Erdős-Borwein állandó

Az állandó Erdős-Borwein az összeg E az inverz a Mersenne számok (nem feltétlenül az első ):

{\ displaystyle E = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} -1}} \ kb 1.606695}

Megmutatható, hogy a fenti első egyenlőség egyenértékű az alábbiak mindegyikével:

{\ displaystyle E = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n ^ {2}}}} {\ frac {2 ^ {n} +1} {2 ^ {n} -1}}}

{\ displaystyle E = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {mn}}}}

{\ displaystyle E = 1 + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} (2 ^ {n} -1)}}}

{\ displaystyle E = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {0} (n)} {2 ^ {n}}}}

ahol σ 0 ( n ) = d ( n ) az osztó függvény , az n szám pozitív osztóinak számával megegyező szorzó függvény . Annak bemutatásához, hogy ezek az összegek egyenlőek, vegye figyelembe, hogy ezek mind Lambert-sorozat formáját öltik, és így újra összegezhetők.

Erdős Pál bizonyította 1948 hogy E egy irracionális szám . 1991-ben Peter Borwein kimutatta, hogy általánosabban, bármely relatív q egész számra és minden nulla nulla racionális r-re , ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {q ^ {n} -r}} \ notin \ mathbb {Q}}$ amint a sorozat konvergál , vagyis q eltér 0-tól és ± 1-től, és r nem q teljesítménye .

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy egészben az „ Erdős - Borwein konstans ” című angol Wikipedia cikkből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

A tizedesjegyekről lásd még az OEIS A065442 számát .
(in) Erdős P. , " A Lambert-sorozat számtani tulajdonságai " , J. Indian Math. Soc. , vol. 12,1948, P. 63–66 ( online olvasás ).
(in) Eric W. Weisstein , " Erdős-Borwein Constant " a MathWorld- on .

Kapcsolódó cikk

Kempner sorozat ( 2. alap , elkerülve a 0 számot )