöke  : unem{\ displaystyle u_ {n}}

unem=eén2πnem{\ displaystyle u_ {n} = \ üzemeltető neve {e} ^ {\ mathrm {i} {\ frac {2 \ pi} {n}}}}.

A keringő meghatározó alkalmazásával fejezik ki , és az alábbiak szerint: Pα{\ displaystyle P _ {\ alpha}}unem{\ displaystyle u_ {n}}

detα=∏k=1nemPα(unemk){\ displaystyle {\ det} _ {\ alpha} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} P _ {\ alpha} \ balra ({u_ {n}} ^ {k} \ jobbra)}.

Tridiagonális mátrix meghatározója

A tridiagonális mátrix egy nulla alakú lyukakkal rendelkező mátrix , kivéve esetleg az első átlót, valamint a két határoló felső és alsó átlót. Egy ilyen mátrix determinánsát indukcióval számoljuk ki, a tridiagonális részmátrixok felhasználásával , amelyek csak a k első sor és a k első oszlop megtartásával nyertek. Ha A-t nevezzük a mátrix által definiált: NÁL NÉLk{\ displaystyle A_ {k}}

NÁL NÉL=(nál nél1,1nál nél1,20...0nál nél2,1nál nél2,2nál nél2,3⋱⋮0nál nél3,2nál nél3,3⋱⋱⋮⋱⋱⋱⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱nál nélnem-1,nem-1nál nélnem-1,nem0......0nál nélnem,nem-1nál nélnem,nem){\ displaystyle A = {\ kezdődik {pmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & 0 & \ pontok &&& 0 \\ a_ {2,1} és a_ {2,2} és a_ {2 , 3} & \ ddots &&& \ vdots \\ 0 & a_ {3,2} & a_ {3,3} & \ ddots & \ ddots && \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & \ ddots & \ ddots & \ ddots & 0 \\\ vdots &&& \ ddots & \ ddots & a_ {n-1, n-1} & a_ {n-1 , n} \\ 0 & \ pontok && \ pontok & 0 & a_ {n, n-1} és a_ {n, n} \ vége {pmatrix}}},

indukcióval fejleszthetjük a determinánt:

det(NÁL NÉL)=nál nélnem,nemdet(NÁL NÉLnem-1)-nál nélnem,nem-1nál nélnem-1,nemdet(NÁL NÉLnem-2){\ displaystyle \ det (A) = a_ {n, n} \ det (A_ {n-1}) - a_ {n, n-1} a_ {n-1, n} \ det (A_ {n-2 })}.

Hessenberg-mátrix meghatározója

A Hessenberg-mátrix egy kvázi háromszög alakú mátrix. Egy magasabb Hessenberg-mátrixban az átló alatt elhelyezkedő összes kifejezés nulla, kivéve esetleg az első részátlón elhelyezkedő kifejezéseket. Mint ilyen, a tridiagonális mátrix egyszerre egy felső és egy alsó Hessenberg-mátrix. Az alacsonyabb Hessenberg-mátrix determinánsát indukcióval kell kiszámítani, a tridiagonális determináns kiszámításához használt módszerhez hasonló technikával. Ha csak az első k sor és az első k oszlop megtartásával nyert Hessenberg-részmátrixokat hívjuk meg, akkor: NÁL NÉLk{\ displaystyle A_ {k}}

det(NÁL NÉL)=nál nélnem,nemdet(NÁL NÉLnem-1)+∑k=1nem-1(-1)nem-k(∏én=k+1nemnál nélén,én-1)nál nélk,nemdet(NÁL NÉLk-1){\ displaystyle \ det (A) = a_ {n, n} \ det (A_ {n-1}) + \ összeg _ {k = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {nk} \ balra (\ prod _ {i = k + 1} ^ {n} a_ {i, i-1} \ jobbra) a_ {k, n} \ det (A_ {k-1})}.

Sylvester meghatározója

Legyen P és Q két polinom, amelyek n és m fokúak :

P=∑én=0nemnál nélénxénésQ=∑j=0mbjxj{\ displaystyle P = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i} \ quad {\ text {et}} \ quad Q = \ sum _ {j = 0} ^ {m } b_ {j} X ^ {j}}.

Felhívjuk Sylvester determináns vagy eredő polinomok P és Q a meghatározója a Sylvester mátrix dimenzió n + m  :

R(P,Q)=|nál nélnem0⋯⋯0bm0⋯0nál nélnem-1nál nélnem⋱⋮⋮bm⋱⋮⋮nál nélnem-1⋱⋱⋮⋮⋱0⋮⋮⋱⋱0⋮bmnál nél0⋮⋱nál nélnemb1⋮0nál nél0nál nélnem-1b0⋱⋮⋮⋱⋱⋮0⋱b1⋮⋮⋱nál nél0⋮⋮⋱b0b10⋯⋯0nál nél00⋯0b0|{\ displaystyle R (P, Q) = {\ kezdődik {vmatrix} a_ {n} és 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & b_ {m} & 0 & \ cdots & 0 \\ a_ {n-1} & a_ {n} & \ ddots && \ vdots & \ vdots & b_ {m} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & a_ {n-1} & \ ddots & \ ddots & \ vdots & \ vdots && \ ddots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 & \ vdots &&& b_ {m} \\ a_ {0} & \ vdots && \ ddots & a_ {n} & b_ {1} &&& \ vdots \\ 0 & a_ {0} &&& a_ {n-1} & b_ {0} & \ ddots && \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots && \ vdots & 0 & \ ddots & b_ {1} & \ vdots \\\ vdots && \ ddots & a_ {0} & \ vdots & \ vdots & \ ddots & b_ {0} & b_ {1} \\ 0 & \ cdots & \ cdots & 0 & a_ {0} & 0 & \ cdots & 0 & b_ {0} \\\ end {vmatrix}}}.

Ha egy olyan mezőbe helyezzük el magunkat, ahol a két polinom fel van osztva, vagyis azt, hogy első fokú polinomok szorzatává bomlanak:

P=nál nélnem∏én=1nem(x-αén)ésQ=bm∏j=1m(x-βj){\ displaystyle P = a_ {n} \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X- \ alpha _ {i}) \ quad {\ text {és}} \ quad Q = b_ {m} \ prod _ {j = 1} ^ {m} (X- \ beta _ {j})},

nekünk van :

R(P,Q)=nál nélnemmbmnem∏én,j(αén-βj){\ displaystyle R (P, Q) = {a_ {n}} ^ {m} {b_ {m}} ^ {n} \ prod _ {i, j} (\ alpha _ {i} - \ beta _ { j})}.

Cauchy és Hilbert meghatározó

Legyen és két olyan komplex család, amelyeknél minden i és j esetében a mátrix általános kifejezésének meghatározója a két családhoz tartozó Cauchy meghatározása . α=(nál nélén)én=1⋯nem{\ displaystyle \ alpha = (a_ {i}) _ {i = 1 \ cdots n}}β=(bj)j=1⋯nem{\ displaystyle \ beta = (b_ {j}) _ {j = 1 \ cdots n}}nál nélén+bj≠0{\ displaystyle a_ {i} + b_ {j} \ neq 0}1nál nélén+bj{\ displaystyle {\ frac {1} {a_ {i} + b_ {j}}}}

Kifejezésre szól

detα,β=∏én<j(nál nélj-nál nélén)∏én<j(bj-bén)∏én,j(nál nélén+bj){\ displaystyle {\ det} _ {\ alpha, \ beta} = {\ frac {\ prod \ korlátozza _ {i <j} (a_ {j} -a_ {i}) \ prod \ korlátozza _ {i <j } (b_ {j} -b_ {i})} {\ prod \ korlátozza _ {i, j} (a_ {i} + b_ {j})}}}.

Különösen, ha és akkor a kapott determináns a Hilbert-determináns, amelynek a következő kifejezett képlete van: α=(1,2,...,nem){\ displaystyle \ alpha = (1,2, \ pont, n)}β=(0,1,...,nem-1){\ displaystyle \ beta = (0,1, \ pont, n-1)}

Dnem=(nem-1)!!4(2nem-1)!!{\ displaystyle D_ {n} = {\ frac {(n-1) !! ^ {4}} {(2n-1) !!}}}

jelöléssel:

NEM!!=∏én=1NEMén!{\ displaystyle N !! = \ prod _ {i = 1} ^ {N} i!}.

Meghatározó és összetettség számítása

A számítógépes számításokhoz fontos tudni a számítás költségét, vagyis a végrehajtásához szükséges műveletek számát. Laplace módszere az n ! -Vel arányos műveletek számát igényli . Azt mondjuk, hogy O ( n !) Komplexitású .

A Gauss-féle elfordulási módszer alkalmazása azt az óvatosságot igényli, hogy ne osszuk el 0-val. Ha a mátrix elég szabályos ahhoz, hogy a pivot megválasztása természetesen az átlón legyen, akkor a műveletek számát arányos számmal növeljük . Ha a kézi számításokhoz a választás egyszerű pivotokon van (közel 1-hez), a numerikus elemzés során gyakran előnyösebb nagy számokat választani abszolút értékben a pivot számára, hogy minimalizáljuk a hányadosok kiszámításakor elkövetett hibákat. Végül, ha az eredményt pontos tört formában akarjuk megadni, akkor a kezelt számok méretét is figyelembe kell vennünk. Ebben az esetben más módszerek bizonyulnak érdekesnek, például a Jordan-Bareiss módszer vagy a Dogson módszer. nem3{\ displaystyle n ^ {3}}

Megjegyzések és hivatkozások

1. Stéphane Balac és Frédéric Sturm, Algebra és elemzés: Első éves matematika tanfolyam gyakorlatokkal ( online olvasható ) , p.  481.
2. Arthur Adam és Francis Lousberg, Espace Math 56 , p.  484.
3. Lara Thomas, "  Lineáris algebra  " , EPFL , p.  44.
4. M. Fouquet, "  A mátrix determinánsának kiszámítása kiskorúak módszerével  " , a math.jussieu.fr oldalon .
5. Egyszerűbb bizonyítékként lásd ennek a gyakorlatnak a Wikegyüttesen javított első pontját .
6. Daniel Guinin és Bernard Joppin, Algebra and Geometry MPSI ( online olvasás ) , p.  454.
7. Jounaïdi Abdeljaoued és Henri Lombardi, Matrix módszerek - Bevezetés az algebrai komplexitásba , Springer,2004( online olvasható ) , p.  75.
8. (in) Robert Fossum, "  A Hilbert mátrix és az azt meghatározó  " a s3.amazonaws.com ,2004.
9. Alfio Quarteroni, Fausto Saleri és Paola Gervasio, Tudományos számítástechnika: Tanfolyamok, javított gyakorlatok és illusztrációk matlab-ban ( online olvasható ) , p.  30.
10. Abdeljaoued és Lombardi 2004 , p.  60.
11. Abdeljaoued és Lombardi 2004 , p.  66.
12. Abdeljaoued és Lombardi 2004 , p.  71.

Lásd is

Bibliográfia

(en) WM Gentleman és SC Johnson , „  Algoritmusok elemzése, esettanulmány: Mátrixok meghatározói polinom bejegyzésekkel  ” , ACM tranzakciók a matematikai szoftvereken , vol.  2. n o  3.,1976. szeptember, P.  232–241 ( online olvasás [PDF] )

Külső linkek

• (en) Online Matrix Calculator , a bluebit.gr weboldalon
• en) Működés R mátrixokkal (determináns, pálya, inverz, adjoint, transzponálás) , az elektro-energetika.cz oldalon

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">