Coalgebra

A matematikában a koalgebra fogalma az algebra kettős fogalma egy gyűrű fölött vagy egy mező fölött. Informálisan, egy algebra A vektortér (vagy -module), amely járulékosan egy szorzás, azaz egy térképet, amely alkotja két eleme A építeni egy harmadik. A C koalgebra tehát vektortér (vagy -modul), amely komplikációval , azaz olyan térképpel rendelkezik, amely C elemet vesz fel , és kettőt ad vissza . $\ mathbb {K}$ $\ mathbb {K}$

Formális meghatározás

Legyen K mező. Egy coalgebra C feletti K egy K , vektor teret felruházva két K -linear térképek és olyan, hogy: ${\ displaystyle \ Delta: C \ to C \ otimes C}$ ${\ displaystyle \ epsilon: C \ K-ig}$

${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {C} \ otimes \ Delta) \ circ \ Delta = (\ Delta \ otimes \ mathrm {id} _ {C}) \ circ \ Delta}$
${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {C} \ otimes \ epsilon) \ circ \ Delta = \ mathrm {id} _ {C} = (\ epsilon \ otimes \ mathrm {id} _ {C}) \ circ \ Delta}$ .

Az alkalmazást koprodukciónak és a megyének hívják. Az első feltétel az úgynevezett coassociativity (kettős fogalma asszociatív a gyűrűk ), a második pedig az analóg a kapcsolatban, hogy az egység (a semleges eleme szorzás) megfelel egy gyűrűben. $\Delta$ $\ epsilon$

Kapcsolat az algebrákkal

A koalgebra fogalma kettős, mint az algebra, abban az értelemben, hogy a C koalgebra mögöttes vektortér lineáris kettősének természetes szerkezetű algebra által indukált C társterméke van . Legyen f , g a kettős C két eleme . Azáltal minden x a C , definiáljuk a terméket a f és g a: ${\ displaystyle \ Delta (x) = \ sum x ^ {(1)} \ otimes x ^ {(2)}}$

{\ displaystyle (f \ csillag g) (x) = (f \ otimes g) (\ Delta (x)) = \ f f (x ^ {(1)}) \ g szorzó (x ^ {(2)} )}

Az a tény, hogy társ-asszociatív, pontosan az a feltétel, amely garantálja az asszociatív jelleget. $\Delta$ $\csillag$

Fordítva, ha A véges dimenziójú algebra , akkor A kettősének természetes koalgebra szerkezete van. Valóban, a szaporodását A lehet tekinteni, mint egy alkalmazás . A kettősre váltással megszerezzük a ${\ displaystyle \ mu: A \ otimes A \ longrightarrow A}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {*}: A ^ {*} \ longrightarrow (A \ otimes A) ^ {*}}$

{\ displaystyle \ forall f \ in A ^ {*}, \ (\ mu ^ {*} (f)) (x \ otimes y) = f (\ mu (x \ otimes y))}

Ha azonban A véges dimenzióval rendelkezik, létezik természetes izomorfizmus , ezért meghatározza a társterméket, az asszociativitásból adódó társ-asszociativitást . ${\ displaystyle (A \ otimes A) ^ {*} \ cong A ^ {*} \ otimes A ^ {*}}$ $\ mu ^ {*}$ $\ mu$

Példa

Ha E egy K-tér alapvektor , akkor az összes E elhelyezésével és lineáris kiterjesztésével meghatározunk egy társterméket . ${\ displaystyle \ {e_ {i} \} _ {i \ I}} -ban$ ${\ displaystyle \ Delta (e_ {i}) = e_ {i} \ otimes e_ {i}}$

Bibliográfia

(en) Bart Jacobs, Bevezetés a Coalgebra: Az államok és megfigyelések matematikája felé , Cambridge, Cambridge University Press, coll. "Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science",2016. október, 494 oldal o. ( ISBN 978-1-107-17789-5 , online előadás ).
Davide Sangiorgi, „ A bisimuláció és koindukció eredetéről ”, ACM Trans. Program. Lang. Syst , vol. 31. cikk (4) bekezdés,2009, P. 15: 1-15: 41
Davide Sangiorgi, Bisimulation and Coinduction bevezetése , Cambridge University Press,2012.
Davide Sangiorgi és Jan Rutten, a bisimuláció és koindukció fejlett témái , Cambridge University Press,2011.

Bevezető szövegek

Bart Jacobs és Jan Rutten, „ egy leírást (Co) algebrák és (Co) Indukciós ”, Bulletin EATCS , n o 62,1997, P. 222–269 ( online olvasás , konzultáció 2018. június 29 - én ) - egyszerre írja le az indukciót és a koindukciót
Eduardo Giménez és Pierre Castéran, " " A Coq induktív típusainak bemutatója " ,2007(megtekintés : 2018. június 29. ) .
Dexter Kozen és Alexandra Silva , „ Gyakorlati koindukció ”, Matematikai struktúrák a számítástechnikában , vol. 27, n o 07,2016, P. 1132–1152 ( ISSN 0960-1295 , DOI 10.1017 / S0960129515000493 , online olvasás ).
Pierre-Marie Pédrot, „ A coindukció felmérése Coq-ban ” ,2015. június 18(megtekintés : 2018. június 29. ) .

Lásd is