Bertrand görbe
A matematika , a görbe rajzolt térben mondják , hogy Bertrand , ha van más görbe, amely ugyanazzal a megbízó rendes , mint az első annak minden egyes pont. A második görbét néha társgörbének hívják.
Bertrand görbepárnak is nevezzük , az ilyen görbe által alkotott párnak és egyik társának. Joseph Bertrand matematikusról nevezték el őket .
A síkgeometriában egy szabályos görbének (amelynek deriváltja mindenhol definiálva van, és nem nulla) van egy görbecsaládja, amelynek ugyanazok a fő normáljai vannak: ezek a párhuzamos görbéi (in) . Egy görbe esetében az alábbi egyenlet írja le:
αo(s){\ displaystyle \ alpha _ {o} \ bal (s \ jobb)}
α(s)=αo(s)+rnem(s),{\ displaystyle \ alfa \ bal (s \ jobb) = \ alfa _ {o} \ bal (s \ jobb) + rn \ bal (s \ jobb),}
hol van az egység normálvektor a Frenet-koordinátarendszerben definiált értéknél, és r bármely nem nulla valós állandó.
nem(s){\ displaystyle n \ bal (s \ jobb)}
αo(s){\ displaystyle \ alpha _ {o} \ bal (s \ jobb)}![{\ displaystyle \ alpha _ {o} \ bal (s \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bdb63344ac048a7994171dff25cb1787090ef0)
Az űrben egy bal biregularis görbe (amelynek első és második deriváltja nem kollineáris) ritkán Bertrandé. Szükség van úgy, hogy az, hogy a görbület , és torziós ellenőrizni nemlineáris affin kapcsolatban:
κ{\ displaystyle \ kappa}
τ{\ displaystyle \ tau}
κ+τvs.otnál nélnemφ=1nál nél,{\ displaystyle \ kappa + \ tau \ mathrm {cotan} \ varphi = {\ frac {1} {a}},}
ahol a jelentése nulla nélküli valós állandó és φ nulla érték nélküli állandó szög. Ekkor egy Bertrand-görbének általában egyetlen kísérő kétirányú görbéje van, amelyet a következő egyenlet ír le:
α(s)=αo(s)+nál nélnem(s),{\ displaystyle \ alfa \ bal (s \ jobb) = \ alfa _ {o} \ bal (s \ jobb) + egy \ bal (s \ jobb),}
hol van az egység normál vektor à , amelyet a Frenet referenciakeretben definiáltak, és amelynek valós állandója az előző affin relációban jelenik meg.
nem(s){\ displaystyle n \ bal (s \ jobb)}
αo(s){\ displaystyle \ alpha _ {o} \ bal (s \ jobb)}![{\ displaystyle \ alpha _ {o} \ bal (s \ jobb)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3bdb63344ac048a7994171dff25cb1787090ef0)
Ezeket a görbéket Joseph Bertrand (1850), Joseph-Alfred Serret (1851) és Gaston Darboux (1887) tanulmányozta.
A Bertrand-görbe belső tulajdonságai
A társított görbe tulajdonságai
Hivatkozások
-
(in) Encyclopedic Dictionary of Mathematics , vol. 1., 2013. október 22., Cambridge-i kiadás (Mass.); London: The MIT press, 1993 ( ISBN 0262090260 ) , p. 415 .
-
(in) " Bertrand Curve " a merriam-webster.com oldalon (hozzáférés: 2013. október 19. ) .
-
(in) Eric W. Weisstein , " Bertrand Curves " on mathworld .
-
(in) " Joseph Bertrand " az Encyclopædia Britannica oldalán .
Bibliográfia
- Francisco Gomes Teixeira , traktátum figyelemre méltó lapos és bal kanyarokon , vol. V, t. II, Coimbra, koll. "Obras sobre mathematica",1909( online olvasás ) , „Courbes de Bertrand”, p. 447-452
- Gaston Darboux, Tanulmány a felületek általános elméletéről és az infinitezimális számítás geometriai alkalmazásáról , vol. 1, Gauthier-Villars,1914( 1 st szerk. 1887) ( olvasott sort ) , p. 21-25
- Charles Bioche , " Sur les curves de M. Bertrand ", Bulletin de la SMF , vol. 17,1889, P. 109-112 ( online olvasás )
- Robert Ferréol, " Bertrand görbéje " , a figyelemre méltó matematikai formák enciklopédiáján
-
Bertrand Gambier , Bertrand görbék: ezekhez a görbékhez tartozó speciális transzformációk , Bertrand görbék generálása a minimális görbék aszimptotikus átalakításával , Gauthier-Villars, 1926 (2 oldal)
- Gyakorlatok a Bertrand görbéken:
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">